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第五节　函数性质的综合应用
题点一　单调性与奇偶性相结合
[例1]
(1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)(2)(2025·淄博模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是 (　　)
A.[-3,-1]∪[0,+∞)
B.[-3,0]∪[0,+∞)
C.[-3,-1]∪[0,3]
D.(-∞,-3]∪[0,3]
|价值发掘|　
(1)若奇函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)在[-b,-a]上也具有单调性,且单调性相同;
(2)若偶函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)在[-b,-a]上也具有单调性,且单调性相反.
|思维建模|　
奇偶性与单调性综合的2种题型及解法
(1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
(2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
[即时训练]
1.设函数f(x)=2|x|,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(-1)B.f(-)C.f(2)D.f(-1)2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　)
A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-2,0) D.(-1,0)
|习得方略|　偶函数单调性改变
　　当函数f(x)为定义在R上的偶函数时,
①若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n) |m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m) |x|>|m|.
②若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n) |m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m) |x|<|m|.
题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2025·河源模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,若f(0)=-1,则f(i)= (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
快审准解:函数的对称性求得f(1)=f(3)=0,f(2)=1,f(4)=-1,从而有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,再确定f(x)的周期,利用周期性求函数值的和.
|思维建模|
　　解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化.
[即时训练]
3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,f(2x+4)=f(2x),则下列结论一定正确的是 (　　)
A.f(x)的周期为2 B.f(x)图象关于直线x=1对称
C.f(x+1)为偶函数 D.f(x+3)为奇函数
题点三　函数性质的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(多选)已知函数f(x)对 x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且对 x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)=0 B.f(x)是偶函数
C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f(3)|思维建模|
　　对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
[即时训练]
4.[多选]已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(x+2)为偶函数,则 (　　)
A.f(x)图象的对称中心为(2,0)
B.f(x)图象的对称轴为直线x=2
C.f(-1)>f(4)
D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1,+∞)
第五节　函数性质的综合应用
题点一
[例1]　(1)A　(2)C
(1)∵函数f(x)的定义域为R且f(-x)=f(x),∴f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)f(-3)>f(-2).
(2)因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减,且f(-3)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,f(x)>0,当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)<0,所以由(x+1)f(x)≥0,可得或或x=0,解得0≤x≤3或-3≤x≤-1,所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3,-1]∪[0,3].
[即时训练]
1.选D　因为f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)2.选A　由f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x,可得f(2x+1)+(2x+1)2>f(x-1)+(x-1)2.
(此处不能直接去“f”,故观察式子结构构造函数求解)
令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)也是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,从而|2x+1|>|x-1|,解得x<-2或x>0.
题点二
[例2]　选C　由f(x+1)为奇函数,知f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(1)=0,
由f(0)=-1,得f(2)=-f(0)=1.
由y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(3)=0.
综上,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,由上f(x)+f(2-x)=0,f(2-x)=f(2+x),得f(x)=-f(2+x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则4为f(x)的一个周期,
所以f(i)=0×12+f(1)+f(2)=1.
关键点拨:根据函数的奇偶性、对称性求函数值,并确定周期为关键.
[即时训练]
3.选D　由f(2x+1)为奇函数,得f(2x+1)+f(-2x+1)=0,
即f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x+1)为奇函数,故C错误;
由上知f(x)图象关于点(1,0)中心对称,故B错误;
由f(2x+4)=f(2x),可知函数f(x)周期为4,故A错误;
由上知f(x)=f(x+4),又f(x)图象关于点(1,0)中心对称,知f(x)=-f(2-x),所以f(x+4)=-f(2-x),得f(x)关于点(3,0)对称,则f(x+3)关于点(0,0)对称,所以f(x+3)为奇函数,故D正确.
题点三
[例3]　选ABC　由f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,故f(x)的图象关于y轴对称,f(x)是偶函数,B正确;f(x)=f(x+4)+f(2)中,令x=-2得f(-2)=2f(2),
因为f(-2)=f(2),所以f(2)=2f(2),解得f(2)=0,A正确;由f(x)=f(x+4),得f(x)是周期为4的周期函数,C正确;对 x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
故f(x)在[0,2]上单调递增,又f(x)是周期为4的周期函数,且f(x)是偶函数,故f(0)=f(-4),f(3)=f(-1)=f(1),因为f(1)>f(0),所以f(3)>f(-4),D错误.
