资源简介

第一节　函数的概念及表示
1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
　　　　　　　　　　　　　　　　
教材再回首
1.函数的概念
(1)一般地,设A,B是　　　　　　　　　,如果对于集合A中的　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
(2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集.
2.构成函数的三要素
(1)函数的三要素:函数由　　　　、　　　和对应关系三个要素构成,在函数y=f(x),x∈A中,　　　　　　　　　　(即数集A)称为这个函数的定义域.　　　　　　组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)同一个函数:如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　　完全一致,即相同的自变量对应的函数值也　　　,那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有　　　　　、图象法和　　　　　.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的　　　　.
　　[微点提醒]
(1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
(2)注意以下几种特殊函数的定义域:
①分式型函数,分母不为零的实数集合.
②偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
③f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
④若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数. (　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　)
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　　)
(4)函数f(x)=的定义域为R. (　　)
2.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1,2,3})的值域为 (　　)
A.[1,5] B.{1,3,5}
C.[2,6] D.{2,4,6}
3.(人B必修①P97T6改编)下列四个图象中,不是函数图象的是 (　　)
4.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))= (　　)
A. B.
C.2 D.-2
5.(人A必修①P65例2改编)已知函数f(x)=x+3+,若f(a)=,则a=　　　　.
题点一　函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)[多选]下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数
B.函数f(x)=-的定义域是[-1,0)∪(0,+∞)
C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数
D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0
(2)(2025·扬州开学考试)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,4],则y=的定义域为 (　　)
A.[-5,5] B.
C.(1,5] D.
|易错提醒|
　　求解复合函数的定义域问题时,易搞不清函数的自变量是哪一个而致误.解决抽象函数与复合函数的定义域问题要谨记定义域指的是x的范围,同一个“f”下括号内的范围是一样的.
|思维建模|　
(1)判断两个函数是否为同一个函数,关键有两点:定义域是否相同,对应关系即解析式是否相同.
(2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域.
(3)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域.
[即时训练]
1.(2025·晋中阶段练习)下列函数与y=是相等函数的是 (　　)
A.y= B.y=
C.y=(a>0且a≠1) D.y=logaax(a>0且a≠1)
2.已知函数y=f(x)的定义域为[1,10],则y=(x-3)0f(3x)的定义域为 (　　)
A.[1,3)∪(3,30] B.∪
C.[1,3)∪(3,10] D.[1,3)∪
题点二　函数的解析式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(换元法或配凑法)若函数f(x)满足f(x-1)=x2,求f(x)的解析式;
(2)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(3)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式.
|思维建模|　函数解析式的求法
(1)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(4)方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
[即时训练]
3.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则f(x)= (　　)
A.3x B.3
C.27x+10 D.27x+12
4.已知函数f(1-x)=(x≠0),则f(x)= (　　)
A.-1(x≠0) B.-1(x≠1)
C.-1(x≠0) D.-1(x≠1)
5.已知f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)的解析式为　　　　.
题点三　分段函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　分段函数求值
[例3]　设函数f(x)=则f= (　　)
A. B.
C. D.-1
考法(二)　分段函数与方程结合
[例4]　(2024·大兴三模)已知f(x)=若f(m)=8,
则m=　　　　.
考法(三)　分段函数与不等式结合
[例5]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.
|思维建模|　
(1)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要是解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解,有时可以数形结合求解.
[即时训练]
6.(2025·武汉模拟)已知f(x)=则f= (　　)
A.2 B.
C. D.1
7.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　)
A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是
C.f(x)<1的解集为(-∞,1) D.f(x)的值域为(-∞,4)
第一节　函数的概念及表示
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)非空的实数集　任意　唯一确定
2.(1)定义域　值域　自变量的取值范围　所有函数值
(2)定义域　对应关系　相同
3.解析法　列表法　4.(2)并集
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.B
3.选B　根据函数的定义知,若y是x的函数,x确定一个值,y就随之确定一个值,体现在图象上:图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.对照选项,可知只有B不符合此条件.
4.选B　由题意得f(2)=-2,f(-2)=,故选B.
5.解析:由a+3+=,化简得,3a2+2a-5=0,
解得a=1或a=-,均符合题意,所以a=1或a=-.
答案:1或-
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)BC　(2)B
(1)函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)=的定义域为R,两函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故A错误;由题意,在f(x)=-中,解得x≥-1且x≠0,故B正确;因为函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确;由f(x)=|x-1|-x,可得f=0,所以f=f(0)=1,故D错误.
