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2025年中考数学临考冲刺专题：平面直角坐标系及函数
1．定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为．
例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为．
(1)点的“神秘点”坐标为 ；
(2)点的“神秘点”在的图象上，求的值；
(3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为．
①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标；
②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围．
2．如图在中，三个顶点的坐标分别是，，．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到
(1)在平面直角坐标系中，画出；
(2)点，，的坐标分别为： ， ， ；
(3)面积为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，已知，．点C，D分别是x正半轴和y正半轴上的动点，设，，其中，．已知，在线段上有一点E，且，连接，连接交y轴于点F．
(1)求证：；
(2)求证：的面积为定值；
(3)看一看，想一想，证一证．
以下与线段，线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接．
(1)若，求三角形的面积；
(2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标；
(3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标．
5．在平面直角坐标系中、，a、b满足．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B．
(1)______，_______，______．
(2)如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动．
(1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________；
(2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由．
8．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，，
(1)在平面直角坐标系中画出三角形，它的面积为______；
(2)将三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，．已知点的坐标是，
①点的坐标是______，点的坐标是______；
②画出三角形，写出一种将三角形平移到三角形的方法：______．
9．如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足．
(1)求的点坐标；
(2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值；
(3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”．
例如：对于，则“和值”【，】．
已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点．
(1)“和值”【，，】______；
(2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】．
①当时，______；
②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标．
11．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．
(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标；
(2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式．
12．在平面直角坐标系中，已知点点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．
(1)如图1，求出点的坐标；
(2)如图2，若，且分别平分，求的值；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于．
(1)___________，___________，三角形的面积___________；
(2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数；
(3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请你在坐标系中画出，并写出点、的坐标；
(2)在（1）的条件下，若点是线段上任意一点，则在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由．
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足．
(1)直接写出点B和点C的坐标；
(2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围；
(3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
《2025年中考数学临考冲刺专题：平面直角坐标系及函数》参考答案
1．(1)
(2)
(3)①当时点对应的“神秘点”的坐标为；②的取值范围为或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键．
（1）由“神秘点”的定义解答即可；
（2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值；
（3）①先求出直线的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标；
②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴点的“神秘点”坐标为，
故答案为：．
（2）解：当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
当时，点的“神秘点”为，
把代入，得，
解得：；
∴综上，．
（3）解：①设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点在直线上，当时，，
解得：，即，
∴点的坐标为，
∵，
∴点对应的“神秘点”的坐标为；
②点对应的“神秘点”的坐标为，
点对应的“神秘点”的坐标为，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：，
∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形，
由和，
得：和，
如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图，当抛物线 过点时，
，
解得：，
综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时，的取值范围为或．
2．(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）分别将三个顶点分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）点，，的坐标分别为：，，
故答案为：，，．
（3）面积为
故答案为：．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）根据，得出即可；
（2）过点E作轴于点G，证明，得出，，求出即可；
（3）根据得出，根据，得出，求出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）解：过点E作轴于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为定值；
（3）解：；理由如下：
根据解析（2）可知：，，
∵，，
∴，，
∴，
∵
,
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行线的判定，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
4．(1)12
(2)，
(3)，点的坐标是或
【分析】（1）由非负数的性质得，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）根据可求出，结合，可求出，再根据求出点的坐标；
（3）连接．由求出，由求出，然后分当时（即点在线段上时）和当时（即点在线段的延长线上时）两种情况求解即可．
【详解】（1）由题意可得：解得
又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴， ，
∴．
（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，解二元一次方程组，两平行线间的距离，分类讨论是解（3）的关键．
5．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解；
（2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解；
（3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：设E为，
分以下两咱情况讨论：
①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接，
则
，
∴，，
②当E在直线下方时，同样可得，
∴，，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、，
依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形的内部时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
解得，
∴；
②如图，当点P在梯形的下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点在x轴上，
如图，作轴于G，连接，
，
，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P点的坐标为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．(1)；；20
