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第三节 函数的奇偶性与周期性
　　
1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题.
　　　　　　　　　　　　　　　　
教材再回首
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于　　　对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于　　　对称
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　　　,那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　的正数,那么这个　　　　　就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数周期性的3个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量的值x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则2a(a>0)是f(x)的一个周期;
(2)若f(x+a)=,则2a(a>0)是f(x)的一个周期;
(3)若f(x+a)=-,则2a(a>0)是f(x)的一个周期.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. (　　)
(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (　　)
(3)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y=f(x)是奇函数. (　　)
(4)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期. (　　)
2.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数,其中为奇函数的是 (　　)
A.f(x)=x4 B.f(x)=x5
C.f(x)=x+ D.f(x)=
3.(苏教必修①P134T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则下列关系式中成立的是 (　　)
A.f(-1)C.f(-1)f(2)
4.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)=　　　　.
题点一　函数奇偶性的判断
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
(2)(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　)
A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数
|思维建模|
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(x)与f(-x)的关系.
(2)取特殊值排除法:比如若根据函数得到f(1)≠f(-1),则排除f(x)是偶函数,适用于选择题.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
[即时训练]
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-; (2)f(x)=;
(3)f(x)=+; (4)f(x)=
题点二　函数奇偶性的应用
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
考法(一)　利用奇偶性求解析式
[例2]　(人A必修①P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(x)的解析式为　　　　.
|思维建模|　
(1)将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
考法(二)　利用奇偶性求值
[例3]
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　　)
A.-1 B.0
C. D.1
(2)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 (　　)
A.0 B.2
C.1 D.3
|思维建模|　
利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
考法(三)　利用奇偶性解不等式
[例4]　(2025·大连模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>3f(x)的解集为 (　　)
A.(-,0)∪(,2)
B.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2)
D.(-2,-)∪(,2)
|思维建模|　
　　解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
[即时训练]
2.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex+x,则g(x)= (　　)
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a= (　　)
A.2 B.1
C. D.-1
|谨记结论|
　　偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
题点三　函数的周期性及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(-x),f=,则f等于 (　　)
A.- B.-
C. D.
|思维建模|　
与周期性有关的解题策略
(1)求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
[即时训练]
4.设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)= (　　)
A.x+4 B.2-x
C.3-|x+1| D.2+|x+1|
5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)f(x)=1,若f(0)∈(1,2),则f(2 026)的取值范围为　　　　.
第三节　函数的奇偶性与周期性
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.f(-x)=f(x)　y轴　f(-x)=-f(x)　原点
2.(1)f(x+T)=f(x)　(2)最小　最小正数
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.选BC　对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数.
3.选D　因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),f(-2)=f(2),又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(-1)>f(-2),f(1)>f(2),f(-1)>f(2).故选D.
4.解析:由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1),而f(-1)=2f(10)+3,所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,解得f(-1)=1,故f(2 023)=f(1)=-1.
答案:-1
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)BD
(1)法一:通解　对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f(-x)===-=-f(x),故f(x)是奇函数.故选B.
法二:性质法　易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数,且恒为正.对于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函数,所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B,y=cos x+x2是偶函数,所以f(x)是偶函数;对于C,易知f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数;对于D,y=sin x+4x是奇函数,所以f(x)是奇函数,故选B.
借题发挥:记住一些常见函数的奇偶性,对我们提高解题速度很有帮助.常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1),y=cos x,y=x2n(n∈Z),y=|x|等;常见的奇函数有y=ax-a-x,y=sin x,y=tan x,y=x2n+1(n∈Z),y=loga,y=loga(x+ )等,其中a>0且a≠1.
(2)因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,不是偶函数,故C错误;因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确.
[即时训练]
1.解:(1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-=-f(x),从而函数f(x)为奇函数.
(2)由得-2即函数f(x)的定义域是{x|-2因此f(x)==lg(4-x2),
所以f(-x)=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)如图,作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
题点二
[例2]　解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x),
所以f(x)的解析式为f(x)=
答案:f(x)=
[例3]　(1)B　(2)B
(1)法一　设g(x)=ln,易知g(x)的定义域为∪,且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B.
法二　因为f(x)=(x+a)ln为偶函数,f(-1)=(a-1)·ln 3,f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B.
(2)由题意知,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x,则函数g(x)为奇函数,
所以g(x)在区间[-2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0,即M-1+m-1=0,所以M+m=2.
