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第六节　幂函数与二次函数
1.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况;了解幂函数的概念.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
教材再回首
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.
②幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在　　　　上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点　　　　和　　　　,且在(0,+∞)上单调　　　;
③当α<0时,幂函数的图象都过点　　　　,且在(0,+∞)上单调　　　.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)=　　　　　　　
顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为　　　
零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点
(2)二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+ c(a>0) y=ax2+bx+ c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 　
值域
对称轴 x=　　　
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上　　　　　; 在上　　　　 在上　　　　　; 在上　　　　
解题结论拓展
(1)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
(2)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
(3)根与系数的关系:x1+x2=-,x1x2=.
(4)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性:当 b=0时,二次函数为偶函数.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=2是幂函数. (　　)
(2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上单调递增. (　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数. (　　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是. (　　)
(5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小. (　　)
2.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(4)的值是 (　　)
A.64 B.4
C. D.
3.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为 (　　)
A.[-6,2] B.[-6,1]
C.[0,2] D.[0,1]
4.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
5.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　 　.(用“<”连接)
题点一　幂函数的图象与性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)已知a=110.3,b=,c=21.2,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.aC.c(2)如图,曲线C1和C2分别是函数y=xa和y=xb在第一象限内的图象,则下列结论错误的是 (　　)
A.< B.a2C.a3>b3 D.a2>b2
|思维建模|
(1)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
[即时训练]
1.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.[多选]已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.函数f(x)在其定义域内为增函数
C.当x>1时,f(x)>1
D.当0题点二　二次函数的解析式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.
|思维建模|　
求二次函数解析式的3个策略
(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
[即时训练]
3.已知函数f(x)为二次函数,f(x)的图象过点(0,2),对称轴为x=-,函数f(x)在R上的最小值为,则f(x)的解析式为　　 　　　.
4.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f是偶函数,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.
题点三　二次函数的图象与性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　二次函数的图象
[例3]　(多选)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=-1,则下列四个结论中,错误的是 (　　)
A.abc>0 B.2a-b≠0
C.4ac-b2<0 D.4a+c<2b
考法(二)　二次函数的单调性与最值
[例4]
(1)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
C.[-2,0] D.[-3,0]
(2)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上有最大值6,最小值5,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(0,2] B.[1,2)
C.[1,2] D.(0,1]
|思维建模|　
二次函数单调性与最值问题的解题策略
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.
[即时训练]
5.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.已知函数f(x)=x2+2x-4.
(1)若f(x)在区间[a,a+1]上不具有单调性,求实数a的取值范围;
(2)若t>-2,求f(x)在区间[-2,t]上的最小值g(t).
第六节　幂函数与二次函数
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)y=xα　(3)(0,+∞)　(1,1)　(0,0)　递增　(1,1)　递减
2.(1)ax2+bx+c(a≠0)　(m,n)　(2)R　-　单调递减　单调递增　单调递增　单调递减
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.选D　设幂函数f(x)=xα,则由f(x)的图象过点,得f(2)=2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1,则f(4)=.
3.A
4.选C　由题意知即解得a>.
5.解析:由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3,即c答案:c课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)A　(2)D
(1)由题可知,a=110.3<1,b==,c=21.2>,则a6<112=121,b6=()6=125,c6>()6=27=128.因为y=x6在(0,+∞)上单调递增,且121<125<128,所以a(2)观察题图知,幂函数y=xa和y=xb在第一象限的图象是下降的,即在(0,+∞)单调递减,因此a<0,b<0.
当x>1时,函数y=xa的图象在y=xb的图象上方,取x=2,有2a>2b,由指数函数单调性知a>b,于是bb3,A、B、C正确;而a2[即时训练]
1.选C　从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-3<0,即-12.选BCD　由于函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),故有4α=2,
∴α=,故f(x)=.显然,函数f(x)为非奇非偶函数,故A错误;函数f(x)在其定义域内为增函数,故B正确;当x>1时,f(x)=>1,故C正确;由于函数f(x)为上凸型函数,故有当0题点二
[例2]　解:法一:利用二次函数的一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
法二:利用二次函数的顶点式
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x==.
∴m=,又根据题意函数有最大值8,
∴n=8,∴f(x)=a+8.
∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三:利用二次函数的零点式
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数f(x)有最大值8,∴=8.