(2)
(3)点的坐标为或．
【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积．
（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可；
（3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，
，，，
的面积为；
故答案为：；；20；
（2）解：∵轴，，
，，，
过作交轴于点，如图所示：
，
，
、分别平分、，
，，
；
（3）解：存在．理由如下：
当在轴正半轴上时，如图．
设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，．
，
，
．
解得，即点的坐标为；
当在轴负半轴上时，如图作辅助线，
设点，则，，．
，
同理，．
解得，即点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
7．(1)，；30；
(2)，理由见解析
(3)存在，或24
【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）根据长方形的性质，结合点的坐标，求出的坐标，进而求出的长，利用面积公式求出长方形的面积即可；
（2）作，根据平行线的性质，进行求解即可；
（3）分P在线段上，P在线段上，P在线段上，三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形，
∴，，，
∵轴，
∴轴，轴，
∵点A、C坐标分别为、，
∴，，
∴，
∴长方形的面积为；
（2），理由如下：
作，
，
，
，
，
即；
（3）存在．
①当P在线段段时，
由题意，得：，
，
三角形的面积等于长方形面积的，
；
②当P在线段段时，三角形的面积不变，不等于长方形面积的，不合题意，舍去
③当P在线段段时，
，
，
三角形的面积等于长方形面积的，
，
解得；
或24．
8．(1)见详解，4.5
(2)①，②见详解，右移5个单位再上移3个单位得到
【分析】本题考查了点的坐标，平移作图，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，，，画出三角形，再运用割补法求面积，即可作答．
（2）①根据，点的坐标是，得出平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到，据此得出点的坐标和点的坐标，
②由①得点的坐标,再画出三角形，即可作答．
【详解】（1）解：三角形如图所示：
则三角形的面积为．
故答案为：；
（2）解：①∵将三角形平移到三角形，且，点的坐标是，
∴平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到，
∴，
即点的坐标是，
则，
即点的坐标是；
故答案为：，；
②三角形如图所示：
则将三角形平移到三角形的方法：右移5个单位再上移3个单位得到．
故答案为：右移5个单位再上移3个单位得到．
9．(1)，
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（）根据非负数的性质解答即可；
（）如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和，可得四边形是矩形，进而根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积列出方程解答即可求解；
（）由，得，，，进而根据与的面积相等，可得，即得或，再分情况解答即可；
本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和，
则四边形是矩形，
∵，，，
∴的面积矩形的面积的面积的面积的面积
，
解得；
（3）解：存在，理由如下：
如图，
∵，，
∴，，，
∵与的面积相等，
∴，
∴或，
当时，，
∵，与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
则，
∵，与的面积相等，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
10．(1)
(2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值
【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键；
（1）根据和值的定义求解即可；
（2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解；
【详解】（1）解：根据图象，可得，
横坐标最大值：、、中最大为；
纵坐标最大值：、、中最大为；
【，，】；
故答案为：
（2）①当时，则， ，
横坐标最大值： 、， 中最大为1；
纵坐标最大值：、、， 中最大为；
求和值：；
故答案为：
②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值：
当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为，
（随增大而增大）；
当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为，
（随增大而增大）。
当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为，
（随增大而减小）；
综上，m有最小值：当时，，对应点；
无最大值：随增大而无限增大；
11．(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答；
（2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；
（3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式．
【详解】（1）解：由折叠得：，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
；
（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，
过作轴于，
，
是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是15；
（3）解：如图③，过作轴于，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
设的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
的解析式为．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
12．(1)，；
(2)2
(3)存在满足条件的点，其坐标为或或或．
【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标；
（2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案；
（3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标．
【详解】（1）解：，，，
，，
，，
，；
（2）解：如图，过点作，交轴于点，
，
又∵，
，
，
，
∴；
（3）解：存在．
∵，，，
∴的面积，
当点在轴上时，设，
，，
，
解得或，
此时点坐标为或；
当点在轴上时，设，
则，
解得或，
此时点坐标为或，
综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或．
【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
13．(1)，5，20
(2)
(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质确定的值，进而可知点的坐标，即可求得三角形的面积；
（2）过点作，结合角平分线的定义、平行线的性质，分别证明，，利用角平分线性质求解即可；
（3）设点，分当点在轴上方和点在轴下方两种情况讨论，过点作，过点作于点，过点作于点，利用求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三角形的面积．
故答案为：，5，20；
（2）过点作，如下图，
∵，，
∴，
∴
∴，
同理，，
又∵平分，平分 ，
∴，
∴；
（3）设点，分两种情况讨论：
当点在轴上方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即；
当点在轴下方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即．
综上所述，点坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平行线的性质、角分线的定义以及一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
14．(1)图见解析，点，；
(2)点Q的坐标为或
【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）由平移得，AB∥A1B1，可得，设点Q的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，点，；
（2）解：存在．
由平移得，，
∴，
设点Q的坐标为，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得或8，
∴点Q的坐标为或．
15．(1)，；
(2)当时，，当时，；
(3)存在；，点P的坐标为；，点P的坐标为．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键；
（1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论；
（2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，用用含t的式子表示即可；
（3）当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
点，即，，
作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，
，；
（2）解：由，，可得：，，
点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，
当点P在线段上时，
，
即当时，，
当点P在线段上时，
，
即；当时，；
（3）解：存在，理由如下：
点，
，，
，
，
当点P在线段上时，
，，
解得：，
，
点P的坐标为；
当点P在线段上时，
解得：；
，
点P的坐标为
综上所述：，点P的坐标为；，点P的坐标为．

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