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第二节　函数的 单调性与最大(小)值
　　
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.
2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
　　　　　　　　　　　　　　　　
教材再回首
1.函数的单调性
(1)单调性
定　义 设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　或　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D,都有　　　; x0∈D,使得　　　 x∈D,都有　　　; x0∈D,使得　　　
结论 M为最大值 M为最小值
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)(2)若f(x)在R上是减函数,则f(0)>f(1). (　　)
(3)函数的最小值一定比最大值小. (　　)
(4)若函数f(x)≤1恒成立,则f(x)的最大值为1. (　　)
(5)若函数f(x)在(-2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(-2,3). (　　)
2.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　)
A.f(x)=|x| B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为　　　　　,最大值为　　　　.
4.(苏教必修①P134T6)设m为实数,若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞,2)上单调递减,则m的取值范围为　　　　.
题点一　确定函数的单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　求函数的单调区间
[例1]　函数f(x)=的单调递增区间为 (　　)
A. B.(-∞,-1]
C. D.
|习得方略|
(1)在公共定义域内,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(2)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(3)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.
考法(二)　判断或证明函数的单调性
[例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
|思维建模|
1.已知函数解析式求单调区间的策略
注意函数的定义域,复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
2.确定函数单调性的方法
(1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象直接写出它的单调区间.
(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
[即时训练]
1.函数y=的单调递减区间是　　　　　.
2.已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上单调递增还是单调递减,并证明.
题点二　函数单调性的应用
考法(一)　比较大小
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数,a,b∈R,且a+b<0,则有 (　　)
A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0
C.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)
|思维建模|
　　比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
考法(二)　解不等式
[例4]　定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),且f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为 (　　)
A.(-∞,1) B.
C. D.[-1,1)
|思维建模|
　　利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式.需要注意的是不要忘记函数的定义域.
考法(三)　求参数范围
[例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
|谨记结论|
(1)若 x1,x2∈I(x1≠x2),则>0(<0)或(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减).
(2)若函数在区间[a,b]上具有单调性,则该函数在此区间的任意子集上也具有单调性.
|思维建模|
利用单调性求参数的策略
(1)依据函数的单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.
(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
[即时训练]
3.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
4.(2025·广州模拟)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,则a的取值范围是 (　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
|习得方略|(左栏T4延伸)
　　函数f(x)=a|x-b|+c(a≠0)图象的形状如一个“V”,顶点为(b,c),若a>0,则开口向上,若a<0,则开口向下.
5.(2025·青岛部分学校联考)已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1) D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
题点三　函数的最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例6]
(1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为 (　　)
A. B.[0,1]
C. D.
(2)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　.
(3)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　.
|思维建模|　
求函数最值的4种基本方法
(1)单调性:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)基本不等式:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(3)换元法:将解析式化归为熟悉的函数,进而解出最值(值域).
(4)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
[即时训练]
6.函数f(x)=在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 (　　)
A., B.5,2
C.2,1 D.1,
7.函数f(x)=的值域为　　　　.
第二节　函数的单调性与最大(小)值
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)f(x1)f(x2)　(2)单调递增　单调递减
2.f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥M　f(x0)=M
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.选D　对于A,f(x)=|x|在R上不具有单调性,不合题意.对于B,f(x)=为R上的减函数,不合题意.对于C,f(x)=x2在R上不具有单调性,不合题意.对于D,f(x)=为R上的增函数,符合题意,故选D.
3.解析:由于f(x)=在[2,6]上单调递减,故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=.
答案:　2
4.解析:由题意得-≥2,解得m≤-4.
答案:(-∞,-4]
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选C　由题意可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥.
令t=2x2-x-3,则y=,
因为t=2x2-x-3图象的对称轴为x=,所以t=2x2-x-3在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增,
因为y=在定义域内单调递增,所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增.故选C.
[例2]　解:法一:定义法　设-1因为-10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)综上,当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
法二:导数法　f'(x)===-.