解得a=-4或a=0(舍去),故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
[即时训练]
3.解析:因为f(x)图象的对称轴为x=-,函数f(x)在R上的最小值为,所以可设f(x)=a+,a>0,将(0,2)代入f(x),得a+=2,解得a=1,
故f(x)=+.
答案:f(x)=+
4.解析:∵y=f是偶函数,有f=f,∴f(x)关于x=-对称,即-=-,故b=1.又图象经过点(1,13),
∴f(1)=13,可得c=11.故f(x)=x2+x+11.
答案:f(x)=x2+x+11
题点三
[例3]　选BD　∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a<0,∴abc>0,2a-b=0,故A正确,B错误;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故C正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴x=-2和x=0时,y的值相等,∴当x=-2时,y>0,
∴4a-2b+c>0,即4a+c>2b,故D错误.
[例4]　(1)D　(2)C
(1)当a=0时,f(x)=-3x+1,在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;
当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=,由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
(2)因为f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,
所以当x=1时,f(x)max=6,
令f(x)=5,解得x=0或x=2.
又因为f(x)在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以若f(x)在区间[0,m]上有最大值6,最小值5,则有1≤m≤2,即m∈[1,2],故选C.
[即时训练]
5.选A　若a0,故C错误,A正确.
6.解:(1)因为函数f(x)=x2+2x-4在[a,a+1]上不具有单调性,对称轴为x=-1,
所以a<-1(2)因为f(x)=x2+2x-4的图象开口向上,对称轴为x=-1,当-2当t>-1时,函数f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,t]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-5.
综上,g(t)=(共69张PPT)
第六节
幂函数与二次函数
明确目标
1.结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况；了解幂函数的概念.
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
y=xα
(2)常见的五种幂函数的图象
①幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
②幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在________上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点_______和_______，且在(0，+∞)上单调_______；
③当α<0时，幂函数的图象都过点______，且在(0，+∞)上单调______.
(0，+∞)
(1，1)
(0，0)
(1，1)
递增
递减
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)=__________________
顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为________
零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点
ax2+bx+c(a≠0)
(m，n)
(2)二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ______
R
续表
值域
对称轴 x=_____
顶点坐标
-
续表
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上__________； 在上__________ 在上__________；
在上___________
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
解题结论拓展
(1)若幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0；若在(0，+∞)上单调递减，则α<0.
(2)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
(3)根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2=.
(4)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性：当b=0时，二次函数为偶函数.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y=2是幂函数.(　　)
(2)当n>0时，幂函数y=xn在(0，+∞)上单调递增.(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(　　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
(5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(　　)
×
√
×
×
√
2.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　)
A.64 B.4
C. D.
解析：设幂函数f(x)=xα，则由f(x)的图象过点，得f(2)=2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1，则f(4)=.
√
3.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x，x∈[-1，2]的值域为 (　　)
A.[-6，2] B.[-6，1]
C.[0，2] D.[0，1]
√
4.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知即解得a>.
√
5.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4，则a，b，c的大小关系是_________.(用“<”连接)
解析：由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即cc课堂·题点精研
02
[例1]
(1)已知a=110.3，b=，c=21.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c解析：由题可知，a=110.3<1，b==，c=21.2>，则a6<112=121，b6=()6=125，c6>()6=27=128.因为y=x6在(0，+∞)上单调递增，且121<125<128，所以a√
题点一　幂函数的图象与性质
(2)如图，曲线C1和C2分别是函数y=xa和y=xb在第一象限内的图象，则下列结论错误的是 (　　)
A.< B.a2C.a3>b3 D.a2>b2
√
解析：观察题图知，幂函数y=xa和y=xb在第一象限的图象是下降的，即在(0，+∞)单调递减，因此a<0，b<0.
当x>1时，函数y=xa的图象在y=xb的图象上方，取x=2，有2a>2b，由指数函数单调性知a>b，
于是bb3，A、B、C正确；而a2(1)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
思维建模
1.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
即时训练
√
解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2-2m-3<0，即-12.[多选]已知函数f(x)=xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.函数f(x)在其定义域内为增函数
C.当x>1时，f(x)>1
D.当0√
√
√
解析：由于函数f(x)=xα的图象经过点(4，2)，故有4α=2，∴α=，故f(x)=.显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故A错误；函数f(x)在其定义域内为增函数，故B正确；当x>1时，f(x)=>1，故C正确；由于函数f(x)为上凸型函数，故有当0[例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式.