[例4]　选D　根据偶函数的图象特征,可知当x∈(-2,0)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f(x)<0.由x2f(x)>3f(x),得(x2-3)f(x)>0,等价于或解得[即时训练]
2.选B　由题意知,f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
则f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以即
解得g(x)=.
3.选D　∵函数f(x)=a-为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-=-a+,∴2a=+=+=2=-2,∴a=-1.经检验,a=-1满足题意.
题点三
[例5]　选C　因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(-x)=f(x),故f(2+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的一个周期为2,故f=f=f=f=.
[即时训练]
4.选C　当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1).
当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],2-x∈[2,3],因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上所述,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|.
5.解析:因为f(x+2)f(x)=1,所以f(x+2)=,
所以f(x+4)===f(x),即f(x+4)=f(x),所以4是函数f(x)的一个周期,所以f(2 024)=f(0).因为f(0)∈(1,2),所以f(2 026)==∈.
答案:(共68张PPT)
第三节
函数的奇偶性与周期性
明确目标
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且___________，那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
最小
最小正数
3.函数周期性的3个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x+a)=-f(x)，则2a(a>0)是f(x)的一个周期；
(2)若f(x+a)=，则2a(a>0)是f(x)的一个周期；
(3)若f(x+a)=-，则2a(a>0)是f(x)的一个周期.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.(　　)
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)
(3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数.(　　)
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.
(　　)
×
×
×
√
2.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数，其中为奇函数的是 (　　)
A.f(x)=x4 B.f(x)=x5
C.f(x)=x+ D.f(x)=
解析：对于f(x)=x4，f(x)的定义域为R，由f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，可知f(x)=x4是偶函数，同理可知f(x)=x5，f(x)=x+是奇函数，f(x)=是偶函数.
√
√
3.(苏教必修①P134T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是 (　　)
A.f(-1)C.f(-1)f(2)
解析：因为f(x)是偶函数，所以f(1)=f(-1)，f(-2)=f(2)，又f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以f(-1)>f(-2)，f(1)>f(2)，f(-1)>f(2).故选D.
√
4.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(-1)=2f(10)+3，则f(2 023)=_____.
解析：由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1)，而f(-1)=2f(10)+3，所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3，即3f(-1)=3，解得f(-1)=1，故f(2 023)=f(1)=-1.
-1
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
√
题点一　函数奇偶性的判断
解析：法一：通解　对于A，f(-x)==≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，
f(-x)===f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，
f(-x)===-=-f(x)，故f(x)是奇函数.故选B.
法二：性质法　易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y=ex-x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y=cos x+x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y=sin x+4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B.
记住一些常见函数的奇偶性，对我们提高解题速度很有帮助.常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1)，y=cos x，y=x2n(n∈Z)，y=|x|等；常见的奇函数有y=ax-a-x，y=sin x，y=tan x，y=x2n+1(n∈Z)，y=loga，y=loga(x+ )等，其中a>0且a≠1.
借题发挥
(2)(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则 (　　)
A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数
√
√
解析：因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)
+g(x)≠-[f(x)+g(x)]，所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误；因为f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故D正确.
判断函数奇偶性的方法
思维建模
定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(-x)的关系
取特殊值 排除法 比如若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数，适用于选择题
性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-；
解：原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-=-f(x)，
从而函数f(x)为奇函数.
即时训练
(2)f(x)=；
解：由得-2即函数f(x)的定义域是{x|-2因此f(x)==lg(4-x2)，所以f(-x)=f(x)，因此函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=+；
解：f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)=
解：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
考法(一)　利用奇偶性求解析式
[例2]　(人A必修①P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1-x)，则f(x)的解析式为_____________________.
题点二　函数奇偶性的应用
f(x)=
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f(x)=x(1-x)，
当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x)，
所以f(x)的解析式为f(x)=
(1)将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.
(2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0.
思维建模
考法(二)　利用奇偶性求值
[例3]
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则a=(　　)
A.-1 B.0
C. D.1
√
解析：法一　设g(x)=ln，易知g(x)的定义域为
∪，且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x)，所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则y=x+a也应为奇函数，所以a=0，故选B.
法二　因为f(x)=(x+a)ln为偶函数，f(-1)=(a-1)·ln 3，f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3，所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3，解得a=0，故选B.
(2)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 (　　)
A.0 B.2
C.1 D.3
解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)
=f(x)-1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[-2 025，
2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M-1+m-1=0，所以M+m=2.
