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第七节 指数与对数的运算
1.通过对有理数指数幂(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的理解,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念与运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数.
教材再回首
1.根式
(1)概念
式子叫做　　　,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质
①　　　　没有偶次方根;
②0的任何次方根都是0,记作=　　;
③()n=a(n∈N*,且n>1);
④ =a(n为大于1的奇数);
⑤ =|a|=(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
(1)正分数指数幂:= 　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1).
(2)负分数指数幂:=　　　 　=　　 　　(a>0,m,n∈N*,n>1).
(3)0的正分数指数幂等于　,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
(1)aras=　　　　　(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s= 　　　　(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=　　　(a>0,b>0,r∈R).
4.对数的概念
定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作　　　　　,其中　　叫做对数的底数,　叫做真数
性质 loga1=　,logaa=　,logaax=　,其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数
5.对数的运算
运算 性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=　　　　　; loga=　　　　　; logaMn=　 　　　(n∈R)
换底 公式 logab=　　　　(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
解题结论拓展
1.换底公式的变形
(1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1);
(2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R);
(3)logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
2.换底公式的推广
logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.对数恒等式
=N(a>0且a≠1,N>0).
典题细发掘
1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　)
A.=2-π B.a=
C.= D.(=x9
2.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210= (　　)
A. B.
C.2a+b D.2b+a
3.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1,则4x+4-x= (　　)
A.1 B.2
C. D.
4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3,则a+a-1=　　　　;a2+a-2=　　　　.
题点一　指数幂的运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)计算: -+0.2;
(2)化简:4÷(a,b>0);
(3)已知-=2,求的值.
|思维建模|　
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数,形式力求统一.
[即时训练]
1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的有 (　　)
A.=a B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1
C.=+y D.=
2.计算: -+=　　　　.
题点二　对数的运算
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)计算:lg-lg+lg;
(2)已知log23=a,log37=b,试用a,b表示log1456.
|思维建模|　对数式化简与求值的策略
策略一:将真数化为底数的指数幂的形式.
策略二:将同底对数的和、差、倍合并.
策略三:利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
策略四:利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.
[即时训练]
3.[多选]下列命题正确的是 (　　)
A.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=
B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1
C.+lo=0
D.若2m=3n=k且+=2,则k=6
4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.
5.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.
题点三　指数与对数运算的实际应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y(单位:元/斤)与单果的直径x(单位: mm)满足关系式y=eax+b.当单果的直径为16 mm时,大荔冬枣的单价为8元/斤;当单果的直径为40 mm时,大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24 mm时,大荔冬枣的单价约为(参考数据:≈2.08,≈1.44) (　　)
A.11.5元/斤 B.12.5元/斤
C.10元/斤 D.14元/斤
|思维建模|　
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
(1)理解题意,弄清楚题目条件与所求之间的关系;
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算,把题目条件转化为所求.
[即时训练]
6.(2025·济南模拟)[多选]某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位: ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a,R为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是 (　　)
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后,人可以安全进入车库
第七节　指数与对数的运算
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)根式　(2)负数　0　-a
2.(1)　(2)　　(3)0
3.(1)ar+s　(2)ars　(3)arbr
4.x=logaN　a　N　0　1　x
5.logaM+logaN　logaM-logaN　nlogaM　
[典题细发掘]
1.选C　对于A,2-π<0,所以=π-2,错误;对于B,因为->0,所以a<0,
则a =-(-a)·=-,错误;对于C,==,正确;对于D,(=x9-2=x7,错误.
2.选A　log1210===.
3.快审准解:条件可化为x=log43,运用对数恒等式,即可.
选D　∵xlog34=1,∴x=log43,∴4x=3,
∴4x+4-x=3+=.故选D.
4.解析:由+=3,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47.
答案:7　47
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:(1) -+0.2=-4-1+=-.
(2)4÷=-6=-6ab.
(3)由-=2,得x+x-1=+2=6,x2+x-2=(x+x-1)2-2=34,所以==.
