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第四节 函数的对称性
　能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.会利用对称公式解决问题.
题点一　轴对称问题
[例1]　(2023·全国乙卷,节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由.
|思维建模|
　　函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x);若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称.
[即时训练]
1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则所有交点的横坐标之和为 (　　)
A.0　　　　　　　　　　　　B.m
C.2m D.4m
|习得方略|
(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am;
(2)若f(x)与g(x)关于(a,b)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am,纵坐标之和为bm.
题点二　中心对称问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.
[考教衔接]
[例2]源自人教A版必修①P87T13:我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
启示:只要掌握了教材题,例1,例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题,我们不难发现,函数与导数中的解答题不再局限于导数问题,纯函数问题成为新的命题导向,这一变化趋势请关注.
|思维建模|
　　函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a+x)+f(a-x)=2b 2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.
[即时训练]
2.[多选]下列说法中,正确的是 (　　)
A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称
C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2)
D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2
|习得方略|
　　f(mx+a)+b是偶函数 f(x)关于x=a对称,f(mx+a)+b是奇函数 f(x)关于(a,b)对称.
题点三　两个函数图象的对称
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　)
A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称
C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称
|思维建模|
　　函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称.
[即时训练]
3.下列函数中,其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　)
A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1)
C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1)
第四节　函数的对称性
题点一
[例1]　解:假设存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称.
令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln,
因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,
所以g(x)=g(2b-x),即(x+a)ln=(2b-x+a)·ln=(x-2b-a)ln,
于是解得
当a=,b=-时,g(x)=ln,g(-1-x)=ln=ln
=ln=ln=g(x),
所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意.故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-.
[即时训练]
1.选C　依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称,所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm=4×=2m.
题点二
[例2]　证明:法一　
(没给对称中心,需要自己找到对称中心,再证明,怎么找 由于对称函数定义域必定也对称,故不妨先求定义域,从定义域出发寻找对称中心)
由>0,可得x(2-x)>0,所以x(x-2)<0,
解得0(定义域关于x=1对称,那么曲线y=f(x)的对称中心的横坐标只能是1,故要证结论成立,接下来只需计算f(2-x)+f(x),得出其为与x无关的常数)
因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a=ln 1+2a=2a,所以曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.
法二　因为f(x)=ln+ax+b(x-1)3,
所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a.因为y=ln+ax+bx3是奇函数,其图象关于原点对称,所以曲线f(x+1)关于点(0,a)中心对称,所以曲线f(x)关于点(1,a)中心对称.
[即时训练]
2.选ABC　f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确;因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1),f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确;函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确;函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称,所以解得b=3,c=1,所以b+c=4,D不正确.
题点三
[例3]　选A　设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.
[即时训练]
3.选C　设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1,该曲线关于x=1对称的曲线为C2,设曲线C1上任意一点的坐标为(x0,y0),该点关于直线x=1对称的点的坐标为(x,y),则有y0=f(2x0-1),因此有 代入y0=f(2x0-1)中,得y=f(2(2-x)-1) y=f(3-2x).故选C.(共51张PPT)
第四节
函数的对称性
明确目标
能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.
会利用对称公式解决问题.
目录
01.题点一　轴对称问题
02.题点二　中心对称问题
04.课时跟踪检测
03.题点三　两个函数图象的对称
[例1]　(2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)=ln(1+x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由.
题点一　轴对称问题
解：假设存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称.
令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln，
因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称，所以g(x)=g(2b-x)，
即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln，
于是解得
当a=，b=-时，g(x)=ln，
g(-1-x)=ln=ln=ln=
ln=g(x)，
所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称，满足题意.
故存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，且a=，b=-.
函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
思维建模
1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为 (　　)
A.0 B.m
C.2m D.4m
即时训练
√
解析：依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称，所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1+x2+…+xm=4×=2m.
(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am；
(2)若f(x)与g(x)关于(a，b)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am，纵坐标之和为bm.
习得方略
[例2]　(2024·新课标Ⅰ卷，节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3，证明：曲线y=f(x)是中心对称图形.
证明：法一　
(没给对称中心，需要自己找到对称中心，再证明，怎么找 由于对称函数定义域必定也对称，故不妨先求定义域，从定义域出发寻找对称中心)
由>0，可得x(2-x)>0，所以x(x-2)<0，解得0题点二　中心对称问题
(定义域关于x=1对称，那么曲线y=f(x)的对称中心的横坐标只能是1，故要证结论成立，接下来只需计算f(2-x)+f(x)，得出其为与x无关的常数)
因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b(x-1)3=
ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a=
ln 1+2a=2a，所以曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称.