√
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
谨记结论
利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
思维建模
考法(三)　利用奇偶性解不等式
[例4]　(2025·大连模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>3f(x)的解集为(　　)
A.(-，0)∪(，2)
B.(-2，-)∪(0，)∪(2，+∞)
C.(-∞，-2)∪(-，0)∪(，2)
D.(-2，-)∪(，2)
√
解析：根据偶函数的图象特征，可知当x∈(-2，0)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f(x)<0.由x2f(x)>3f(x)，得(x2-3)f(x)>0，等价于或解得-.所以不等式的解集为(-2，-)∪(，2).
解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式(组).
思维建模
2.已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=ex+x，则g(x)= (　　)
A. B.
C. D.
即时训练
√
解析：由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
所以
即解得g(x)=.
3.已知函数f(x)=a-为奇函数，则a=(　　)
A.2 B.1
C. D.-1
解析：∵函数f(x)=a-为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即a-=
-a+，∴2a=+=+=2=-2，∴a=-1.经检验，a=-1满足题意.
√
[例5]　设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2+x)=f(-x)，f=，则f等于(　　)
A.- B.-
C. D.
√
题点三　函数的周期性及应用
解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(-x)=f(x)，
故f(2+x)=f(-x)=f(x)，
所以f(x)的一个周期为2，
故f=f=f=f=.
与周期性有关的解题策略
(1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
思维建模
4.设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，f(x)= (　　)
A.x+4 B.2-x
C.3-|x+1| D.2+|x+1|
即时训练
√
解析：当x∈[-2，-1]时，x+4∈[2，3]，f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1).
当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上所述，当x∈[-2，0]时，f(x)=3-|x+1|.
5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)f(x)=1，若f(0)∈(1，2)，则f(2 026)的取值范围为_____.
解析：因为f(x+2)f(x)=1，所以f(x+2)=，
所以f(x+4)===f(x)，即f(x+4)=f(x)，
所以4是函数f(x)的一个周期，所以f(2 024)=f(0).
因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)==∈.
数智赋能：电子版随堂训练(集训真题)，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 024)等于(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 024)=f(0)=0.
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2.(2025·杭州一模)函数f(x)=是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
13
√
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2
3
4
2.(2025·杭州一模)函数f(x)=是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
13
解析：当x≥0时，f(x)=x-1，则f(-x)=-x-1=f(x)，
当x<0时，f(x)=-x-1，则f(-x)=x-1=f(x).
综上可得，f(-x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数.
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3.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=cos x-a(x2+1)，若f(x)在(-1，1)内有唯一的零点，则a= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x)2+1]=cos x-a(x2+1)=f(x)，
所以f(x)是偶函数，要使f(x)在(-1，1)内有唯一的零点，
则f(0)=0，即f(0)=1-a=0，解得a=1.
√
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13
4.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
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13
解析：法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)-f(-x)=-==0.因为x不为0，所以ex-e(a-1)x=0.所以a-1=1，a=2.
法二　因为f(x)==，f(x)是偶函数，且y=x是奇函数，所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数，故a-1=1，即a=2，故选D.
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13
5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0，则m的取值范围为 (　　)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，1) D.(1，+∞)
快审准解：根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得f(x)在R上单调递增，即可得3+m>7-3m求解.
√
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13
解析：当x≥0时，由函数f(x)=x(x+2)图象的对称轴为x=-1，知f(x)在[0，+∞)上单调递增.又函数f(x)在x=0处连续，且f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x)，由f(3+m)+f(3m-7)>0，可得f(3+m)>f(7-3m)，又f(x)在R上单调递增，所以3+m>7-3m，解得m>1.
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6.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 016，且x>0时，f(x)>2 016，记f(x)在[-2 017，2 017]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为 (　　)
A.2 016 B.2 017
C.4 032 D.4 034
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解析：令x1=x2=0，得f(0)=2f(0)-2 016，∴f(0)=2 016，
令x1=-x2，得f(0)=f(-x2)+f(x2)-2 016=2 016，∴f(-x2)+f(x2)=4 032.令g(x)=f(x)-2 016，-2017≤x≤2017，则g(x)max=M-2 016，g(x)min=N-2 016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4 032=0，∴g(x)是奇函数，
∴g(x)max+g(x)min=0，即M-2 016+N-2 016=0，∴M+N=4 032.