当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
[即时训练]
1.解析:令u=|x-1|,则y=.
∵0<<1,∴y=在(-∞,+∞)上单调递减.作出u=|x-1|的图象如图所示,由图象可知u=|x-1|在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴y=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
答案:[1,+∞)
习得方略:复合函数的单调性
　　函数f(x)=h(g(x)),设u=g(x),叫做内函数,f(x)=h(u)叫做外函数,则
结论:同增异减.
2.解:(1)∵f(1)=2,∴1+m=2,∴m=1.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:
设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且1则f(x1)-f(x2)=x1+-=x1-x2+=x1-x2-=(x1-x2).
当10,x1-x2<0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=+x在(1,+∞)上单调递增.
题点二
[例3]　选D　∵f(x)是减函数,a+b<0,∴a<-b,b<-a,
∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
[例4]　选C　由题意知,f(x)在[-2,2]上单调递增,则f(x)>f(2x-1) 解得-≤x<1.故选C.
[例5]　选B　若函数f(x)在R上单调递增,则需满足　
(易忽视分界点处函数值大小的比较)
解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B.
[即时训练]
3.选D　易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增,
又>>>1,故f()>f()>f(),即c>b>a.
4.选B　函数f(x)=2|x-a|+3的大致图象如图所示,其形状如一个“V”,开口向上,顶点坐标为(a,3),由于函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,因此需满足顶点在直线x=1的右侧,则a>1,故选B.
5.选B　由题意知f(x)=易知函数f(x)在(-∞,m),(m,+∞)上单调递增,且m-m=-(m-m)2,所以函数f(x)在R上单调递增.由f(a2-4)>f(3a),得a2-4>3a,解得a>4或a<-1,所以实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.
题点三
[例6]　(1)C　(2)2-6　(3)-1
(1)由y=x在[1,4]上单调递增,且y=在[1,4]上单调递减,可得f(x)=x-+1在[1,4]上单调递增.又f(1)=0,f(4)=,故函数f(x)在[1,4]上的值域为.
(2)因为函数y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.当x>1时,y=x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,此时f(x)min=2-6.又2-6<0,所以f(x)min=2-6.
(3)令=t,t≥1,则x2=t2-1,所以y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).因为y=2t2-t-2的对称轴为t=,所以当t≥1时,ymin=2×12-1-2=-1,所以函数f(x)的最小值为-1.
[即时训练]
6.选A　∵y=x2+1在(0,+∞)上单调递增,且y>1,
∴f(x)=在区间[1,2]上单调递减,
∴函数f(x)=在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)==,f(2)==.
7.解析:法一:图象法　作出函数f(x)=的图象(如图所示),由函数图象可知,f(x)max=f(0)=2,所以f(x)的值域为(-∞,2].
法二:单调性　当x≥1时,函数f(x)=单调递减,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,函数f(x)=-x2+2在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.所以f(x)的值域为(-∞,2].
答案:(-∞,2]
　(共73张PPT)
第二节
函数的单调性与最大(小)值
明确目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法.
2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的单调性
(1)单调性
定　义 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I 当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
续表
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上____________或___________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 x∈D，都有___________；x0∈D，使得__________ x∈D，都有__________； x0∈D，使得__________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)=M
f(x)≥M
f(x0)=M
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若函数f(x)满足f(-3)(2)若f(x)在R上是减函数，则f(0)>f(1).(　　)
(3)函数的最小值一定比最大值小.(　　)
(4)若函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值为1.(　　)
(5)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3).(　　)
×
√
√
×
×
2.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　)
A.f(x)=|x| B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
解析：对于A，f(x)=|x|在R上不具有单调性，不合题意.对于B，f(x)=为R上的减函数，不合题意.对于C，f(x)=x2在R上不具有单调性，不合题意.对于D，f(x)=为R上的增函数，符合题意，故选D.
√
3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为____，最大值为____.
解析：由于f(x)=在[2，6]上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(6)=.