[即时训练]
1.选BD　当n为偶数时, =|a|,故=a不一定成立,故A错误;
a2-a+1=+≠0,故(a2-a+1)0=1,故B正确;
当x=y=1时,左边为,右边为2,显然不成立,故C错误;==,故D正确.故选BD.
2.解析:由题意得-+=[(-2)4-+=|-2|-+=2--+=-.
答案:-
题点二
[例2]　解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)因为log27=log23·log37=ab,所以log1456=log1414+log144=1+=1+=1+=.
[即时训练]
3.选ABC　因为2a=5,则a=log25,且b=log83=log23,
所以a-3b=log25-log23=log2,
则4a-3b=22(a-3b)===,故A正确;
2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2=2lg 2+lg 5-lg 2=lg 2+lg 5=1,故B正确;
原式=+lo()-1=1-1=0,故C正确;
因为2m=3n=k,则m=log2k,n=log3k,则=logk2,=logk3,所以+=logk2+logk3=logk6=2,所以k=,故D错误.故选ABC.
4.解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64.
答案:64
5.解析:由f(ln 2)f(ln 4)=8,得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,∵a>0且a≠1,∴aln 2=2,两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
答案:e
题点三
[例3]　选A　根据题意有当单果的直径为16 mm时,大荔冬枣的单价为8元/斤;
当单果的直径为40 mm时,大荔冬枣的单价为24元/斤,所以8=e16a+b,24=e40a+b,
两式相除可得e24a=3,所以ea=,所以8=eb=eb,解得eb=,
当单果的直径为24 mm时,大荔冬枣的单价为e24a+b=eb=3×=8×≈8×1.44≈11.5(元/斤).
[即时训练]
6.快审准解:由题意列式,求出a=128,R=-ln 2,即可判断A,B;可得函数解析式,将t=12代入,即可判断C;结合解析式列出不等关系,求出人可以安全进入车库的排气时间,判断D.
选ACD　设f(t)=aeR t,
代入(4,64),(8,32),得
解得a=128,R=-ln 2,A正确,B错误.
此时f(t)=128(eR)t=27·()t=,
所以f(12)=24=16(ppm),C正确.
当f(t)≤0.5时,≤0.5=2-1,得7-≤-1,所以t≥32,所以排气32分钟后,人可以安全进入车库,D正确.故选ACD.(共63张PPT)
第七节
指数与对数的运算
明确目标
1.通过对有理数指数幂(a>0，m，n为正整数，且n>1)、实数指数幂ax(a>0，x∈R)含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.根式
(1)概念
式子叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
根式
(2)性质
①______没有偶次方根；
②0的任何次方根都是0，记作=___；
③()n=a(n∈N*，且n>1)；
④ =a(n为大于1的奇数)；
⑤ =|a|=(n为大于1的偶数).
负数
0

2.分数指数幂
(1)正分数指数幂：= ______(a>0，m，n∈N*，n>1).
(2)负分数指数幂：=______=______(a>0，m，n∈N*，n>1).
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
(1)aras=_____ (a>0，r，s∈R).
(2)(ar)s=_____ (a>0，r，s∈R).
(3)(ab)r=_____ (a>0，b>0，r∈R).
ar+s
ars
arbr
4.对数的概念
定义 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中__ 叫做对数的底数，___叫做真数
性质 loga1=___，logaa=___，logaax=___，其中a>0，且a≠1；负数和0没有对数
x=logaN
a
N
0
1
x
5.对数的运算
运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
loga(MN)=_____________；
loga=____________；
logaMn=________ (n∈R)
换底 公式 logab=______(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
解题结论拓展
1.换底公式的变形
(1)logab·logba=1，即logab=(a，b均大于0且不等于1)；
(2)lobn=logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；
(3)logNM==(a，b，N均大于0且不等于1，M>0).
2.换底公式的推广
logab·logbc·logcd=logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
3.对数恒等式
=N(a>0且a≠1，N>0).