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二、多选题
7.已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x)=f(2-x)，则(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.f(x)=-f(x+4)
D.f(x)的一个周期为4
√
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√
解析：由函数f(x)为奇函数，得f(0)=0，A正确；由f(x)=f(2-x)，得f(x+1)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，B错误；由f(x)=f(2-x)可知f(2-x)=f(4+x)，即f(x)=f(4+x)，函数f(x)的一个周期为4，C错误，D正确.
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13
8.f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=4x-x2，则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的单调递增区间为(-∞，-2]和[0，2]
B.f(-π)C.f(x)的最大值为4
D.当x<0时，f(x)=-4x-x2
√
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√
√
解析：当x≥0时，f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4，故当0≤x≤2时，f(x)单调递增，当x≥2时，f(x)单调递减，又f(x)是定义在R上的偶函数，故当x≤-2时，f(x)单调递增.综上，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2]和[0，2]，A正确；当x≥2时，f(x)单调递减，f(-π)=f(π)>f(5)，B错误；f(x)在(-∞，-2]和[0，2]上单调递增，在[-2，0]和[2，+∞)上单调递减，故当x=-2和x=2时，f(x)取得最大值，最大值为f(2)=-(2-2)2+4=4，C正确；当x<0时，-x>0，故f(x)=f(-x)=-4x-(-x)2=-4x-x2，D正确.
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9.已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，若f(x)的最小正周期为a，g(x)的最小正周期为b，则 (　　)
A.f(x)+g(x)为周期函数
B.f(x)g(x)为周期函数
C.f+g为周期函数
D.fg为周期函数
√
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√
解析：当是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，f(x)+g(x)和f(x)g(x)可能不为周期函数，故A、B错误；f=f
=f，g=g=g，f和g的周期均为ab，因此fg和f+g均有为ab的周期，故C、D正确.
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三、填空题
10.(2024·榆林三模)若奇函数f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)，则f(1)=____.
解析：依题意f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)为奇函数，得-x3+(a-5)x2-ax=-x3-(a-5)x2-ax，即(a-5)x2=0，可得a-5=0，即a=5，故f(x)=x3+5x，则f(1)=13+5=6.
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11.(2025·安康模拟)已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(-x+3)，当x∈[0，2]时，f(x)=x2-2x，则f(23)=____.
解析：由题意，得f(-x)=-f(x)，在f(x-1)=f(-x+3)中，以x+1替换x，得f(x)=f(-x+2)(*)，以x+2替换(*)式中的x，得f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=f(x)，故4为函数f(x)的一个周期.所以f(23)=f(4×6-1)=
f(-1)=-f(1)=-(1-2×1)=1.
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四、解答题
12.(10分)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证：f(n)是周期函数，并求出其周期；(6分)
证明：∵f(n+2)=f(n+1)-f(n)，
∴f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n)，
∴f(n+6)=-f(n+3)=-[-f(n)]=f(n)，
∴f(n)是周期函数，周期为6.
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(2)若f(1)=1，f(2)=3，求f(800)的值.(4分)
解：∵f(n)是周期为6的函数，且f(1)=1，f(2)=3，∴f(800)=f(133×6+2)=f(2)=3.
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13
13.(10分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值；(2分)
解：因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，所以令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，所以f(1)=0.
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13
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(4分)
解：f(x)为偶函数.证明如下：
令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1，x2=x，
有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.
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(3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，求x的取值范围.(4分)
解：依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x-1)<2 f(|x-1|)(注意：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|))
又f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以0<|x-1|<16，解得-151
5
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13课时跟踪检测(十)　函数的奇偶性与周期性
一、单选题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(2 024)等于 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.(2025·杭州一模)函数f(x)=是 (　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
3.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=cos x-a(x2+1),若f(x)在(-1,1)内有唯一的零点,则a= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0,则m的取值范围为 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
6.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 016,且x>0时,f(x)>2 016,记f(x)在[-2 017,2 017]上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为 (　　)
A.2 016 B.2 017
C.4 032 D.4 034
二、多选题
7.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x)=f(2-x),则 (　　)
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.f(x)=-f(x+4)
D.f(x)的一个周期为4
8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=4x-x2,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,2]
B.f(-π)C.f(x)的最大值为4
D.当x<0时,f(x)=-4x-x2
9.已知函数f(x)和g(x)的定义域为R,若f(x)的最小正周期为a,g(x)的最小正周期为b,则 (　　)
A.f(x)+g(x)为周期函数
B.f(x)g(x)为周期函数
C.f+g为周期函数
D.fg为周期函数
三、填空题
10.(2024·榆林三模)若奇函数f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R),则f(1)=　　　　.