法二　因为f(x)=ln+ax+b(x-1)3，
所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a.
因为y=ln+ax+bx3是奇函数，其图象关于原点对称，所以曲线f(x+1)关于点(0，a)中心对称，所以曲线f(x)关于点(1，a)中心对称.
|考|教|衔|接|
[例2]源自人教A版必修①P87T13：我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
启示：只要掌握了教材题，例1，例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题，我们不难发现，函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题导向，这一变化趋势请关注.
函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a+x)+f(a-x)=2b 2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 中心对称.
思维建模
2.[多选]下列说法中，正确的是 (　　)
A.函数f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)关于点(-1，0)中心对称
C.若函数y=f(x)过定点(0，1)，则函数y=f(x-1)+1过定点(1，2)
D.函数y=的图象关于点(3，c)中心对称，则b+c=2
即时训练
√
√
√
解析：f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，A正确；因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)关于点(-1，0)中心对称，B正确；
函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x)过定点(0，1)，故函数y=f(x-1)
+1过定点(1，2)，C正确；函数y===1+的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b=3，c=1，所以b+c=4，D不正确.
f(mx+a)+b是偶函数 f(x)关于x=a对称，f(mx+a)+b是奇函数 f(x)关于(a，b)对称.
习得方略
[例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　)
A.关于直线 x=1对称 B.关于直线 x=3对称
C.关于直线 y=3对称 D.关于点(3，0)对称
√
题点三　两个函数图象的对称
解析：设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.
函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于
对称.
思维建模
3.下列函数中，其图象与函数y=f (2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　)
A.y=f(-2x-1) B.y=f (-2x+1)
C.y=f(-2x+3) D.y=2-f (2x-1)
即时训练
√
解析：设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1，该曲线关于x=1对称的曲线为C2，设曲线C1上任意一点的坐标为(x0，y0)，该点关于直线x=1对称的点的坐标为(x，y)，则有y0=f(2x0-1)，因此有
代入y0=f(2x0-1)中，得y=f(2(2-x)-1) y=f(3-2x).故选C.
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课时跟踪检测
04
一、单选题
1.函数y=f(x)与函数y=2x+1-1图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析：设g(x)=2x+1-1，因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=g(0)=2-1=1.
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2.已知函数f(x)=，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为(　　)
A.(-1，-3) B.(-1，3)
C.(-1，-2) D.(-1，2)
解析：因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4，所以函数f(x)的图象关于点(-1，-2)对称.
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3.设函数y=f(3x+1)是偶函数，则下列直线中，一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　)
A. x=0 B. x=
C. x=- D. x=-1
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解析：由y=f(3x+1)是偶函数，得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称，而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到，所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=.
4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1，0)对称，则b= (　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
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解析：法一　∵函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)+f(2-x)=0，即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0，∴解得故选C.
法二　由题意可得，解得
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习得方略：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点.
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5.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称，则m等于 (　　)
A.3 B.
C.-1 D.-
√
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解析：设点P(x，y)在函数y=f(1-x)的图象上，点P关于直线x=m的对称点Q(x'，y')，则
(中点坐标公式)
所以则y'=f(1-2m+x')，即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称，则1-2m=2，解得m=-.
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6.已知定义在R上的函数f(x)，对 x∈R，都有f(x+4)=-f(x)+4，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(4 050)= (　　)
A.-2 B.-1
C.2 D.1
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解析：因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4，所以f(x+8)=-f(x+4)+4=
-[-f(x)+4]+4=f(x)，故f(x)是以8为一个周期的偶函数，所以f(4 050)=
f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4，得f(2)=2，
则f(4 050)=2.
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7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则以下函数图象一定关于点(-1，0)成中心对称的是 (　　)
A.y=(x-1)2f(x-1) 　B.y=(x+1)2f(x+1)
C.y=x[f(x)]2+1 　D.y=x[f(x)]2-1
√
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解析：设m(x)=x2f(x)，则m(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-m(x)，所以m(x)为奇函数，对称中心为(0，0).
因为y=(x-1)2f(x-1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向右平移1个单位长度所得，故其对称中心为(1，0)，所以A错误；因为y=(x+1)2f(x+1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向左平移1个单位长度所得，故其对称中心为(-1，0)，所以B正确；
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设n(x)=x[f(x)]2，则n(-x)=(-x)[f(-x)]2=-x[f(x)]2=-n(x)，所以n(x)为奇函数，对称中心为(0，0).因为y=x[f(x)]2+1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向上平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，1)，所以C错误；因为y=x[f(x)]2-1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向下平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，-1)，所以D错误.