解：法一：利用二次函数的一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得
解得故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
题点二　二次函数的解析式
法二：利用二次函数的顶点式
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).∵f(2)=f(-1)，∴抛物线的对称轴为x==.∴m=，又根据题意函数有最大值8，
∴n=8，∴f(x)=a+8.
∵f(2)=-1，∴a+8=-1，解得a=-4，
∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
法三：利用二次函数的零点式
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1，
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数f(x)有最大值8，∴=8.
解得a=-4或a=0(舍去)，故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数解析式的 3 个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
思维建模
3.已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0，2)，对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
解析：因为f(x)图象的对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，所以可设f(x)=a+，a>0，将(0，2)代入f(x)，得a+=2，解得a=1，故f(x)=+.
即时训练
f(x)=+
4.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1，13)，且函数y=f是偶函数，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.
解析：∵y=f是偶函数，有f=f，∴f(x)关于x=-对称，即-=-，故b=1.又图象经过点(1，13)，
∴f(1)=13，可得c=11.故f(x)=x2+x+11.
f(x)=x2+x+11
考法(一)　二次函数的图象
[例3]　(多选)如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，错误的是(　　)
A.abc>0 　　　
B.2a-b≠0
C.4ac-b2<0 　　　
D.4a+c<2b
√
题点三　二次函数的图象与性质
√
解析：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-=-1，∴b=2a<0，∴abc>0，2a-b=0，故A正确，B错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，∴4ac-b2<0，故C正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴x=-2和x=0时，y的值相等，∴当x=-2时，y>0，
∴4a-2b+c>0，即4a+c>2b，故D错误.
考法(二)　二次函数的单调性与最值
[例4]
(1)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3，0) B.(-∞，-3]
C.[-2，0] D.[-3，0]
√
解析：当a=0时，f(x)=-3x+1，在[-1，+∞)上单调递减，满足题意；
当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x=，
由f(x)在[-1，+∞)上单调递减，知
解得-3≤a<0.综上，a的取值范围为[-3，0].
(2)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(0，2] 　　B.[1，2)
C.[1，2] 　　D.(0，1]
√
解析：因为f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6，所以当x=1时，f(x)max=6，令f(x)=5，解得x=0或x=2.
又因为f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以若f(x)在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则有1≤m≤2，即m∈[1，2]，故选C.
二次函数单调性与最值问题的解题策略
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.
思维建模
5.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若a即时训练
√
解析：若a0，故C错误，A正确.
6.已知函数f(x)=x2+2x-4.
(1)若f(x)在区间[a，a+1]上不具有单调性，求实数a的取值范围；
解：因为函数f(x)=x2+2x-4在[a，a+1]上不具有单调性，
对称轴为x=-1，
所以a<-1解得-2(2)若t>-2，求f(x)在区间[-2，t]上的最小值g(t).
解：因为f(x)=x2+2x-4的图象开口向上，对称轴为x=-1，当-2当t>-1时，函数f(x)在[-2，-1)上单调递减，在(-1，t]上单调递增，所以f(x)min=f(-1)=-5.
综上，g(t)=
数智赋能：电子版随堂训练(一元二次方程根的分布情况)， 根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
解析：由题意，设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0)，则解得a=3，b=-2，故所求的二次函数为g(x)=3x2-2x.
√
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2.已知函数f(x)=x-3，若a=f(0.60.6)，b=f(0.60.4)，c=f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.b解析：∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又f(x)=x-3在(0，+∞)上单调递减，∴b√
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3.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0，+∞)上单调递增，若f(2x-1)≥1，则x的取值范围是(　　)
A.(-∞，0] B.[1，+∞)
C.[0，1] D.(-∞，0]∪[1，+∞)
√
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解析：因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数，所以m2-6m+9=1，解得m=2或m=4.当m=2时，f(x)=x-4，在(0，+∞)上单调递减，不满足题意；当m=4时，f(x)=x2，在(0，+∞)上单调递增，满足题意，所以f(x)=x2，且f(x)是偶函数.因为f(2x-1)≥1=f(1)，所以|2x-1|≥1，解得x≤0或x≥1，故选D.
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4.已知幂函数y=(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A.p，q均为奇数，且>0
B.q为偶数，p为奇数，且<0
C.q为奇数，p为偶数，且>0
D.q为奇数，p为偶数，且<0
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解析：因为函数y=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且在(0，+∞)上单调递减，所以<0.因为函数y=的图象关于y轴对称，所以函数y=为偶函数，即p为偶数，又p，q互质，所以q为奇数，所以D正确.
