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二次函数压轴题-全等与相似存在性问题高频考点押题练-2025年中考数学三轮复习备考
1．如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
(3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标．
3．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点，
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标；
(3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）
4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当点C是的中点时，求m的值；
(3)过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？
5．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和点B的坐标；
(2)求抛物线的表达式；
(3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点P是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接交于点，当时，求点P的坐标；
(3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设．求出关于的函数解析式
7．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；
(3)①二次函数过点，，，则的解析式为______；
②若点是二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．
8．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点．
(1)直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________；
(2)如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标；
(3)如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值．
10．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标；
(3)当时，，求的值；
(4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程．
12．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点，
①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值．
13．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点的坐标为，求四边形的面积；
(3)如图1，点是抛物线上一动点，且在直线上方．过点作轴，交直线于点，过点作，交直线于点．设点的横坐标为，线段的长为．
①求关于的函数解析式（不需要注明的取值范围）；
②满足的点分别记作点，，如果将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为．如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是第一象限抛物线上一点，连接，设点D的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点D作分别交线段，抛物线于点E，F，点G在上，连接，且．在上截取，连接，且．点M在上，连接，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接交于点P，若，求点N的坐标．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
《二次函数压轴题-全等与相似存在性问题高频考点押题练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案
1．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】利用待定系数法把点的坐标代入，即可求出的值，把点和点的坐标代入，求出、的值即可得到二次函数的解析式；
根据平行线的性质可证，根据相似三角形的性质可得，设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，把的长度用含的代数式表示出来，可得：，从而可得：，利用二次函数的数质可知的最大值是；
利用待定系数法分别求出、的解析式，根据直线的解析式和直线的解析式可以求出点的坐标，然后分四种情况求重叠部分面积的解析式，第一种情况、点下方时，第二种情况、线段与线段相交时，第三种情况、线段与线段相交时，第四种情况、点在点上方时．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：
，
抛物线的解析式为；
（2）解：由可知直线的解析式为，
如下图所示，分别过点 、 作 轴平行线分别交 于点 、，
，
，，
，
，
，
，
设点的坐标是，
则点的坐标是，点的坐标是，
，
由点和点的坐标，
可得：，，
，
，
整理得：，
当时，有最大值，最大值是；
（3）解：在的条件下，点的坐标是，
设过点和点的直线的解析式为，
可得：，
解得：，
过点和点的直线的解析式为，
设直线的解析为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析为，
解方程组，
可得：，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标是，则点的坐标是，
则点的坐标为，
当时，与公共部分的面积为的面积，
；
如下图所示，当轴时，线段与直线相交时，
则有，
解得：，
当时，线段与相交，
点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为，
则，
重叠部分的面积是的面积，
点的坐标为，
当点的纵坐标为时，可得：，
解得：，
，
，
整理得：；
当点的坐标为时，点到达点的位置，
当时，线段与线段相交，
如下图所示，
点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为，
当时，可得：，
此时重叠部分原面积为，
整理得：；
当点与点重合时，点的坐标是，点的坐标是，
此时记与公共部分的面积为．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，难度较大，解决本题的关键是根据动点移动的情况确定两个三角形重叠部分的图形的形状，借助规则图形的面积公式求出不规则图形的面积．
2．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据题意求出点B，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）利用抛物线解析式得到，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，过点作轴 ，交直线于点，则点，进而得到，再根据，结合二次函数最值求出点P的坐标，作关于直线的对称点，连接交直线于点，结合轴对称，平行四边形性质和判定，勾股定理得到的最小值进行求解，即可解题．
（3）根据抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，结合解直角三角形，以及勾股定理推出向右平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线的解析式，再根据，结合平行线性质，以及相似三角形性质求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
又，
，即，
把坐标代入表达式，则，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为；
，
设直线的解析式为，把代入，
，解得，
直线的解析式为，
设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，
则点，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴当时，的面积取最大值，
∴，
∴，
作关于直线的对称点，连接交直线于点，
，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∵点为直线上一动点，轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴的最小值；
（3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，
又，
，
则设向右平移个单位，则向下平移个单位，
且有，
解得或（不合题意，舍去），
向右平移个单位，向下平移个单位，
，
点E为中点，
，
如图，当时，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立与，
解得或（不合题意，舍去），
，
点的坐标为；
当，与轴的交点为，
，
，