　2
4.(苏教必修①P134T6)设m为实数，若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞，2)上单调递减，则m的取值范围为____________.
解析：由题意得-≥2，解得m≤-4.
(-∞，-4]
课堂·题点精研
02
考法(一)　求函数的单调区间
[例1]　函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A. B.(-∞，-1]
C. D.
√
题点一　确定函数的单调性
解析：由题意可得2x2-x-3≥0，
即(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥.
令t=2x2-x-3，则y=，因为t=2x2-x-3图象的对称轴为x=，所以t=2x2-x-3在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增，因为y=在定义域内单调递增，所以f(x)=在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增.故选C.
(1)在公共定义域内，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(2)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(3)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.
习得方略
考法(二)　判断或证明函数的单调性
[例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1，1)上的单调性.
解：法一：定义法　设-1因为f(x)=a=a，
所以f(x1)-f(x2)=a-
a=.
因为-10，x1-1<0，x2-1<0，故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)综上，当a>0时，f(x)在(-1，1)上单调递减，当a<0时，f(x)在(-1，1)上单调递增.
法二：导数法　f'(x)===-.
当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1，1)上单调递减；当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1，1)上单调递增.
1.已知函数解析式求单调区间的策略
注意函数的定义域，复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
2.确定函数单调性的方法
(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解.
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间.
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
思维建模
1.函数y=的单调递减区间是_________.
解析：令u=|x-1|，则y=.∵0<<1，∴y=在(-∞，+∞)上单调递减.作出u=|x-1|的图象如图所示，由图象可知u=|x-1|在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，
∴y=在(-∞，1]上单调递增，
在[1，+∞)上单调递减.
即时训练
[1，+∞)
复合函数的单调性
函数f(x)=h(g(x))，设u=g(x)，叫做内函数，f(x)=h(u)叫做外函数，则
结论：同增异减.
习得方略
2.已知函数f(x)=x+，且f(1)=2.
(1)求m的值；
解：∵f(1)=2，∴1+m=2，∴m=1.
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上单调递增还是单调递减，并证明.
解：函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，证明如下：
设x1，x2是(1，+∞)上的任意两个实数，且1当10，x1-x2<0，
从而f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)=+x在(1，+∞)上单调递增.
考法(一)　比较大小
[例3]　(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数，a，b∈R，且a+b<0，则有(　　)
A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0
C.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)
解析：∵f(x)是减函数，a+b<0，∴a<-b，b<-a，∴f(a)>f(-b)，f(b)>f(-a)，f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
√
题点二　函数单调性的应用
比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
思维建模
考法(二)　解不等式
[例4]　定义在[-2，2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2)，且f(x)>f(2x-1)，则实数x的取值范围为(　　)
A.(-∞，1) 　　　B.
C. 　　　D.[-1，1)
√
解析：由题意知，f(x)在[-2，2]上单调递增，
则f(x)>f(2x-1)
解得-≤x<1.故选C.
利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式.需要注意的是不要忘记函数的定义域.
思维建模
考法(三)　求参数范围
[例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，0] 　　B.[-1，0]
C.[-1，1] 　　D.[0，+∞)
√
解析：若函数f(x)在R上单调递增，则需满足　
(易忽视分界点处函数值大小的比较)
解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B.
(1)若 x1，x2∈I(x1≠x2)，则>0(<0)或(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]
>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减).
(2)若函数在区间[a，b]上具有单调性，则该函数在此区间的任意子集上也具有单调性.
谨记结论
利用单调性求参数的策略
(1)依据函数的单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.
(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
思维建模
3.已知f(x)=2x-，a=f()，b=f()，c=f()，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
解析：易知f(x)=2x-在(1，+∞)上单调递增，又>>>1，故f()>f()>f()，即c>b>a.
即时训练
√
4.(2025·广州模拟)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是 (　　)
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
√
解析：函数f(x)=2|x-a|+3的大致图象如图所示，其形状如一个“V”，开口向上，顶点坐标为(a，3)，由于函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，因此需满足顶点在直线x=1的右侧，则a>1，故选B.