典题细发掘
1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　)
A.=2-π B.a=
C.= D.(=x9
√
解析：对于A，2-π<0，所以=π-2，错误；
对于B，因为->0，所以a<0，
则a=-(-a)·=-，错误；对于C，==，正确；对于D，
(=x9-2=x7，错误.
2.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a，lg 3=b，则log1210= (　　)
A. B.
C.2a+b D.2b+a
解析：log1210===.
√
3.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1，则4x+4-x= (　　)
A.1 B.2
C. D.
快审准解：条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可.
解析：∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，
∴4x+4-x=3+=.故选D.
√
4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3，则a+a-1=__；a2+a-2=___.
解析：由+=3，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7，则a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47.
7　
47
课堂·题点精研
02
[例1] (1)计算： -+0.2；
解： -+0.2=-4-1+=-.
(2)化简：4÷(a，b>0)；
解：4÷=-6=-6ab.
题点一　指数幂的运算
(3)已知-=2，求的值.
解：由-=2，得x+x-1=+2=6，x2+x-2=(x+x-1)2-2=34，
所以==.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，形式力求统一.
思维建模
1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的有 (　　)
A.=a
B.若a∈R，则(a2-a+1)0=1
C.=+y
D.=
即时训练
√
√
解析：当n为偶数时， =|a|，故=a不一定成立，故A错误；
a2-a+1=+≠0，故(a2-a+1)0=1，故B正确；
当x=y=1时，左边为，右边为2，显然不成立，故C错误；==，故D正确.故选BD.
2.计算： -+=____.
解析：由题意得-+=[(-2)4-+=|-2|-+=2--+=-.
-
[例2]
(1)计算：lg-lg+lg；
解：原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7- 2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
题点二　对数的运算
(2)已知log23=a，log37=b，试用a，b表示log1456.
解：因为log27=log23·log37=ab，
所以log1456=log1414+log144=1+=1+=1+=.
对数式化简与求值的策略
思维建模
策略一 将真数化为底数的指数幂的形式
策略二 将同底对数的和、差、倍合并
策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用
策略四 利用常用对数中的lg 2+lg 5=1
3.[多选]下列命题正确的是 (　　)
A.已知2a=5，log83=b，则4a-3b=
B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1
C.+lo=0
D.若2m=3n=k且+=2，则k=6
即时训练
√
√
√
解析：因为2a=5，则a=log25，且b=log83=log23，所以a-3b=log25-log23=log2，
则4a-3b=22(a-3b)===，故A正确；
2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2= 2lg 2+lg 5-lg 2=lg 2+lg 5=1，故B正确；
原式=+lo()-1=1-1=0，故C正确；
因为2m=3n=k，则m=log2k，n=log3k，则=logk2，=logk3，所以+=logk2+logk3=logk6=2，所以k=，故D错误.故选ABC.
4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=____.
解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64.
64
5.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=___.
解析：由f(ln 2)f(ln 4)=8，得aln 2·aln 4=8，即aln 2+ln 4=a3ln 2=8，也即(aln 2)3=23，∵a>0且a≠1，∴aln 2=2，两边取对数得ln 2·ln a=ln 2，解得a=e.
e
[例3]　假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y(单位：元/斤)与单果的直径x(单位： mm)满足关系式y=eax+b.当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价约为(参考数据：≈2.08，≈1.44) (　　)
A.11.5元/斤 B.12.5元/斤
C.10元/斤 D.14元/斤
√
题点三　指数与对数运算的实际应用
解析：根据题意有当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤；
当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤，所以8=e16a+b，24=e40a+b，两式相除可得e24a=3，所以ea=，所以8=eb=eb，解得eb=，当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价为e24a+b=eb=3×=8×≈8×1.44≈11.5(元/斤).
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
(1)理解题意，弄清楚题目条件与所求之间的关系；
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
思维建模
6.(2025·济南模拟)[多选]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y (单位： ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是 (　　)
即时训练
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后，人可以安全进入车库
快审准解：由题意列式，求出a=128，R=-ln 2，即可判断A，B；可得函数解析式，将t=12代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.