[即时训练]
4.选BD　因为f(x+2)为偶函数,其图象关于y轴对称,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,故A错误,B正确;又f(x)在(-∞,2]上单调递增,所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以f(-1)=f(5)f(4x)结合f(x)的对称性及单调性,得|x+3-2|<|4x-2|,即(x+3-2)2<(4x-2)2,即(5x-1)(3x-3)>0,解得x<或x>1,所以不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1,+∞),故D正确.
　(共51张PPT)
第五节
函数性质的综合应用
目录
01.题点一　单调性与奇偶性相结合
02.题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合
04.课时跟踪检测
03.题点三　函数性质的综合应用
[例1]
(1)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(-x)=f(x)，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)√
题点一　单调性与奇偶性相结合
解析：∵函数f(x)的定义域为R且f(-x)=f(x)，∴f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，又∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(2)f(-3)>f(-2).
(2)(2025·淄博模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是 (　　)
A.[-3，-1]∪[0，+∞)
B.[-3，0]∪[0，+∞)
C.[-3，-1]∪[0，3]
D.(-∞，-3]∪[0，3]
√
解析：因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在(0，+∞)上也单调递减，且f(-3)=0，f(0)=0，所以当x∈(-∞，-3)∪(0，3)时，f(x)>0，当x∈(-3，0)∪(3，+∞)时，f(x)<0，所以由(x+1)f(x)≥0，可得或或x=0，解得 0≤x≤3或-3≤x≤-1，所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3， -1]∪[0，3].
价值发掘：(1)若奇函数 f(x)在[a，b]上具有单调性，则 f(x)在[-b，-a]上也具有单调性，且单调性相同；
(2)若偶函数 f(x)在[a，b]上具有单调性，则 f(x)在[-b，-a]上也具有单调性，且单调性相反.
奇偶性与单调性综合的2 种题型及解法
(1)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
(2)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).
思维建模
1.设函数f(x)=2|x|，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(-1)C.f(2)解析：因为f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，
所以f(1)即时训练
√
2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　)
A.(-∞，-2)∪(0，+∞)
B.(-∞，-1)∪(0，+∞)
C.(-2，0)
D.(-1，0)
√
解析：由f (2x+1)-f (x-1)>-3x2-6x，可得f (2x+1)+(2x+1)2>f (x-1)+(x-1)2.
(此处不能直接去“f ”，故观察式子结构构造函数求解)
令g(x)=f (x)+x2，因为f (x)是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，所以g(x)也是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，从而|2x+1|>|x-1|，解得x<-2或x>0.
偶函数单调性改变
当函数f(x)为定义在R上的偶函数时，
①若x≥0时，f (x)单调递增，则x<0时，f (x)单调递减 f (m)>f (n) |m|>|n|，f (x)+f (-x)>2f (m) |x|>|m|.
②若x≥0时，f (x)单调递减，则x<0时，f (x)单调递增，即 f (m)> f (n) |m|<|n|，f (x)+f (-x)>2f (m) |x|<|m|.
习得方略
[例2]　(2025·河源模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f (x+1)为奇函数，且y=f (2x)的图象关于直线x=1对称，若f (0)=-1，则f (i)= (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
快审准解：函数的对称性求得f (1)=f (3)=0，f (2)=1，f (4)=-1，从而有f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，再确定f (x)的周期，利用周期性求函数值的和.
√
题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合合
解析：由f (x+1)为奇函数，知f(x)的图象关于点(1，0)对称，则 f (1)=0，由f(0)=-1，得f(2)=-f(0)=1.
由y=f (2x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f (4)=f (0)=-1，f(1)=f(3)=0.综上，f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，
由上f (x)+f (2-x)=0，f (2-x)=f (2+x)，得f (x)=-f (2+x)，
所以f (4+x)=-f (2+x)=f (x)，则4为f (x)的一个周期，
所以 f(i)=0×12+f (1)+f (2)=1.