，
，
，，
，
，解得，
，
设直线的解析式为，把代入，
，
解得，
直线的解析式为，
联立与，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，二次函数面积综合，二次函数最值，轴对称找线段和的最小值，平行四边形性质和判定，勾股定理，二次函数的平移，相似三角形性质和判定，解直角三角形，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
3．(1)
(2)
(3)有，满足条件的点的坐标为或或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标；
（2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解；
（3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入
则有，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
．
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，；
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或．
4．(1)；
(2)；
(3)当点E的坐标为时，线段的长最大，最大值为；
【分析】（）先由求出，，然后代入求出的值即可；
（）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可；
（）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标．
【详解】（1）解：由得，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵，
当时，，，
∴，，
∵点是的中点时，
∴，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点不与点，重合，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题．
5．(1)，，
(2)
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键．
（1）利用待定系数法将代入即可得到及函数解析式，进一步即可得到点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出答案即可；
（2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴解得，
∴直线的解析式为，
∴，
（2）把分别代入，
解得，
∴抛物线的解析式为，
（3）解：∵，
∴P，N，
有两种情况：
①当点在点的上方时， ，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
②当点在点的下方时，，
同理，，
解得，
综上所述，的值为或．
6．(1)
(2)当时，点的坐标为或
(3)
【分析】（1）由抛物线与轴交于点，与轴交点，再建立方程组求解即可；
（2）先求解直线的解析式为，，如图所示，过点作轴交于点，求解，证明，，再进一步求解即可；
（3）设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，求解对称轴直线为，即，由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，可得，求解点关于对称轴对称的点的坐标为，再分情况讨论即可；
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
即，
当时，，
即，
综上所述，当时，点的坐标为或；
（3）解：二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为，
∴对称轴直线为，即
由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点，
∴，
令时，，
解得，，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与线段问题，难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键.
7．(1)或
(2)
(3)①；②或或3+
【分析】（1）当P在上方时，过P作轴于H，求出，由是等边三角形，轴，求出，即得；当在下方时，同理可得；
（2）由题意得是等边三角形，轴，求得，设，再将代入，求得，即可解答；
（3）①由抛物线过，，设抛物线的解析式为，再代入，解得，即可求解；
②过作，交延长线于点，过点作轴于点，先求证，，设，分情况讨论：①当E在x轴上方时；②当E在x轴下方时，即可得到答案．
【详解】（1）当P在上方时，过P作轴于H，如图：
，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵轴，
，
∴
∴
∴
∴
设直线解析式为，把代入得
∴
当在下方时，同理可得，
∴正比例函数的解析式为或；
（2）如图所示，由题意得是等边三角形，轴，
，，
中，，，
∴，
设，
将代入，
解得，，
的解析式为：；
（3）①∵抛物线过，，
∴设抛物线的解析式为，
代入，得，
∴抛物线的解析式为；
②如图所示，当，重合时，，显然符合题意；
如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，
①当E在x轴上方时；
∵点是上关于，的等边点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即P是中点，
∴，
将代入，
解得（舍），，
∴，
②当E在x轴下方时，
同理可得P（，），
将代入，
解得：=2（舍） =，
∴=3+，
综上，的横坐标为：或或3+．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，正比例函数，反比例函数相似三角形等知识，解题的关键是读懂题意，理解“等边点”的概念．
8．(1)
(2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点；
（1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可；
（2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可；
（3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，令，则，解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形．
9．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设点，点，点，，利用
，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可；
（3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到
，接着求得，最后利用，
由，则时，取最大值，最大值为．
【详解】（1）解：设直线为，代入，，
，
，
直线为：，
抛物线经过，两点，
，
，
抛物线为：，
故答案为：，；
（2）解：设点，点，点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
当时，点，点，点，不符合题意，舍去；
当时，，点，符合题意，
；
（3）解： 连接，作，交于点，如图所示：
设直线为：，代入，，
，
，
直线为：，
设点，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
时，取最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键．
10．(1)
(2)点坐标为
(3)或
(4)或
【分析】（）根据矩形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）连接，可得点关于对称轴对称，即得，进而得到的周长，可知当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入求出即可得到点坐标；
（）根据二次函数的性质，分与两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解；
（）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴点关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，
把代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴此时点坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，开口向下，
当，即时，随的增大而增大，
∵当时，，
∴时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
当时，随的增大而减小，
∴当时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
综上，或；
（4）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴可设平移中的抛物线的解析式为，
当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点；