√
√
√
解析：设f(t)=aeRt，代入(4，64)，(8，32)，得
解得a=128，R=-ln 2，A正确，B错误.
此时f(t)=128(eR)t=27·()t=，所以f(12)=24=16(ppm)，C正确.当f(t)≤0.5时，≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.故选ACD.
数智赋能：电子版随堂训练(指、对换算的应用)，
根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·肇庆一模)log318-log32=(　　)
A.4 B.2log32
C.log32 D.2
解析：log318-log32=log39=2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.若a≥0，b∈R，则化简++的结果是 (　　)
A.3+a+b B.3+a+|b|
C.2+a+b D.2+a+|b|
解析：由=3，()2=a，=|b|可知，++=
3+a+|b|.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
3.若a，b是正整数，且满足=，则a与b的关系正确的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：由题意知，正整数a，b，且满足=，可得8×2a=，即23×2a=28b，所以3+a=8b.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
4.若·t=6×，则t= (　　)
A.60 B.45
C.30 D.15
解析：因为·t=6×，所以t==
==3×=3×= 30.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
5.若log2m+log4n=2，则m2n= (　　)
A.3 B.4
C.9 D.16
解析：因为log2m+log4n=2，所以log2m+log2n=2，故得log2m+
log2=log24，化简得log2(m)=log24，所以m=4，故m2n=16，故D正确.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
6.(2024·南平二模)对任意非零实数α，当|x|充分小时，(1+x)α≈1+α·x，如==2≈2×=2.25，用这个方法计算的近似值为(　　)
A.1.906 B.1.908
C.1.917 D.1.919
√
1
5
6
7
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解析：===2=2×=
2×≈2×≈1.917.
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7.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516) (　　)
A.0.72M0 B.0.70M0
C.0.67M0 D.0.66M0
√
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解析：由题意，锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天，即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0.
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二、多选题
8.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是(　　)
A.(2a)2=2b B.a·eln a=b
C.b=2a D.log2a=log8ab
快审准解：根据2log3+log3b=0可推出b=a2，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案.
√
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√
解析：由2log3+log3b=0，得a>0，b>0，且log3a-2+log3b=0，
即log3a-2b=0，∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误；
由于(2a)2=2b，即22a=2b，∴b=2a，结合以上分析可知A错误；
由于a·eln a=b，即为a·a=a2=b，故B正确；
又log8ab=log8a3=loa3=log2a，故D正确，故选BD.
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9.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为A=lg ，下表为不同玻璃材料的透光率：
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1，A2，A3，则下列结论正确的是 (　　)
A.A1>A2 B.A2>3A3
C.A1+A3>2A2 D.A2+A3>A1
√
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玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.7 0.8 0.9
√
解析：由换算公式和题表可知，A1=lg =lg ，A2=lg =lg ，A3=lg =lg ，又因为函数y=lg x在(0，+∞)上单调递增，
所以对于A，A1=lg >lg =A2，说法正确；对于B，3A3=3lg
=lg =lg >lg =A2，说法错误；对于C，A1+A3=lg +lg
=lg ，2A2=2lg =lg =lg ，A1+A3>2A2，说法正确；
对于D，A2+A3=lg +lg =lg 1
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10.已知2a=5b=10，则下列关系正确的是 (　　)
A.ea-b>1 B.a+bC.a+4b<9 D.+>8
快审准解：利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
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√
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解析：因为2a=5b=10，
所以a=log210=，b=log510=，
a-b=-=>0，所以ea-b>e0=1，故A正确；
a+b-ab=+-·===0，
所以a+b=ab，故B不正确；
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因为a>0，b>0，+=lg 2+lg 5=1，
所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a+4b>9，故C不正确；
+=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-
lg 2+2)2=2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8，故D正确.