关键点拨：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键.
解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之，要充分利用已知条件进行适当转化.
思维建模
3.已知函数f(x)的定义域为R，且f (2x+1)为奇函数，f (2x+4)=f (2x)，则下列结论一定正确的是 (　　)
A.f(x)的周期为2
B.f(x)图象关于直线x=1对称
C.f(x+1)为偶函数
D.f(x+3)为奇函数
即时训练
√
解析：由f(2x+1)为奇函数，得f(2x+1)+f(-2x+1)=0，
即f(x+1)+f(-x+1)=0，则f(x+1)为奇函数，故C错误；
由上知f(x)图象关于点(1，0)中心对称，故B错误；
由f(2x+4)=f(2x)，可知函数f(x)周期为4，故A错误；
由上知f(x)=f(x+4)，又f(x)图象关于点(1，0)中心对称，知f(x)= -f(2-x)，所以f(x+4)=-f(2-x)，得f(x)关于点(3，0)对称，则f(x+3)关于点(0，0)对称，所以f(x+3)为奇函数，故D正确.
[例3]　(多选)已知函数f(x)对 x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函数f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，且对 x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)=0 B.f(x)是偶函数
C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f(3)√
题点三　函数性质的综合应用
√
√
解析：由f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，故f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数，B正确；f(x)=f(x+4)+f(2)中，令x=-2得f(-2)=2f(2)，
因为f(-2)=f(2)，所以f(2)=2f(2)，解得f(2)=0，A正确；由f(x)=f(x+4)，得f(x)是周期为4的周期函数，C正确；对 x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，
故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)=f(-4)，f(3)=f(-1)=f(1)，
因为f(1)>f(0)，所以f(3)>f(-4)，D错误.
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
思维建模
4.[多选]已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2]上单调递增，且f(x+2)为偶函数，则 (　　)
A.f(x)图象的对称中心为(2，0)
B.f(x)图象的对称轴为直线x=2
C.f(-1)>f(4)
D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞)
即时训练
√
√
解析：因为f(x+2)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(x)图象的对称轴为直线x=2，故A错误，B正确；又f(x)在(-∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，+∞)上单调递减，所以f(-1)=f(5)f(4x)结合f(x)的对称性及单调性，得|x+3-2|<|4x-2|，即(x+3-2)2<(4x-2)2，即(5x-1)(3x-3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞)，故D正确.
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课时跟踪检测
04
一、单选题
1.(2025·芜湖模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+4)=f (x)，当2A.-4 B.-2
C.2 D.4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析：由当2因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x)，
所以f(1)=f(-1)=f(3)=2.
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x) (　　)
A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递减
B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递增
C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递减
D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递增
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：∵f(x)=f(2-x)，
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
∵f(x)在区间[1，2]上单调递减，
∴f(x)在区间[0，1]上单调递增.
又∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)，
∴f(2-x)=f(-x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)在区间[-2，
-1]上也单调递增.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2-x)+f(x)=，则
f(2 023)=(　　)
A.- B.
C.0 D.1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：由题意知f(x)的图象关于点对称，即f(1)=，因为f(-x)=f(x)，所以f(2-x)+f(-x)=，即f(2+x)+f(x)=，所以f(2+x)-f(2-x)=0，即f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)，所以f(x)=f(x+4)，故f(x)的周期为4，则f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=，故选B.
结论：若f(x)的图象关于直线x=a和点(b，t)对称，则f(x)的周期为4|a-b|.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(-6.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是 (　　)
A.f(-1)B.f(-6.5)C.f(-1)D.f(0)√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5)，f(-1)=f(1)，∴f(0)1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[-1，1]时，f(x)=ax+1，则f(2 025)= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.2 025
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：∵f(2x-1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，又f(x+1)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8，∴f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1.∵f(-1)=-a+1=0，∴a=1，∴f(2 025)=a+1=2.
6.(2025·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0，则实数t的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：因为f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增，所以f(x)在[-2，2]上单调递增.