(2)因为y=f(x)的定义域为[-1,4],所以解得1[即时训练]
1.选D　因为y==x,且定义域为R,y==|x|,可知两个函数的对应关系不同,所以函数不相等,故A错误;y=的定义域为{x|x≠0},可知两个函数的定义域不同,所以函数不相等,故B错误;y=的定义域为{x|x>0},可知两个函数的定义域不同,所以函数不相等,故C错误;y=logaax=x,且定义域为R,所以两个函数是相等函数,故D正确.
2.选B　因为函数y=f(x)的定义域为[1,10],所以要使函数y=(x-3)0f(3x)有意义,需满足解得x∈∪.
题点二
[例2]　解:(1)法一:换元法
设x-1=t,则x=t+1,f(t)=(t+1)2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2=x2+2x+1.
法二:配凑法
∵f(x-1)=(x-1)2+2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1.
(2)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,
∴解得∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7.
(3)∵2f(x)+f(-x)=3x,　①
∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,　②
由①②解得f(x)=3x.
[即时训练]
3.选A　因为f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,
所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1),则f(x)=3x.
4.选B　令1-x=t(t≠1),则x=1-t,所以f(t)==-1,所以f(x)=-1(x≠1).
易错提醒:注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域.
5.解析:由2f(x)+f=3x,　①
用替换x,得2f+f(x)=,②
由①②得f(x)=2x-(x≠0).
答案:f(x)=2x-(x≠0)
题点三
[例3]　选A　易知f=2=,
所以f=f==.
[例4]　解析:因为f(x)=且f(m)=8,
所以或解得m=-3或m=.
答案:-3或
[例5]　解析:法一　当x<1时,由f(x)≤2,得2x-1≤2,所以x-1≤1,解得x≤2.又因为x<1,所以x<1;当x≥1时,由f(x)≤2,得≤2,所以x≤4.又因为x≥1,所以1≤x≤4.综上,满足f(x)≤2成立的x的取值范围为 (-∞,4].
法二　画出f(x)的图象,由图象知f(x)是R上的增函数,又因为f(4)=2,所以f(x)≤2,可化为f(x)≤f(4),故x≤4.
答案:(-∞,4]
[即时训练]
6.选D　因为函数f(x)=
所以f=2f=2× =1.故选D.
7.快审准解:将x=-1代入f(x)=x+2,得f(-1)=1,将x=1代入f(x)=x2,可知A正确;分别在x≤-1和-1选ABD　由题意,得f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;当x≤-1时,f(x)=x+2=3,解得x=1(舍去);当-1第二章
函　数
第一节
函数的概念及表示
明确目标
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的概念
(1)一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
(2)在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.
非空的实数集
任意
唯一确定
2.构成函数的三要素
(1)函数的三要素：函数由________、_____和对应关系三个要素构成，在函数y=f(x)，x∈A中，__________________ (即数集A)称为这个函数的定义域.____________ 组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)同一个函数：如果两个函数的________相同，并且_________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也______，那么这两个函数是同一个函数.
定义域
值域
自变量的取值范围
所有函数值
定义域
对应关系
相同
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有__________、图象法和_________.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的_____.
解析法
列表法
并集
[微点提醒]
(1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
(2)注意以下几种特殊函数的定义域：
①分式型函数，分母不为零的实数集合.
②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
③f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
④若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(　　)
(4)函数f(x)=的定义域为R.(　　)
×
×
√
√
2.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1，2，3})的值域为 (　　)
A.[1，5] B.{1，3，5}
C.[2，6] D.{2，4，6}
√
3.(人B必修①P97T6改编)下列四个图象中，不是函数图象的是 (　　)
√
解析：根据函数的定义知，若y是x的函数，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上：图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.对照选项，可知只有B不符合此条件.
4.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))=(　　)
A. B.
C.2 D.-2
解析：由题意得f(2)=-2，f(-2)=，故选B.
√
5.(人A必修①P65例2改编)已知函数f(x)=x+3+，若f(a)=，则a=_______.
解析：由a+3+=，化简得，3a2+2a-5=0，解得a=1或a=-，均符合题意，所以a=1或a=-.
1或-
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)[多选]下列说法正确的有(　　)
A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数
B.函数f(x)=-的定义域是[-1，0)∪(0，+∞)
C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数
D.若f(x)=|x-1|-x，则f=0
√
题点一　函数的概念
√
解析：函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)=的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；由题意，在f(x)=-中，解得x≥-1且x≠0，故B正确；因为函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；由f(x)=|x-1|-x，可得f=0，所以f=f(0)=1，故D错误.
(2)(2025·扬州开学考试)已知函数y=f(x)的定义域为[-1，4]，则y=的定义域为(　　)
A.[-5，5] B. C.(1，5] D.