11.(2025·安康模拟)已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(-x+3),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(23)=　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期;(6分)
(2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(800)的值.(4分)
13.(10分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;(2分)
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(4分)
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,求x的取值范围.(4分)
课时跟踪检测(十)
1.选B　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
又f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,
所以f(2 024)=f(0)=0.
2.选B　当x≥0时,f(x)=x-1,则f(-x)=-x-1=f(x),
当x<0时,f(x)=-x-1,则f(-x)=x-1=f(x).综上可得,f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.
3.选A　由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x)2+1]=cos x-a(x2+1)=f(x),所以f(x)是偶函数,要使f(x)在(-1,1)内有唯一的零点,则f(0)=0,即f(0)=1-a=0,解得a=1.
4.选D　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0.因为x不为0,所以ex-e(a-1)x=0.所以a-1=1,a=2.
法二　因为f(x)==,f(x)是偶函数,且y=x是奇函数,所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数,故a-1=1,即a=2,故选D.
5.快审准解:根据二次函数的单调性,结合奇函数的性质可得f(x)在R上单调递增,即可得3+m>7-3m求解.
选D　当x≥0时,由函数f(x)=x(x+2)图象的对称轴为x=-1,知f(x)在[0,+∞)上单调递增.又函数f(x)在x=0处连续,且f(x)是定义域为R的奇函数,故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得f(3+m)>f(7-3m),又f(x)在R上单调递增,所以3+m>7-3m,解得m>1.
6.选C　令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)-2 016,∴f(0)=2 016,
令x1=-x2,得f(0)=f(-x2)+f(x2)-2 016=2 016,
∴f(-x2)+f(x2)=4 032.令g(x)=f(x)-2 016,-2 017≤x≤2 017,则g(x)max=M-2 016,g(x)min=N-2 016,
∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4 032=0,∴g(x)是奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0,即M-2 016+N-2 016=0,
∴M+N=4 032.
7.选AD　由函数f(x)为奇函数,得f(0)=0,A正确;由f(x)=f(2-x),得f(x+1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,B错误;由f(x)=f(2-x)可知f(2-x)=f(4+x),即f(x)=f(4+x),函数f(x)的一个周期为4,C错误,D正确.
8.选ACD　当x≥0时,f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4,故当0≤x≤2时,f(x)单调递增,当x≥2时,f(x)单调递减,又f(x)是定义在R上的偶函数,故当x≤-2时,f(x)单调递增.综上,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,2],A正确;当x≥2时,f(x)单调递减,f(-π)=f(π)>f(5),B错误;f(x)在(-∞,-2]和[0,2]上单调递增,在[-2,0]和[2,+∞)上单调递减,故当x=-2和x=2时,f(x)取得最大值,最大值为f(2)=-(2-2)2+4=4,C正确;当x<0时,-x>0,故f(x)=f(-x)=-4x-(-x)2=-4x-x2,D正确.
9.选CD　当是无理数时,两个函数周期不存在最小整数公倍数,f(x)+g(x)和f(x)g(x)可能不为周期函数,故A、B错误;f=f=f,g=g=g,f和g的周期均为ab,因此fg和f+g均有为ab的周期,故C、D正确.
10.解析:依题意f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)为奇函数,得-x3+(a-5)x2-ax=-x3-(a-5)x2-ax,即(a-5)x2=0,可得a-5=0,即a=5,故f(x)=x3+5x,则f(1)=13+5=6.
答案:6
11.解析:由题意,得f(-x)=-f(x),在f(x-1)=f(-x+3)中,以x+1替换x,得f(x)=f(-x+2)(*),以x+2替换(*)式中的x,得f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故4为函数f(x)的一个周期.所以f(23)=f(4×6-1)=f(-1)=-f(1)=-(1-2×1)=1.
答案:1
12.解:(1)证明:∵f(n+2)=f(n+1)-f(n),
∴f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n),
∴f(n+6)=-f(n+3)=-[-f(n)]=f(n),
∴f(n)是周期函数,周期为6.
(2)∵f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,
∴f(800)=f(133×6+2)=f(2)=3.
13.解:(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.证明如下:
令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x,
有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2 f(|x-1|)(注意:如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|))
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0<|x-1|<16,解得-15

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