(提示：奇函数在对称区间上的单调性相同)
又f(2t-1)+f(t)<0，则f(2t-1)<-f(t)，所以f(2t-1)1
5
6
7
8
9
10
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2
3
4
13
特别提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式，如0=f(1)，f(x-1)<0，则f(x-1)1
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7.已知f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=-3x2+2，则f =(　　)
A.- B.
C.- D.
√
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解析：第1步：求f(x)的周期
因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2-x)=-f(x).
(点拨：根据函数f(x)的图象关于点(1，0)对称得出)
因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线 x=2对称，f(2-x)=f(2+x)，
(点拨：根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称得出)
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所以f(2+x)=-f(x)，故f (2+2+x)=-f(2+x)=f(x)，即f (x)=f (x+4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.
第2步：利用周期性求函数值
又当x∈[1，2]时，f(x)=-3x2+2，所以f =f =f = - f=-f=.故选B.
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借题发挥：(1)f(x+a)(a为常数)为偶函数 f(x)的图象关于直线x=a对称；
(2)f(x+a)(a为常数)为奇函数 f(x)的图象关于点(a，0)对称；
(3)f(kx+a)(k>0，a为常数)为偶函数 f(x)的图象关于直线x=a对称，f(kx)的图象关于直线x=对称；
(4)f(kx+a)(k>0，a为常数)为奇函数 f(x)的图象关于点(a，0)对称，f(kx)的图象关于点对称.
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8.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x)，对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是(　　)
A.(-∞，-2)∪(2，+∞) 　　　B.(-2，2)
C.(-∞，-4)∪(0，+∞) 　　　 D.(-4，0)
√
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解析：因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x).所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，所以f(x)在(-∞，-2]上单调递增.又因为f(x)的
图象关于x=-2对称，f(0)=0，所以f(x)在(-2，+∞)上
单调递减，且f(-4)=0.用折线图表示函数f(x)的单调
性，如图所示，由图知f(x)>0 -41
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二、多选题
9.已知函数f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)成立，当x∈[0，2)时，f(x)=2x-1，给出下列结论，其中正确的是(　　)
A.f(2)=0
B.点(4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递增
D.函数f(x)在[-6，6]上有3个零点
√
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√
解析：因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4，f(2)=f(-2)，又函数f(x)是R上的奇函数，故f(2)=-f(-2)，所以f(2)=f(-2)=0，故A正确；因为点(0，0)是f(x)图象的对称中心，f(x)的周期为4，所以点(4，0)也是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；作出函数f(x)的部分图象如图所示，易知函数f(x)在[-6，-2]上不具有单调性，故C不正确；函数f(x)在[-6，6]上有7个零点，故D不正确.
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10.(2025·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且y=f(2-x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 (　　)
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)的图象关于(1，0)对称
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于x=3对称
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解析：依题意，定义在R上的函数f(x)，f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)= -f(x+2)=f(x)，函数f(x)的周期为4，A错误；
因为函数y=f(2-x)是偶函数，所以f(2-x)=f(2+x)，函数f(x)的图象关于x=2对称，
且f(2-x)=-f(x)，即f(2-x)+f(x)=0，函数f(x)的图象关于(1，0)对称，B正确；
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由f(2-x)=f(2+x)，得f(-x)=f(4+x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，C正确；
由f(x+2)+f(x)=0，得f(x+3)+f(1+x)=0，由f(2-x)=f(2+x)，得f(3-x)=
f(1+x)，
因此f(x+3)+f(3-x)=0，函数f(x)的图象关于(3，0)对称，D错误.
13
11.已知定义域为R的奇函数f(x)，满足f(x)-f(2-x)=0，记g(x)=f(2x-2)，则下列对函数g(x)的描述正确的是 (　　)
A.图象关于直线x=对称 　　　B.g(1)=0
C.g(x+3)=g(x) 　　　D.g(2 023)=0
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√
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√
√
解析：定义域为R的奇函数f(x)，则f(-x)=-f(x)且f(0)=0，又f(x)-f(2-x)=0，即f(x)=f(2-x)，所以-f(-x)=f(2-x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(x).又g(x)=f(2x-2)，所以g(1)=f(0)=0，故B正确；又g(x+3)=f(2x+6-2)=f(2x+
4)=f(2x)=f(2(x+1)-2)=g(x+1)，所以g(x+2)=g(x)，则g(x)是以2为周期的周期函数，则g(2 023)=g(1)=0，故C错误，D正确；又g(3-x)=f(6-2x-2)
=f(4-2x)=f(2-(4-2x))=f(2x-2)=g(x)，所以g(x)的图象关于直线x=对称，故A正确.