解析：因为y=f(x)的定义域为[-1，4]，
所以解得1所以y=的定义域为.
√
求解复合函数的定义域问题时，易搞不清函数的自变量是哪一个而致误.解决抽象函数与复合函数的定义域问题要谨记定义域指的是x的范围，同一个“f”下括号内的范围是一样的.
易错提醒
(1)判断两个函数是否为同一个函数，关键有两点：定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同.
(2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等，所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组)，不等式(组)的解集即为定义域 .
思维建模
(3)对于抽象函数，若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出；若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a，b])的值域.
1.(2025·晋中阶段练习)下列函数与y=是相等函数的是(　　)
A.y= B.y=
C.y=(a>0且a≠1) D.y=logaax(a>0且a≠1)
即时训练
√
解析：因为y==x，且定义域为R，y==|x|，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误；y=的定义域为{x|x≠0}，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误；y=的定义域为{x|x>0}，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误；y=logaax=x，且定义域为R，所以两个函数是相等函数，故D正确.
2.已知函数y=f(x)的定义域为[1，10]，则y=(x-3)0f(3x)的定义域为 (　　)
A.[1，3)∪(3，30] B.∪
C.[1，3)∪(3，10] D.[1，3)∪
解析：因为函数y=f(x)的定义域为[1，10]，所以要使函数y=(x-3)0f(3x)有意义，需满足解得x∈∪.
√
[例2]
(1)(换元法或配凑法)若函数f(x)满足f(x-1)=x2，求f(x)的解析式；
解：法一：换元法
设x-1=t，则x=t+1，f(t)=(t+1)2，
故函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2=x2+2x+1.
法二：配凑法
∵f(x-1)=(x-1)2+2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1.
题点二　函数的解析式
(2)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式；
解：∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7.
(3)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，求f(x)的解析式.
解：∵2f(x)+f(-x)=3x，　①
∴将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x，　②
由①②解得f(x)=3x.
函数解析式的求法
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法.
(4)方程组法：已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
思维建模
3.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3，g(x)=3x+1，则f(x)= (　　)
A.3x B.3
C.27x+10 D.27x+12
解析：因为f(g(x))=9x+3，g(x)=3x+1，所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1)，则f(x)=3x.
即时训练
√
4.已知函数f(1-x)=(x≠0)，则f(x)=(　　)
A.-1(x≠0) B.-1(x≠1)
C.-1(x≠0) D.-1(x≠1)
解析：令1-x=t(t≠1)，则x=1-t，
所以f(t)==-1，
所以f(x)=-1(x≠1).
√
注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.
易错提醒
5.已知f(x)满足2f(x)+f=3x，则f(x)的解析式为_________________.
解析：由2f(x)+f=3x，　①
用替换x，得2f+f(x)=，②
由①②得f(x)=2x-(x≠0).
f(x)=2x-(x≠0)
考法(一)　分段函数求值
[例3]　设函数f(x)=则f =(　　)
A. B.
C. D.-1
解析：易知f=2=，所以f=f ==.
√
题点三　分段函数
考法(二)　分段函数与方程结合
[例4]　(2024·大兴三模)已知f(x)=若f(m)=8，则m=_______.
解析：因为f(x)=且f(m)=8，
所以或解得m=-3或m=.
-3或
考法(三)　分段函数与不等式结合
[例5]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是_________.
(-∞，4]
解析：法一　当x<1时，由f(x)≤2，得2x-1≤2，所以x-1≤1，解得x≤2.又因为x<1，所以x<1；当x≥1时，由f(x)≤2，得≤2，所以x≤4.又因为x≥1，所以1≤x≤4.综上，满足f(x)≤2成立的x的取值范围为 (-∞，4].
法二　画出f(x)的图象，由图象知f(x)
是R上的增函数，又因为f(4)=2，所以
f(x)≤2，可化为f(x)≤f(4)，故x≤4.
(1)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值.
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要是解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解，有时可以数形结合求解.
思维建模
6.(2025·武汉模拟)已知f(x)=则f =(　　)
A.2 B.C. D.1
解析：因为函数f(x)=所以f =2f =2× =1.故选D.
即时训练
√
7.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A.f(f(-1))=1
B.若f(x)=3，则x的值是
C.f(x)<1的解集为(-∞，1)
D.f(x)的值域为(-∞，4)
√
√
√
快审准解：将x=-1代入f(x)=x+2，得f(-1)=1，将x=1代入f(x)=x2，可知A正确；分别在x≤-1和-1解析：由题意，得f(-1)=-1+2=1，所以f(f(-1))=f(1)=12=1，故A正确；当x≤-1时，f(x)=x+2=3，解得x=1(舍去)；当-1=x2=3，解得x=-(舍去)或x=.所以f(x)=3的解为x=， 故B正确；当x≤-1时，f(x)=x+2<1，解得x<-1；当-1数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(y)=x+y，则f(2)=(　　)
A.0 B.