函数f(x)=a|x-b|+c(a≠0)图象的形状如一个“V”，顶点为(b，c)，若a>0，则开口向上，若a<0，则开口向下.
习得方略
5.(2025·青岛部分学校联考)已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1，4) B.(-∞，-1)∪(4，+∞)
C.(-4，1) D.(-∞，-4)∪(1，+∞)
√
解析：由题意知f(x)=易知函数f(x)在(-∞，m)，(m，+∞)上单调递增，且m-m=-(m-m)2，所以函数f(x)在R上单调递增.由f(a2-4)>f(3a)，得a2-4>3a，解得a>4或a<-1，所以实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(4，+∞)，故选B.
[例6]
(1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1，4]上的值域为(　　)
A. B.[0，1]
C. D.
√
题点三　函数的最值
解析：由y=x在[1，4]上单调递增，且y=在[1，4]上单调递减，可得f(x)=x-+1在[1，4]上单调递增.又f(1)=0，f(4)=，故函数f(x)在[1，4]上的值域为.
(2)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是_________.
解析：因为函数y=x2在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min=f(0)=0.当x>1时，y=x+≥2，当且仅当x=时，等号成立，此时f(x)min=2-6.又2-6<0，所以f(x)min
=2-6.
2-6
(3)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为____.
解析：令=t，t≥1，则x2=t2-1，
所以y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).
因为y=2t2-t-2的对称轴为t=，所以当t≥1时，ymin=2×12-1-2=-1，
所以函数f(x)的最小值为-1.
-1
求函数最值的4种基本方法
(1)单调性：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)基本不等式：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(3)换元法：将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域).
(4)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
思维建模
6.函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　)
A. B.5，2
C.2，1 D.1，
即时训练
√
解析：∵y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，且y>1，∴f(x)=在区间[1，2]上单调递减，
∴函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)==，f(2)==.
7.函数f(x)=的值域为__________.
解析：法一：图象法　作出函数f(x)=的图象(如图
所示)，由函数图象可知，f(x)max=f(0)=2，所以f(x)的值域为(-∞，2].
(-∞，2]
法二：单调性　当x≥1时，函数f(x)=单调递减，所以f(x)在x=1处取得最大值，为f(1)=1；当x<1时，函数f(x)=-x2+2在(-∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.所以f(x)的值域为(-∞，2].
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为(　　)
A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(0，2) D.(0，+∞)
解析：∵y=|x-2|=∴函数y=|x-2|的单调递增区间为(2，+∞)，∴f(x)的单调递减区间为(2，+∞).
√
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2
3
4
2.已知定义域为R的函数f(x)， x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则(　　)
A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)C.f(2)>f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3)
解析：易知f(x)是R上的减函数，又π>3>2，故f(π)√
1
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3.函数f(x)=-x+在上的最大值是(　　)
A. B.-
C.-2 D.2
解析：因为函数y=-x和y=在上均单调递减，所以f(x)=-x+在上单调递减，所以f(x)max=f(-2)=2-=.
√
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4.已知函数f(x)=+2x，若f(2a2-5a+4)A.∪(2，+∞) 　　B.[2，6)
C.∪[2，6) 　　D.(0，6)
√
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解析：由题意可知，函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，∵f(2a2-5a+4)(易错提醒：没注意定义域，丢失2a2-5a+4≥2的情况)
解得2≤a<6或01
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5.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数
√
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解析：不妨令x1∵>-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)又x11
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6.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)
A.[-1，0] B.[-1，2]
C.[-2，-1] D.[-2，0]
√
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解析：因为f(x)=当x=0时，f(0)=a2，由于f(0)是f(x)的最小值，所以(-∞，0]为f(x)的单调递减区间，即有a≤0，则a2≤x++a对x>0恒成立.
因为x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，所以 a2≤2+a，解得-1≤a≤2.所以a的取值范围为[-1，0].