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11.(2025·永州一模)苏格兰数学家纳·皮尔在研究天文的过程中，找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了以10为底的常用对数lg x，并出版了常用对数表.瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”.根据给出的参考数据和指对数之间的关系，判断下面的结论正确的是 (　　)
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A.410在区间(106，107)内
B.250是15位数
C.若3-20=k×10m(1≤k< 10，m∈Z)，则m=-9
D.若m100 (m∈N*)是一个70位正整数，则m=5
参考数据：
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x 2 3 5 7 11 13 17 19
lg x (近似值) 0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 1.230 1.279
√
√
解析：因为410=220①，所以lg 410=lg 220=20lg 2≈
20×0.301=6.02，所以410∈(106，107)，故A正确；
因为lg 250=50lg 2≈50×0.301=15.05②，
所以250∈(1015，1016)，即250是16位数，故B错误；
因为lg 3-20=-20lg 3≈-20×0.477=-9.54，所以3-20≈10-9.54=
100.46×10-10，所以m=-10，故C错误；
因为lg m100=100lg m，所以69≤100lg m<70③，
所以0.69≤lg m<0.7，所以m=5，故D正确.故选AD.
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习得方略：
①处，由于附有对数的参考数据表，故只需对此等式两边取对数.
②处，要判断250的位数，只需求出lg 250的近似值.
③处，根据“m100(m∈N*)是一个70位正整数”，得m所需要满足的不等式.
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三、填空题
12.(2024·北京丰台二模)已知函数f(x)=2x，g(x)=log2(x+1)，那么f(g(0))=____.
解析：易知g(0)=log2(0+1)=0，故f(g(0))=f(0)=20=1.
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1
13.(2025·太原模拟)-log37·log79+log153+log155的值为___.
解析：-log37·log79+log153+log155
=-·+log15(3×5)
=32-·+log1515=9-2+1=8.
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14.(2025·广州模拟)若xy=3，则x+y=________.
解析：当x>0，y>0时，x+y=+=2，
当x<0，y<0时，x+y=-+-=-2.
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±2课时跟踪检测(十四)　指数与对数的运算
一、单选题
1.(2025·肇庆一模)log318-log32= (　　)
A.4 B.2log32
C.log32 D.2
2.若a≥0,b∈R,则化简++的结果是 (　　)
A.3+a+b B.3+a+|b|
C.2+a+b D.2+a+|b|
3.若a,b是正整数,且满足=,则a与b的关系正确的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
4.若·t=6×,则t= (　　)
A.60 B.45
C.30 D.15
5.若log2m+log4n=2,则m2n= (　　)
A.3 B.4
C.9 D.16
6.(2024·南平二模)对任意非零实数α,当|x|充分小时,(1+x)α≈1+α·x,如==2≈2×=2.25,用这个方法计算的近似值为 (　　)
A.1.906 B.1.908
C.1.917 D.1.919
7.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质量M与时间T(单位:天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数),若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天,则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据:20.6≈1.516) (　　)
A.0.72M0 B.0.70M0
C.0.67M0 D.0.66M0
二、多选题
8.已知2log3+log3b=0,则下列等式一定正确的是 (　　)
A.(2a)2=2b B.a·eln a=b
C.b=2a D.log2a=log8ab
9.在实际应用中,通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为A=lg ,下表为不同玻璃材料的透光率:
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.7 0.8 0.9
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1,A2,A3,则下列结论正确的是 (　　)
A.A1>A2 B.A2>3A3
C.A1+A3>2A2 D.A2+A3>A1
10.已知2a=5b=10,则下列关系正确的是 (　　)
A.ea-b>1 B.a+bC.a+4b<9 D.+>8
11.(2025·永州一模)苏格兰数学家纳·皮尔在研究天文的过程中,找到了简化大数运算的有效工具,发明了对数,这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了以10为底的常用对数lg x,并出版了常用对数表.瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”.根据给出的参考数据和指对数之间的关系,判断下面的结论正确的是 (　　)
A.410在区间(106,107)内
B.250是15位数
C.若3-20=k×10m(1≤k< 10,m∈Z),则m=-9
D.若m100 (m∈N*)是一个70位正整数,则m=5
参考数据:
x 2 3 5 7 11 13 17 19
lg x(近似值) 0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 1.230 1.279
三、填空题
12.已知函数f(x)=2x,g(x)=log2(x+1),那么f(g(0))=　　　　.