C.1 D.2
解析：令x=y=2，则f(2)+f(2)=4，所以f(2)=2，故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为(　　)
A.{x|x≥3} B.{x|x<1}
C.{x|1≤x≤3} D.{x|1解析：由 所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
价值发掘：求函数的定义域常用的结论
(1)分式型要满足f(x)≠0；
(2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0；
(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ，k∈Z.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2025·济南模拟)已知函数y=f(x)的对应值如表所示，则f(f(2))等于 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：由表可知f(2)=5，f(5)=7，所以f(f(2))=f(5)=7.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
4.已知函数f(x)=则f(-3)=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.8
解析：依题意，得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21=2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.已知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)-2x)=3，则f(5)= (　　)
A.11 B.9
C.7 D.5
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3，整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0，所以解得所以f(x)=2x+1，所以f(5)=2×5+1=11.
6.(2024·德阳三模)已知f=2x-5，且f(a)=3，则a=(　　)
A.3 B.
C.1 D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：∵f=2x-5， 且f(a)=3，∴f=2x-5=f(a)=3，∴2x-5=3，解得x=4.∴f=2×4-5=f(a)=3，即f(1)=f(a)，∴a=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
7.设函数f(x)=若f(m)=18，则m=(　　)
A.9 B.4
C.9或-4 D.9或4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：因为f(x)=f(m)=18，
所以或解得m=-4或m=9.
8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，1] B.[-2，1]
C.[-1，2] D.[-1，+∞)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析：当a>2，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=当22时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当02时，f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得02时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a，由于x>2时，f(x)>0，故-a≤2，解得-2≤a<0.综上-2≤a≤1.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
9.(2025·德阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2，则f(2 024)= (　　)
A.0 B.1
C.2 024 D.2 025
解析：令x=y=0可得-2f(0)=-2，所以f(0)=1，再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2，即-f(y)-2f(-y)=y-3　①，将上式中的y全部换成-y可得-f(-y)-2f(y)=-y-3　②，联立①②可得f(y)=y+1，所以f(2 024)=2 024+1=2 025.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
习得方略：求解抽象函数解析式问题的方法
(1)若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；
(2)若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程(组)法求解.其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
二、多选题
10.下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
B.f(x)=x0与g(x)=1
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=·与g(x)=
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
√
13
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
解析：因为可以用不同的字母表示变量，所以f(x)与g(t)是同一个函数，故A正确；因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)的定义域为R，所以f(x)与g(x)不是同一个函数，故B错误；因为函数f(x)与g(x)的定义域都是(-∞，0)∪(0，+∞)，对应关系一样，所以它们是同一个函数，故C正确；因为函数f(x)=·的定义域是[1，+∞)，函数g(x)的定义域是(-∞，-1]∪[1，+∞)，定义域不一样，所以它们不是同一个函数，故D错误.
13
11.已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A.f(x)的定义域是R
B.f(x)的值域是(-∞，5)
C.若f(x)=3，则x=
D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
√
13
√
√
解析：f(x)的定义域是(-∞，2)，A错误.当x≤-1时，x+2≤1，当-1解得x=，C正确.画出f(x)的
图象如图所示，由图可知，D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的值域为[0，1] 　B.f(x)的定义域为R
C. x∈R，f(f(x))=1 　D.f(x)为偶函数
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
√
13
√
√
解析：因为函数f(x)=所以函数f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确；因为f(x)=0或f(x)=1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1，故C正确；因为函数f(-x)
===f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
三、填空题
13.设函数f(x)=若f(1)=2f(0)，则实数a可以为
__________________________________.
解析：若a<0，则f(0)=1，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)=1，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立；若a≥1，则f(0)=1，f(1)=0，f(1)=2f(0)不成立.综上所述，实数a的取值范围是(-∞，1).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
0(答案不唯一，满足a∈(-∞，1)即可)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
14.已知函数f(x)的定义域为(0，1)，g(x)=f(x+c)+f(x-c)，当0解析：要使函数g(x)有意义，需
即因为0即g(x)的定义域为(c，1-c).
13
(c，1-c)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
15.已知函数f(x)满足2f-f=x，则f(x)=____________.