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三、填空题
12.(2025·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x，则f(2 024)=　　　　.
解析：由f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x，f(x)=f(-x)，得f(1)=4，f(2)=-4，f(3)=0，f(4)=-4，f(5)=4，f(6)=0，f(7)=4，f(8)= -4，…，则f(x)是以6为周期的函数，所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-4.
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13.(2024·佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=2，则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为　　　　.
解析：由f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递减，得f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(1)=2，故当f(x)>2时，x∈(-1，1).又f(-x)=f(x)，故f(x)+f(-x)
>4等价于f(x)>2，即f(|x|)>f(1)，∴|x|<1，故x的取值范围为(-1，1).
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(-1，1)
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14.(2024·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)=4，g(x)=(x-1)f(x)，若g(x+1)是偶函数，则g(-0.5)　　　.
解析：因为g(x+1)是偶函数，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，故g(x)=g(2-x)，即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x)，所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2)，所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x)，即f(x-4)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4，
所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=6.
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规律结论：函数双对称出周期结论
(1)若函数y=f(x)的相邻两条对称轴方程分别为x=a，x=b，则函数的一个周期为T=2|a-b|；
(2)若函数y=f(x)的相邻两个对称中心分别为(a，0)，(b，0)，则函数的一个周期为T=2|a-b|；
(3)若函数y=f(x)的相邻一条对称轴方程为x=a，一个对称中心为(b，0)，则函数的一个周期为T=4|a-b|.
13课时跟踪检测(十二)　函数性质的综合应用
一、单选题
1.(2025·芜湖模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当2A.-4 B.-2
C.2 D.4
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则函数f(x) (　　)
A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递减
B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[-2,-1]上单调递增
C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递减
D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[-2,-1]上单调递增
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)+f(x)=,则f(2 023)= (　　)
A.- B.
C.0 D.1
4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是 (　　)
A.f(-1)C.f(-1)5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=ax+1,则f(2 025)= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.2 025
6.(2025·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
7.已知f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,则f= (　　)
A.- B.
C.- D.
8.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,且f(0)=0,则f(x)>0的解集是 (　　)
A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2)
C.(-∞,-4)∪(0,+∞) D.(-4,0)
二、多选题
9.已知函数f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1,给出下列结论,其中正确的是 (　　)
A.f(2)=0
B.点(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.函数f(x)在[-6,-2]上单调递增
D.函数f(x)在[-6,6]上有3个零点
10.(2025·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的是 (　　)
A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于(1,0)对称
C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于x=3对称
11.已知定义域为R的奇函数f(x),满足f(x)-f(2-x)=0,记g(x)=f(2x-2),则下列对函数g(x)的描述正确的是 (　　)
A.图象关于直线x=对称 B.g(1)=0
C.g(x+3)=g(x) D.g(2 023)=0
三、填空题
12.(2025·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,则f(2 024)=　　　　.
13.(2024·佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(1)=2,则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为　　　　.
14.(2024·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=4,g(x)=(x-1)f(x),若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=　　　　.
课时跟踪检测(十二)
1.选C　由当2因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),
所以f(1)=f(-1)=f(3)=2.
2.选B　∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴f(x)在区间[0,1]上单调递增.
又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),
∴f(2-x)=f(-x),∴f(x)是周期为2的周期函数,
∴f(x)在区间[-2,-1]上也单调递增.
3.选B　由题意知f(x)的图象关于点对称,即f(1)=,因为f(-x)=f(x),所以f(2-x)+f(-x)=,即f(2+x)+f(x)=,所以f(2+x)-f(2-x)=0,即f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),所以f(x)=f(x+4),故f(x)的周期为4,则f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=,故选B.