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5.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为 (　　)
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解析：当a<0时，g(x)=xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，+∞)上单调递减，而f(x)=ax2+2x+1的图象开口向下，且对称轴为x=-
>0，f(0)=1，故A符合；当a=2n(n∈N*)时，g(x)=xa为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上，且对称轴为x=-<0，Δ=4-4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合；
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当a=(n∈N*)时，g(x)=xa的定义域为[0，+∞)，且在[0，+∞)上单调递增，f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上，且对称轴为x=-<0，Δ=4-4a>0，图象和x轴有两个交点，故C符合；B中二次函数的图象与x轴只有一个交点，则Δ=4-4a=0，解得a=1，此时g(x)=x，为一条过原点的直线，故B明显不符合题意.故选B.
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6.“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析：f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下，对称轴为x=-=
-a-1，要想f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增，则-a-1≥-3，解得a≤2.由于{a|a<2}是{a|a≤2}的真子集，故“a<2”是“函数f(x)=
-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的充分不必要条件.
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7.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，4) B.(-∞，4]
C.[6，+∞) D.(-∞，4]∪[6，+∞)
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解析：因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，所以m2-5m+5=1，解得m=1或m=4.当m=1时，f(x)=x-1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意；当m=4时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意.所以f(x)=x2，则g(x)=x2-(2a-6)x，其对称轴方程为x=a-3，由g(x)在区间[1，3]上单调递减，得a-3≥3，解得a≥6.
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二、多选题
8.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3，m∈N*，则下列结论正确的是(　　)
A.m=1
B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(-2)D.函数f(x)的值域为(0，+∞)
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解析：由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1，解得m=1或m=-，又m∈N*，所以m=1.所以f(x)=x-2=，故A正确；因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，由f(-x)===f(x)，知函数f(x)为偶函数，由于-2<0，故f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞，0)上单调递增，故B错误；f(-2)==
>==f(3)，故C错误；因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，则x2>0，所以f(x)=的值域为(0，+∞)，故D正确.
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9.已知f(x)=x2-2x+a(a>0)，若f(t)<0，则 (　　)
A.f(t-2)>0 B.f(t-1)<0
C.f(2-t)<0 D.f(4-t)>f(2)
解析：函数f(x)的图象关于x=1对称，
在(-∞，1)上单调递减，
(1，+∞)上单调递增.
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√
√
由f(t)<0，f(0)=f(2)=a>0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)=f(x2)=0，其中t∈(x1，x2)，则t-2<0，所以f(t-2)>f(0)>0，故A正确； t∈(x1，x2)，则t-1可能小于0，也可能属于(x1，x2)，故f(t-1)的符号不确定，故B错误；根据对称性可得f(2-t)=f(t)<0，故C正确；由于t∈(x1，x2)，且x2∈(1，2)，所以4-t>2，又f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(4-t)>f(2)，故D正确.
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三、填空题
10.已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)上单调递减，实数a满足(a2-1<(3a+3，则实数a的取值范围是　　　　.
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(-1，4)
解析：∵幂函数f(x)=(p∈N*)在(0，+∞)上单调递减，∴p2-2p-3<0，解得-1(点拨：对于幂函数f(x)=xα，当α>0时，f(x)=xα在(0，+∞)上单调递增，当α<0时，f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减)
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∵p∈N*，∴p=1或p=2.当p=1时，f(x)=x-4为偶函数，满足条件，当p=2时，f(x)=x-3为奇函数，不满足条件，则p=1.∴不等式(a2-1<(3a+3，即为(a2-1<(3a+3.
∵y=在R上为增函数，
∴a2-1<3a+3，解得-113
11.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b-a的取值范围是　　　　.
解析：解方程f(x)=x2-4x+2=2，得x=0或x=4，解方程f(x)=x2-4x+2=-2，得x=2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，
若函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，则[a，b]=[0，2]或[a，b]=[2，4]，此时b-a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不具有单调性，且当b-a取最大值时，[a，b]=[0，4]，所以b-a的最大值为4，所以b-a的取值范围是[2，4].
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[2，4]
12.已知f(x)=4x-x2+2，则g(x)=f( f(x))的单调递增区间为 ______________.
