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2025年中考数学总复习
全等三角形模型的应用
1．如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：

2．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.

(1)求证：；
(2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
(3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由.
3．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
4．【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题拓展】
（2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：：
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积．
5．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
(1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：．
(2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：．
6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线．
7．已知：在中，，，是内的一点，．
(1)如图1，请写出与的大小关系，并证明．
(2)如图2，点为的中点，连接，．用等式表示，之间的数量关系并证明．
8．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点．
(1)猜想：如图1所示，当时，则______；
(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；
(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．
9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
(1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______；
(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
10．综合与实践
【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：．
【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．

(1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______；
(2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明．
(3)如图5，当点M在线段上时的值为______．
11．【问题初探】
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________．
A． B． C． D．
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．

12．【问题初探】
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板

（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．
13．如图1，为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，于．
(1)求证：；
(2)连接交于，若，求的值；
(3)如图2，过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
14．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明；
(3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值．
15．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明）
《2025年中考数学总复习全等三角形模型的应用》参考答案
1．证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，
即．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
2．(1)见解析
(2)相等，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质，由即可证明；
（2）结论：，证明，可得结论．
（3）证明，推出，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：相等．
理由：如图2中，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，结论：．
理由：延长到R，使得，连接．

∵等边，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
4．（1）；（2）见解析；（3）18
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可；
（3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵是的中线．
∴，
∵，，
∴，
∴，
可得，
即：，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点，使得，连接，如图2：
由题意得：，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，
由（2）可得：，，，
．
．
，，
．
，
，
，
．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义．
（1）由证明三角形全等可得出答案；
（2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案．
【详解】（1）证明：是的中线
，
在和中，
，
；
（2）证明：延长至，使，
是的中线，
，且，
，
，，
，
，
，
，
即，且，，
.
，
，
．
6．[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解
【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
[方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解；
[问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解；
[问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证．
【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
[问题解决]（2）∵，
∴，
∵，
∴，即点是中点，
如图所示，延长到点，使得，
∵点是中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
[问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，
∵，，，点共线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即点是的中点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与综合，勾股定理；
（1）由等腰直角三角形得到，由得到，即可得到；
（2）过作，使，延长至，使，连接，，先证明，得到，，再证明，得到，，推出，，即可证明，得到，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，过作，使，延长至，使，连接，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；
（1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；
（2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；
（3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
．
在和中，，，
，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：
在和中
．
在和中
，
．
（3）解：由（1）得，，
，
∵，
，，
，
，
，，
，
．
，，
．
9．(1)；
(2)且，理由见解析
(3)，
【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论；
（2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论；
（3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：且；
理由如下：∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：且；
（3）解：，，理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键．
10．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用证明，可得结论；
（2）过点N作直线于E，证明，可得，再证明，可得结论；
（3）过点N作直线于H，证明，可得，，证明，可得，，，设，，则，可得，即可求解．
【详解】（1）解：由旋转得，，
∵，点M与点C重合，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
证明：过点N作直线于E，

∴，，
由旋转得，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点N作直线于H，

同理得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键．
11．（1）B；（2），；（3）
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可；
（2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到；
（3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可．
【详解】解：（1），，，
．依据的是判定定理，
故选：B；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点O，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为7，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
12．（1）见解析；（2），；（3）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论；
（2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到；
（3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可．
【详解】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过作交延长线于，过作交于，

∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为7，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．
13．(1)见解析
(2)2
(3)式子的值不会变化，值为1
【分析】（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【详解】（1）证明：∵为等腰三角形，，点P在线段上（不与B，C重合），以为腰长作等腰直角，于E，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：式子的值不会变化．
如图2所示：作交于点H，
∵，，，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．
14．(1)
(2)
(3)的最小值为
【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出．
（2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则．
（3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：作交于，如图1：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
作交于，如图2，
在和中，
，
∴
∴，，，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，
∵关于直线对称，
∴，
∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
，
∵
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键．
15．(1)图见解析，，，
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为；
故答案为：，，；
（2）解：成立，证明如下：
延长到点，使，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上取一点，使，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：．

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