结论:若f(x)的图象关于直线x=a和点(b,t)对称,则f(x)的周期为4|a-b|.
4.选D　∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),∴f(0)5.选C　∵f(2x-1)为奇函数,∴f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8,
∴f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1.∵f(-1)=-a+1=0,∴a=1,∴f(2 025)=a+1=2.
6.选D　因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[-2,2]上单调递增.
(提示:奇函数在对称区间上的单调性相同)
又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)特别提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)7.选B　第1步:求f(x)的周期
因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,f(2-x)=-f(x).
(点拨:根据函数f(x)的图象关于点(1,0)对称得出)
因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2-x)=f(2+x),
(点拨:根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称得出)
所以f(2+x)=-f(x),故f(2+2+x)=-f(2+x)=f(x),即f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
第2步:利用周期性求函数值
又当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,所以f=f=f=-f=-f=.故选B.
借题发挥:(1)f(x+a)(a为常数)为偶函数 f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)f(x+a)(a为常数)为奇函数 f(x)的图象关于点(a,0)对称;
(3)f(kx+a)(k>0,a为常数)为偶函数 f(x)的图象关于直线x=a对称,f(kx)的图象关于直线x=对称;
(4)f(kx+a)(k>0,a为常数)为奇函数 f(x)的图象关于点(a,0)对称,f(kx)的图象关于点对称.
8.选D　因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x).所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递增.
又因为f(x)的图象关于x=-2对称,f(0)=0,所以f(x)在(-2,+∞)上单调递减,且f(-4)=0.用折线图表示函数f(x)的单调性,如图所示,由图知f(x)>0 -49.选AB　因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4,f(2)=f(-2),又函数f(x)是R上的奇函数,故f(2)=-f(-2),所以f(2)=f(-2)=0,故A正确;因为点(0,0)是f(x)图象的对称中心,f(x)的周期为4,所以点(4,0)也是函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确;
作出函数f(x)的部分图象如图所示,易知函数f(x)在[-6,-2]上不具有单调性,故C不正确;函数f(x)在[-6,6]上有7个零点,故D不正确.
10.选BC　依题意,定义在R上的函数f(x),f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为4,A错误;
因为函数y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),函数f(x)的图象关于x=2对称,
且f(2-x)=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,函数f(x)的图象关于(1,0)对称,B正确;
由f(2-x)=f(2+x),得f(-x)=f(4+x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,C正确;
由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+3)+f(1+x)=0,由f(2-x)=f(2+x),得f(3-x)=f(1+x),
因此f(x+3)+f(3-x)=0,函数f(x)的图象关于(3,0)对称,D错误.
11.选ABD　定义域为R的奇函数f(x),则f(-x)=-f(x)且f(0)=0,又f(x)-f(2-x)=0,即f(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x+4)=f(x).又g(x)=f(2x-2),所以g(1)=f(0)=0,故B正确;又g(x+3)=f(2x+6-2)=f(2x+4)=f(2x)=f(2(x+1)-2)=g(x+1),所以g(x+2)=g(x),则g(x)是以2为周期的周期函数,则g(2 023)=g(1)=0,故C错误,D正确;又g(3-x)=f(6-2x-2)=f(4-2x)=f(2-(4-2x))=f(2x-2)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=对称,故A正确.
12.解析:由f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,f(x)=f(-x),得f(1)=4,f(2)=-4,f(3)=0,f(4)=-4,f(5)=4,f(6)=0,f(7)=4,f(8)=-4,…,则f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-4.
答案:-4
13.解析:由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减,得f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(1)=2,故当f(x)>2时,x∈(-1,1).又f(-x)=f(x),故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2,即f(|x|)>f(1),∴|x|<1,故x的取值范围为(-1,1).
答案:(-1,1)
14.解析:因为g(x+1)是偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称,故g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x),即f(x-4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=6.
答案:6
规律结论:函数双对称出周期结论
(1)若函数y=f(x)的相邻两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;
(2)若函数y=f(x)的相邻两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|;
(3)若函数y=f(x)的相邻一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.

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