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二、多选题
7.已知函数y=f(x)的定义域为[-1，5]，其图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的单调递减区间为(0，2)
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的最小值为-1
D.f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(2，5)
√
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√
√
解析：由题图可知f(x)的单调递减区间为(0，2)，A正确；
当x=0时，f(x)max=3，B错误；
当x=2时，f(x)min=-1，C正确；
由题图可知f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(2，5)，D正确.
1
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8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在R上为增函数
B.f(e)>f(2)
C.若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0
D.当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
√
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√
解析：f(-1)=1，f=-1+<-1+21=1，A错误；e>2，f(e)>f(2)，B正确；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0，C正确；当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]，D错误.
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9.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是 (　　)
A.M(2)=3 B. x≥1，M(x)≥4
C.M(x)有最大值 D.M(x)最小值为0
√
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√
解析：令g(x)>f(x)，即(x+1)2>x+1，解得x<-1或x>0，
所以M(x)=max{f(x)，g(x)}=
所以M(2)=(2+1)2=9，故A错误；
对 x≥1，M(x)=(x+1)2≥(1+1)2=4，故B正确；
当x<-1或x>0时，M(x)=(x+1)2，易知函数M(x)无最大值，故C错误；当x<-1或x>0时，M(x)>0，当-1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，
所以M(x)的最小值为0，故D正确.
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三、填空题
10.函数f(x)=的单调递增区间为__________.
解析：要使函数f(x)有意义，则-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3.
令y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，根据复合函数的单调性可知，
函数f(x)的单调递增区间为[-1，1].
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[-1，1]
11.函数f(x)=2x-1+的最小值是_____.
解析：设=t，t≥0，则x=t2+2，∴函数f(x)=2x-1+等价于y=2t2+t+3，t≥0.
∵y=2t2+t+3在[0，+∞)上单调递增，ymin=2×02+0+3=3，
∴函数f(x)=2x-1+的最小值是3.
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12.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数a，b都有f(a+b)=
f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1.若f(2)=3，则不等式f(x2-x-1)<2的解集为_________.
快审准解：根据抽象函数的条件，结合函数的单调性的定义证明函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可.
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(-1，2)
解析：由题意，设x1>x2，则x1-x2>0，f(x1-x2)>1.所以f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)是增函数.因为f(2)=3，即f(2)=f(1)+f(1)-1=3，所以f(1)=2.所以原不等式f(x2-x-1)<2等价为f(x2-x-1)则x2-x-1<1，即x2-x-2<0，则(x-2)(x+1)<0，解得-1故不等式的解集为(-1，2).
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四、解答题
13.(10分)已知函数f(x)=x|x-4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(6分)
解： f(x)=x|x-4|=
函数图象如图所示.
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13
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.(4分)
解：由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4).
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14.(10分)已知函数f(x)=ax-(a，b∈R)，图象经过点，且f(1)=.
(1)求a，b的值；(4分)
解：由题意得解得
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(2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(-1，+∞)上单调递增.(6分)
证明：由(1)可知f(x)=x-，
设 x1，x2∈(-1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-
=x1-x2+=(x1-x2).
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因为x1又x1，x2∈(-1，+∞)，所以1+>0，
所以(x1-x2)<0，
即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)所以函数y=f(x)在区间(-1，+∞)上单调递增.

13课时跟踪检测(九)　函数的单调性与最大(小)值
一、单选题
1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(0,+∞)
2.已知定义域为R的函数f(x), x1,x2∈R,x1≠x2,都有<0,则 (　　)
A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)C.f(2)>f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3)
3.函数f(x)=-x+在上的最大值是 (　　)
A. B.-
C.-2 D.2
4.已知函数f(x)=+2x,若f(2a2-5a+4)A.∪(2,+∞) B.[2,6)
C.∪[2,6) D.(0,6)
5.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是 (　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
6.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 (　　)
A.[-1,0] B.[-1,2]
C.[-2,-1] D.[-2,0]
二、多选题
7.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],其图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的单调递减区间为(0,2)
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的最小值为-1
D.f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5)
8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)在R上为增函数
B.f(e)>f(2)
C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0
D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]
9.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则下列说法正确的是 (　　)
A.M(2)=3 B. x≥1,M(x)≥4
C.M(x)有最大值 D.M(x)最小值为0
三、填空题
10.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
11.函数f(x)=2x-1+的最小值是　　　　.