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二、多选题
8.设函数f(x)=2x-1+21-x，则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)在(0，+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
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√
√
解析：∵f(x)=2x-1+21-x，∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x)，
即f(x)=f(2-x)，f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确，A、D错误； ∵f(-1)≠-f(1)，
∴f(x)不是奇函数，故B错误.
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9.已知定义在R上的函数f(x)，若f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，恒有f(x-1)=f(3-x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是 (　　)
A.直线x=1是f(x)图象的对称轴
B.周期T=2
C.函数f(x)在[4，5]上单调递增
D.f(5)=0
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√
解析：因为f(x-1)=f(3-x)，所以直线x=1是f(x)图象的对称轴，故A正确；因为f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)图象的对称轴为x=1，所以f(x)的周期T=4，故B错误；直线x=1是f(x)图象的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T=4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确；因为f(x)的周期T=4，f(4)=f(0)=0，则f(5)>f(4)=0，故D错误.
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2
3
4
13
三、填空题
10.设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于　　　　对称.
解析：由于x∈R，恒有y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，又y=f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象，y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(1-x)的图象，故函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于x=1对称.
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x=1
11.曲线f(x)=的对称中心为　　　　　　 .
快审准解：根据给定的函数，利用对称中心的定义求解即得.
解析：易知函数f(x)=的定义域为R，设曲线f(x)=的对称中心为，则f(x)+f(a-x)=+=
=，
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要使f(x)+f(a-x)为常数2b，当且仅当2·3a-36=-(3a+9)，即3a=9，解得a=2，此时f(x)+f(a-x)=-1，b=-，所以曲线f(x)=的对称中心为.
1
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12.(2025·巴中模拟)已知函数f(x)=x++3的图象与直线y=k(x-1)+4有两个交点(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2+y1+y2=　　　　.
解析：由题意可得直线y=k(x-1)+4恒过点(1，4)，且直线与函数f(x)的图象有两个交点.又函数f(x)=x++3=x-1++4图象的对称中心为(1，4)，因此两个交点关于(1，4)对称，所以x1+x2=2，y1+y2=8，所以x1+x2+y1+y2=10.
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四、解答题
13.(10分)已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性；(5分)
解： f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下：
由|x-2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4，f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4，
所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
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(2)求f(x)的单调区间.(5分)
解：设y1=log2|x-2|，y2=x2-4x，当x>2时，y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增，y2=x2-4x也单调递增，故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2，+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，2).
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14.(10分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(5分)
解：设函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，所以(-x+a)3-3(-x+a)2+(x+a)3-3(x+a)2=2b.
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整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
故解得
所以函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1，-2).
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(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分)
解：推论：函数y=f(x)的图象关于直线 x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
13课时跟踪检测(十一)　函数的对称性
一、单选题
1.函数y=f(x)与函数y=2x+1-1图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为 (　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
2.已知函数f(x)=,则函数f(x)图象的对称中心的坐标为 (　　)
A.(-1,-3) B.(-1,3)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
3.设函数y=f(3x+1)是偶函数,则下列直线中,一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　)
A.x=0 B.x=
C.x=- D.x=-1
4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b= (　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
5.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于 (　　)
A.3 B.
C.-1 D.-
6.已知定义在R上的函数f(x),对 x∈R,都有f(x+4)=-f(x)+4,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(4 050)= (　　)
A.-2 B.-1
C.2 D.1
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则以下函数图象一定关于点(-1,0)成中心对称的是 (　　)
A.y=(x-1)2f(x-1) B.y=(x+1)2f(x+1)
C.y=x[f(x)]2+1 D.y=x[f(x)]2-1
二、多选题
8.设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是 (　　)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
9.已知定义在R上的函数f(x),若f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,恒有f(x-1)=f(3-x),且f(x)在[1,2]上单调递减,则下列结论正确的是 (　　)
A.直线x=1是f(x)图象的对称轴
B.周期T=2
C.函数f(x)在[4,5]上单调递增
D.f(5)=0
三、填空题
10.设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于　　　　对称.
11.曲线f(x)=的对称中心为　　　　　　 .
12.(2025·巴中模拟)已知函数f(x)=x++3的图象与直线y=k(x-1)+4有两个交点(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2+y1+y2=　　　　.
四、解答题
13.(10分)已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性;(5分)
(2)求f(x)的单调区间.(5分)
14.(13分)给定函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;(3分)
(2)用定义证明f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并求f(x)在[1,5]上的值域;(5分)
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2.若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,求实数m的取值范围.(5分)
课时跟踪检测(十一)
1.选A　设g(x)=2x+1-1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=g(0)=2-1=1.