13.(2025·太原模拟)-log37·log79+log153+log155的值为　　　.
14.(2025·广州模拟)若xy=3,则x+y=　　　　.
课时跟踪检测(十四)
1.选D　log318-log32=log39=2.
2.选B　由=3,()2=a,=|b|可知,++=3+a+|b|.
3.选A　由题意知,正整数a,b,且满足=,可得8×2a=,即23×2a=28b,所以3+a=8b.
4.选C　因为·t=6×,所以t====3×=3×=30.故选C.
5.选D　因为log2m+log4n=2,所以log2m+log2n=2,故得log2m+log2=log24,化简得log2(m)=log24,所以m=4,故m2n=16,故D正确.
6.选C　===2=2×=2×≈2×≈1.917.
7.选D　由题意,锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天,即M0=M0·,则H=50,所以质量为M0的锶89经过30天衰减后,质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0.
8.快审准解:根据2log3+log3b=0可推出b=a2,依此并结合对数运算,一一判断各选项,即可得答案.
选BD　由2log3+log3b=0,得a>0,b>0,且log3a-2+log3b=0,即log3a-2b=0,∴a-2b=1,b=a2,而此时b=2a不总是成立,故C错误;
由于(2a)2=2b,即22a=2b,∴b=2a,结合以上分析可知A错误;
由于a·eln a=b,即为a·a=a2=b,故B正确;
又log8ab=log8a3=loa3=log2a,故D正确,故选BD.
9.选AC　由换算公式和题表可知,A1=lg =lg ,A2=lg =lg ,A3=lg =lg ,又因为函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以对于A,A1=lg >lg =A2,说法正确;对于B,3A3=3lg =lg =lg >lg =A2,说法错误;对于C,A1+A3=lg +lg =lg ,2A2=2lg =lg =lg ,A1+A3>2A2,说法正确;
对于D,A2+A3=lg +lg =lg 10.快审准解:利用对数的运算法则化简,结合作差法和基本不等式比较大小,依次判断各选项.
选AD　因为2a=5b=10,所以a=log210=,b=log510=,a-b=-=>0,所以ea-b>e0=1,故A正确;
a+b-ab=+-·===0,所以a+b=ab,故B不正确;
因为a>0,b>0,+=lg 2+lg 5=1,
所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9,而a≠2b,故上述不等式等号不成立,则a+4b>9,故C不正确;+=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-lg 2+2)2=2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8,故D正确.
11.选AD　因为410=,所以lg 410=lg 220=20lg 2≈20×0.301=6.02,所以410∈(106,107),故A正确;
因为lg 250=50lg 2≈50×0.301=15.05②,
所以250∈(1015,1016),即250是16位数,故B错误;
因为lg 3-20=-20lg 3≈-20×0.477=-9.54,所以3-20≈10-9.54=100.46×10-10,所以m=-10,故C错误;
因为lg m100=100lg m,所以69≤100lg m<70③,
所以0.69≤lg m<0.7,所以m=5,故D正确.故选AD.
习得方略:
①处,由于附有对数的参考数据表,故只需对此等式两边取对数.
②处,要判断250的位数,只需求出lg 250的近似值.
③处,根据“m100(m∈N*)是一个70位正整数”,得m所需要满足的不等式.
12.解析:易知g(0)=log2(0+1)=0,故f(g(0))=f(0)=20=1.
答案:1
13.解析:-log37·log79+log153+log155=-·+log15(3×5)=32-·+log1515=9-2+1=8.
答案:8
14.解析:当x>0,y>0时,x+y=+=2,
当x<0,y<0时,x +y =-+(-)=-2.
答案:±2

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