当时，
①当拋物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
②当抛物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
综上可得，；
②当且抛物线与直线有公共点时，
则即有实数根，
∴，
解得，
∴；
综上，当或时，在平移的过程中，抛物线与线段有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析．
11．(1)
(2)点D的坐标为，的最小值为
(3)或
【分析】（1）利用二次函数的对称轴，得到，再代入点A的坐标到抛物线，解出的值即可求解；
（2）利用二次函数的性质求出点，的坐标，得出直线的解析式为，延长交轴于点，通过证明得到，设，得出的表达式，求出此时取得最大值时点的坐标，作直线，过点作轴交直线于点，利用三角函数的知识推出，作于点，则，再利用垂线段的性质和锐角三角函数的定义求出的最小值即可；
（3）由平移的性质得，则设直线的解析式为，结合与原抛物线恰好只有一个交点，联立函数利用根的判别式求出的值，得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，连接交于点，连接、，利用对称的性质和平行线的性质推出四边形是菱形，得出，设，利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线，
，
，
代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
，
，
，
令，则，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线的解析式为，
如图，延长交轴于点，
轴，
，
，
，
，
，即，
，
，
设，则，，
，，
，
当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为，
作直线，过点作轴交直线于点，
令，则，解得，
，
，
在中，，
，
作于点，则，
，
，
当三点共线时，有最小值，此时，
过点作轴交直线于点，则，
令，则，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
综上所述，点D的坐标为，的最小值为．
（3）解：由（2）得，直线的解析式为，
由平移的性质得，，
设直线的解析式为，
联立，
消去整理得：，
与原抛物线恰好只有一个交点，
，
解得：，
代入得，，
解得：，
，
又，
，
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线的解析式为，
，，
同理可得，直线的解析式为，
连接交于点，连接、，
点G关于直线的对称点为，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
设，
，
解得：，，
符合条件的N点的横坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、平移和对称的性质、一元二次方程的应用，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，同时涉及较大运算量，适合有能力解决压轴题的学生．
12．(1)抛物线 的解析式为；
(2)①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可解答；
（2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答；
②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
可得，
解得，
抛物线 的解析式为；
（2）解：①存在，如图，过点作轴，交于点，
，
当四边形为平行四边形时，，，
，
，
，
，即点的横坐标为，
当时，，
则，
故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形；
②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点
∴，，
∵点按竖直方向向下平移个单位到点，
∴，
∴点到x轴的距离为，
此时满足，
∴点到x轴的距离的最大值为．
13．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）由抛物线经过，两点，设抛物线的交点式，再由抛物线与轴交于点，将代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据题意，，，，，，由四边形的面积，代值求解即可得到答案；
（3）①根据题意，求出，利用两点之间距离公式表示出，即可得到关于的函数解析式；②由①中解析式，当时，解一元二次方程得到点，，求出直线，结合抛物线平移性质，设顶点式，最后由该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
设，
抛物线与轴交于点，
将代入得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示：
，，，，，
四边形的面积；
（3）解：①、，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线；
同理，、，则直线，
点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，
，且，
，则设直线，
将代入直线，得，
直线，
交线段于点，
联立方程组得，解得，即，
，
关于的函数解析式为；
②由①知，
当时，得，即，
，解得或，
则、，
设直线，
将、代入可得，
解得，
直线，
将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，
设平移后的抛物线的顶点横坐标为，则顶点坐标为，
平移后的抛物线为，
该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，，，
当抛物线过点时，，即，解得或；
当抛物线过点时，，即，解得或；
当时，抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点；
联立，消去得，
当抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点时，
，即，解得，
此时，将代入得，
解得，满足线段中的要求，
即当时，抛物线与线段也只有一个交点；
综上所述，抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数综合，难度很大，涉及待定系数法求二次函数解析式、两点之间距离公式、平面直角坐标系中求图形面积、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线交点问题、一次函数图象的平移、抛物线的平移、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，熟记二次函数图象与性质，理解并掌握二次函数综合问题的相应解法是解决问题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为点R．表示出，得出，，在中，根据即可求解．
（3）如图2，延长至K，使得，连接，，，，过点F分别作轴于点L，轴于点Q，过点M作轴交于点T．求出直线的解析式，设直线的解析式为，求出，由，得或，表示出，令，则，，证明，得出，证明，得出，在中，，列方程解得，求出，证明，．得出，令，则，，，，在中，，在中，，列方程求出，即可得出，结合轴，点N在第三象限，即可求出．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，过点D作轴，垂足为点R．
∵点D为抛物线上的一点，且点D的横坐标为t，
∴，
∴，．
在中，．
（3）解：如图2，延长至K，使得，连接，，，，过点F分别作轴于点L，轴于点Q，过点M作轴交于点T．
根据 得，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
由，得或，
当时，，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：（舍），，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
令，则，，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∵轴，点N在第三象限，
∴．
【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，解一元二次方程，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
15．(1)；
(2)点P的坐标为或或；
(3)点D的坐标为．
【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求；
（2）求出线段的长，分类讨论解答即可；
（3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，这样．利用三角形的相似得出．从而得到M的坐标；求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：
如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个解析式联立可以求出交点的坐标．

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