解析：令t=f(x)=4x-x2+2=-(x-2)2+6，故t=f(x)在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减.令4x-x2+2=2，得x=0或x=4，当x∈(0，4)时，f(x)>2，当x∈(-∞，0)∪(4，+∞)时，f(x)<2.当x∈(-∞，0)时，t<2，且t=f(x)单调递增，又f(t)在(-∞，2)上单调递增，由复合函数的单调性满足同增异减可知，g(x)=f(f(x))单调递增；当x∈(2，4)时，t>2，且t=f(x)单调递减，又f(t)在(2，+∞)上单调递减，由复合函数的单调性满足同增异减可知，g(x)=f(f(x))单调递增，其他区间不满足要求.
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(-∞，0)，(2，4)
四、解答题
13.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)的图象关于y轴对称.
(1)求m的值及函数f(x)的解析式；(4分)
解：因为f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)为幂函数，所以m2+m-1=1，解得m=1或m=-2.
当m=1时，f(x)=x2，函数图象关于y轴对称，符合题意；当m=-2时，f(x)=x-1，函数图象关于原点对称，不符合题意.综上，m=1，f(x)=x2.
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(2)设函数g(x)=f(x)-4x+5，求g(x)在区间[1，4]上的值域.(6分)
解：由(1)得g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，
所以g(x)在[1，2]上单调递减，
在[2，4]上单调递增.又g(2)=1，g(1)=2，g(4)=5，
所以g(x)∈[1，5]，即g(x)在区间[1，4]上的值域为[1，5].
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14.(10分)已知二次函数f(x)=x2-2ax+1.
(1)当a=1时，若f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]，求m的取值范围；(5分)
解：当a=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以f(0)=1，
又因为f(x)min=f(1)=0，f(2)=1，
所以当f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]时，1≤m≤2.故m的取值范围为[1，2].
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(2)求f(x)在[0，1]上的最小值g(a)的解析式.(5分)
解：由题意可知，f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴为x=a，且f(x)图象开口向上，
①当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，
故f(x)min=f(0)=1=g(a)；
②当0故f(x)min=f(a)=1-a2=g(a)；
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③当a≥1时，f(x)在[0，1]上单调递减，
故f(x)min=f(1)=2-2a=g(a).
综上所述，g(a)=
13课时跟踪检测(十三)　幂函数与二次函数
一、单选题
1.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 (　　)
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
2.已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.b3.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0,+∞)上单调递增,若f(2x-1)≥1,则x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0] B.[1,+∞)
C.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)
4.已知幂函数y=(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称,如图所示,则 (　　)
A.p,q均为奇数,且>0
B.q为偶数,p为奇数,且<0
C.q为奇数,p为偶数,且>0
D.q为奇数,p为偶数,且<0
5.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为 (　　)
6.“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.[6,+∞) D.(-∞,4]∪[6,+∞)
二、多选题
8.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3,m∈N*,则下列结论正确的是 (　　)
A.m=1 B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(-2)9.已知f(x)=x2-2x+a(a>0),若f(t)<0,则 (　　)
A.f(t-2)>0 B.f(t-1)<0
C.f(2-t)<0 D.f(4-t)>f(2)
三、填空题
10.已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,实数a满足(a2-1<(3a+3,则实数a的取值范围是　　　　.
11.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.
12.已知f(x)=4x-x2+2,则g(x)=f(f(x))的单调递增区间为　　　　　　.
四、解答题
13.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)的图象关于y轴对称.
(1)求m的值及函数f(x)的解析式;(4分)
(2)设函数g(x)=f(x)-4x+5,求g(x)在区间[1,4]上的值域.(6分)
14.(10分)已知二次函数f(x)=x2-2ax+1.
(1)当a=1时,若f(x)在[0,m]上的值域为[0,1],求m的取值范围;(5分)
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值g(a)的解析式.(5分)
课时跟踪检测(十三)
1.选B　由题意,设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0),则解得a=3,b=-2,故所求的二次函数为g(x)=3x2-2x.
2.选B　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4,又f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,∴b3.选D　因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数,所以m2-6m+9=1,解得m=2或m=4.当m=2时,f(x)=x-4,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意;当m=4时,f(x)=x2,在(0,+∞)上单调递增,满足题意,所以f(x)=x2,且f(x)是偶函数.因为f(2x-1)≥1=f(1),所以|2x-1|≥1,解得x≤0或x≥1,故选D.
4.选D　因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,所以<0.因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数,又p,q互质,所以q为奇数,所以D正确.