2.选C　因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4,所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称.
3.选B　由y=f(3x+1)是偶函数,得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称,而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到,所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=.
4.选C　法一　∵函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,
∴f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,
∴解得故选C.
法二　由题意可得,解得
习得方略:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点.
5.选D　设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点Q(x',y'),则(中点坐标公式)所以则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-.
6.选C　因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到,所以f(x)的图象关于直线x=0对称,故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4,所以f(x+8)=-f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x),故f(x)是以8为一个周期的偶函数,所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4,得f(2)=2,则f(4 050)=2.
7.选B　设m(x)=x2f(x),则m(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-m(x),所以m(x)为奇函数,对称中心为(0,0).
因为y=(x-1)2f(x-1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向右平移1个单位长度所得,故其对称中心为(1,0),所以A错误;因为y=(x+1)2f(x+1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向左平移1个单位长度所得,故其对称中心为(-1,0),所以B正确;设n(x)=x[f(x)]2,则n(-x)=(-x)[f(-x)]2=-x[f(x)]2=-n(x),所以n(x)为奇函数,对称中心为(0,0).因为y=x[f(x)]2+1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向上平移1个单位长度所得,故其对称中心为(0,1),所以C错误;因为y=x[f(x)]2-1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向下平移1个单位长度所得,故其对称中心为(0,-1),所以D错误.
8.选ABD　∵f(x)=2x-1+21-x,∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),
即f(x)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,A、D错误;∵f(-1)≠-f(1),
∴f(x)不是奇函数,故B错误.
9.选AC　因为f(x-1)=f(3-x),所以直线x=1是f(x)图象的对称轴,故A正确;因为f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,又因为f(x)图象的对称轴为x=1,所以f(x)的周期T=4,故B错误;直线x=1是f(x)图象的对称轴,且函数f(x)在[1,2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,又f(x)的周期T=4,所以函数f(x)在[4,5]上单调递增,故C正确;因为f(x)的周期T=4,f(4)=f(0)=0,则f(5)>f(4)=0,故D错误.
10.解析:由于x∈R,恒有y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,又y=f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象,y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(1-x)的图象,故函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于x=1对称.
答案:x=1
11.快审准解:根据给定的函数,利用对称中心的定义求解即得.
解析:易知函数f(x)=的定义域为R,设曲线f(x)=的对称中心为,
则f(x)+f(a-x)=+
=
=,要使f(x)+f(a-x)为常数2b,当且仅当2·3a-36=-(3a+9),即3a=9,解得a=2,此时f(x)+f(a-x)=-1,b=-,所以曲线f(x)=的对称中心为.
答案:
12.解析:由题意可得直线y=k(x-1)+4恒过点(1,4),且直线与函数f(x)的图象有两个交点.又函数f(x)=x++3=x-1++4图象的对称中心为(1,4),因此两个交点关于(1,4)对称,所以x1+x2=2,y1+y2=8,所以x1+x2+y1+y2=10.
答案:10
13.解:(1)f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下:
由|x-2|>0,得x≠2,所以f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4,f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4,所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
(2)设y1=log2|x-2|,y2=x2-4x,当x>2时,y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增,y2=x2-4x也单调递增,故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2,+∞)上单调递增.
又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2).
14.快审准解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),根据函数图象关于点对称的性质得到f(a+x)+f(a-x)-2b=0,代入求解即可得到a,b的值,从而得到对称中心;
(2)根据单调性定义证明,再根据所得单调性结合定义域求f(x)值域即可;
(3)由题意可知函数g(x)的值域是f(x)+m值域的子集,由(2)可知f(x)的值域,g(x)的值域可对二次函数分析得到,最终整合得到实数m的取值范围.
解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)-2b=0,
即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,
整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1),
于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a=b=-1,
所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1).
(2)任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1因为x1-x2<0且1+>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)=x-在(-1,+∞)上单调递增.
所以f(x)在[1,5]上单调递增,故f(x)的值域为[-2,4].
(3)由于对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,于是问题转化为g(x)在[0,2]上的值域是f(x)+m在[1,5]上值域的子集,
由g(x)在[0,1]上单调递增,图象又关于点(1,1)对称且经过点(1,1),可知g(x)在(1,2]上也单调递增,故g(x)在[0,2]上单调递增,
又g(0)=0,g(2)=2,所以g(x)在[0,2]上的值域为[0,2].
又f(x)+m在[1,5]上的值域为[-2+m,4+m],
所以[0,2] [-2+m,4+m],所以解得-2≤m≤2,则m的取值范围是[-2,2].

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