12.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.若f(2)=3,则不等式f(x2-x-1)<2的解集为　　　.
四、解答题
13.(10分)已知函数f(x)=x|x-4|.
(1)把f(x)写成分段函数,并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象;(6分)
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.(4分)
14.(10分)已知函数f(x)=ax-(a,b∈R),图象经过点,且f(1)=.
(1)求a,b的值;(4分)
(2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.(6分)
课时跟踪检测(九)
1.选B　∵y=|x-2|=∴函数y=|x-2|的单调递增区间为(2,+∞),∴f(x)的单调递减区间为(2,+∞).
2.选B　易知f(x)是R上的减函数,又π>3>2,故f(π)3.选A　因为函数y=-x和y=在上均单调递减,所以f(x)=-x+在上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=2-=.
4.选C　由题意可知,函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,
∵f(2a2-5a+4)(易错提醒:没注意定义域,丢失2a2-5a+4≥2的情况)解得2≤a<6或05.选A　不妨令x1-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x,∴g(x1)又x16.选A　因为f(x)=当x=0时,f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值,所以(-∞,0]为f(x)的单调递减区间,即有a≤0,则a2≤x++a对x>0恒成立.
因为x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,
所以 a2≤2+a,解得-1≤a≤2.
所以a的取值范围为[-1,0].
7.选ACD　由题图可知f(x)的单调递减区间为(0,2),A正确;
当x=0时,f(x)max=3,B错误;
当x=2时,f(x)min=-1,C正确;
由题图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5),D正确.
8.选BC　f(-1)=1,f=-1+<-1+21=1,A错误;e>2,f(e)>f(2),B正确;若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥0或a+1≤0,即a≤-1或a≥0,C正确;当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],故x∈[-1,1]时,f(x)的值域为(-∞,2],D错误.
9.选BD　令g(x)>f(x),即(x+1)2>x+1,解得x<-1或x>0,
所以M(x)=max{f(x),g(x)}=
所以M(2)=(2+1)2=9,故A错误;
对 x≥1,M(x)=(x+1)2≥(1+1)2=4,故B正确;
当x<-1或x>0时,M(x)=(x+1)2,易知函数M(x)无最大值,故C错误;
当x<-1或x>0时,M(x)>0,当-1≤x≤0时,0≤M(x)≤1,所以M(x)的最小值为0,故D正确.
10.解析:要使函数f(x)有意义,则-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3.令y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,根据复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,1].
答案:[-1,1]
11.解析:设=t,t≥0,则x=t2+2,∴函数f(x)=2x-1+等价于y=2t2+t+3,t≥0.
∵y=2t2+t+3在[0,+∞)上单调递增,ymin=2×02+0+3=3,
∴函数f(x)=2x-1+的最小值是3.
答案:3
12.快审准解:根据抽象函数的条件,结合函数的单调性的定义证明函数的单调性,结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可.
解析:由题意,设x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>1.所以f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是增函数.因为f(2)=3,即f(2)=f(1)+f(1)-1=3,所以f(1)=2.所以原不等式f(x2-x-1)<2等价为f(x2-x-1)故不等式的解集为(-1,2).
答案:(-1,2)
13.解:(1)f(x)=x|x-4|=
函数图象如图所示.
(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,4).
14.解:(1)由题意得解得
(2)证明:由(1)可知f(x)=x-,设 x1,x2∈(-1,+∞),且x1因为x10,所以(x1-x2)<0,
即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)所以函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.

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