5.选B　当a<0时,g(x)=xa为奇函数,定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,而f(x)=ax2+2x+1的图象开口向下,且对称轴为x=->0,f(0)=1,故A符合;当a=2n(n∈N*)时,g(x)=xa为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=-<0,Δ=4-4a<0,其图象和x轴没有交点,故D符合;当a=(n∈N*)时,g(x)=xa的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=-<0,Δ=4-4a>0,图象和x轴有两个交点,故C符合;B中二次函数的图象与x轴只有一个交点,则Δ=4-4a=0,解得a=1,此时g(x)=x,为一条过原点的直线,故B明显不符合题意.故选B.
6.选A　f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下,对称轴为x=-=-a-1,要想f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增,则-a-1≥-3,解得a≤2.由于{a|a<2}是{a|a≤2}的真子集,故“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的充分不必要条件.
7.选C　因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,所以m2-5m+5=1,解得m=1或m=4.当m=1时,f(x)=x-1,该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数,不符合题意;当m=4时,f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意.所以f(x)=x2,则g(x)=x2-(2a-6)x,其对称轴方程为x=a-3,由g(x)在区间[1,3]上单调递减,得a-3≥3,解得a≥6.
8.选AD　由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-,又m∈N*,所以m=1.所以f(x)=x-2=,故A正确;因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由f(-x)===f(x),知函数f(x)为偶函数,由于-2<0,故f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞,0)上单调递增,故B错误;f(-2)==>==f(3),故C错误;因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则x2>0,所以f(x)=的值域为(0,+∞),故D正确.
9.选ACD　
函数f(x)的图象关于x=1对称,在(-∞,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增.由f(t)<0,f(0)=f(2)=a>0可得,存在x1∈(0,1),x2∈(1,2),使得f(x1)=f(x2)=0,其中t∈(x1,x2),则t-2<0,所以f(t-2)>f(0)>0,故A正确;t∈(x1,x2),则t-1可能小于0,也可能属于(x1,x2),故f(t-1)的符号不确定,故B错误;根据对称性可得f(2-t)=f(t)<0,故C正确;由于t∈(x1,x2),且x2∈(1,2),所以4-t>2,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(4-t)>f(2),故D正确.
10.解析:∵幂函数f(x)=(p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,∴p2-2p-3<0,解得-1(点拨:对于幂函数f(x)=xα,当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减)
∵p∈N*,∴p=1或p=2.当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件,当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,则p=1.∴不等式(a2-1<(3a+3,即为(a2-1<(3a+3.
∵y=在R上为增函数,∴a2-1<3a+3,解得-1答案:(-1,4)
11.解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2,得x=0或x=4,解方程f(x)=x2-4x+2=-2,得x=2,由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2],
若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2;若函数f(x)在区间[a,b]上不具有单调性,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值为4,所以b-a的取值范围是[2,4].
答案:[2,4]
12.解析:令t=f(x)=4x-x2+2=-(x-2)2+6,故t=f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.令4x-x2+2=2,得x=0或x=4,当x∈(0,4)时,f(x)>2,当x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,f(x)<2.当x∈(-∞,0)时,t<2,且t=f(x)单调递增,又f(t)在(-∞,2)上单调递增,由复合函数的单调性满足同增异减可知,g(x)=f(f(x))单调递增;当x∈(2,4)时,t>2,且t=f(x)单调递减,又f(t)在(2,+∞)上单调递减,由复合函数的单调性满足同增异减可知,g(x)=f(f(x))单调递增,其他区间不满足要求.
答案:(-∞,0),(2,4)
13.解:(1)因为f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)为幂函数,
所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2.
当m=1时,f(x)=x2,函数图象关于y轴对称,符合题意;当m=-2时,f(x)=x-1,函数图象关于原点对称,不符合题意.综上,m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)得g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,所以g(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增.又g(2)=1,g(1)=2,g(4)=5,所以g(x)∈[1,5],即g(x)在区间[1,4]上的值域为[1,5].
14.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所以f(0)=1,
又因为f(x)min=f(1)=0,f(2)=1,所以当f(x)在[0,m]上的值域为[0,1]时,1≤m≤2.故m的取值范围为[1,2].
(2)由题意可知,f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴为x=a,且f(x)图象开口向上,
①当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,
故f(x)min=f(0)=1=g(a);
②当0故f(x)min=f(a)=1-a2=g(a);
③当a≥1时,f(x)在[0,1]上单调递减,
故f(x)min=f(1)=2-2a=g(a).
综上所述,g(a)=

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