解析：由2f-f=x　①，
得2f-f=-x　②，由①②得3f=x，则f=x(x≠0)，令1+=t，则x=(t≠1)，所以f(t)=(t≠1)，故f(x)=(x≠1).

13
(x≠1)课时跟踪检测(八)　函数的概念及表示
一、单选题
1.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(y)=x+y,则f(2)= (　　)
A.0 B.
C.1 D.2
2.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为 (　　)
A.{x|x≥3} B.{x|x<1}
C.{x|1≤x≤3} D.{x|13.(2025·济南模拟)已知函数y=f(x)的对应值如表所示,则f(f(2))等于 (　　)
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
A.4 B.5
C.6 D.7
4.已知函数f(x)=则f(-3)= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.8
5.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3,则f(5)= (　　)
A.11 B.9
C.7 D.5
6.(2024·德阳三模)已知f=2x-5,且f(a)=3,则a= (　　)
A.3 B.
C.1 D.
7.设函数f(x)=若f(m)=18,则m= (　　)
A.9 B.4
C.9或-4 D.9或4
8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
9.(2025·德阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则f(2 024)= (　　)
A.0 B.1
C.2 024 D.2 025
二、多选题
10.下列各组函数为同一个函数的是 (　　)
A.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
B.f(x)=x0与g(x)=1
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=·与g(x)=
11.已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是(-∞,5)
C.若f(x)=3,则x= D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的值域为[0,1] 　B.f(x)的定义域为R
C. x∈R,f(f(x))=1 　D.f(x)为偶函数
三、填空题
13.设函数f(x)=若f(1)=2f(0),则实数a可以为　　　　.
14.已知函数f(x)的定义域为(0,1),g(x)=f(x+c)+f(x-c),当015.已知函数f(x)满足2f-f=x,则f(x)=　　　　.
课时跟踪检测(八)
1.选D　令x=y=2,则f(2)+f(2)=4,所以f(2)=2,故选D.
2.选D　由 所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1价值发掘:求函数的定义域常用的结论
(1)分式型要满足f(x)≠0;
(2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0;
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0;
(4)对数型logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0;
(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ,k∈Z.
3.选D　由表可知f(2)=5,f(5)=7,所以f(f(2))=f(5)=7.
4.选A　依题意,得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21=2.
5.选A　设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,所以解得所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11.
6.选C　∵f=2x-5, 且f(a)=3,∴f=2x-5=f(a)=3,∴2x-5=3,解得x=4.∴f=2×4-5=f(a)=3,即f(1)=f(a),∴a=1.
7.选C　因为f(x)=f(m)=18,
所以或解得m=-4或m=9.
8.选B　当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=当22时,f(x)>0,故a>2不符合题意;当02时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0,解得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,解得02时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,解得-2≤a<0.综上-2≤a≤1.故选B.
9.选D　令x=y=0可得-2f(0)=-2,所以f(0)=1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3　①,将上式中的y全部换成-y可得-f(-y)-2f(y)=-y-3　②,联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2 024)=2 024+1=2 025.
习得方略:求解抽象函数解析式问题的方法
(1)若根据已知可推知函数模型时,可利用待定系数法求解;
(2)若无法推知函数模型,一般结合赋值法,通过解方程(组)法求解.其中,方程或者是已知的,或者是利用已知的抽象函数性质列出的,或者是利用已知方程变换出来的.
10.选AC　因为可以用不同的字母表示变量,所以f(x)与g(t)是同一个函数,故A正确;因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)的定义域为R,所以f(x)与g(x)不是同一个函数,故B错误;因为函数f(x)与g(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞),对应关系一样,所以它们是同一个函数,故C正确;因为函数f(x)=·的定义域是[1,+∞),函数g(x)的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不一样,所以它们不是同一个函数,故D错误.
11.选BCD　f(x)的定义域是(-∞,2),A错误.
当x≤-1时,x+2≤1,当-112.选BCD　因为函数f(x)=所以函数f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确;因为f(x)=0或f(x)=1,且0与1均为有理数,所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1,故C正确;因为函数f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,故D正确.
13.解析:若a<0,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若0≤a<1,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若a≥1,则f(0)=1,f(1)=0,f(1)=2f(0)不成立.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1).
答案:0(答案不唯一,满足a∈(-∞,1)即可)
14.解析:要使函数g(x)有意义,
需即
因为0答案:(c,1-c)
15.解析:由2f-f=x　①,
得2f-f=-x　②,由①②得3f=x,则f=x(x≠0),令1+=t,则x=(t≠1),所以f(t)=(t≠1),故f(x)=(x≠1).
答案:(x≠1)

展开更多......

收起↑