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第八节　指数函
1.了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题.
2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
教材再回首
1.指数函数的定义
一般地,函数　　　　　　　　　　　叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域为　;值域为　　　　
图象过定点　　　　,即当x=　时,y=　
当x>0时,恒有　　　; 当x<0时,恒有　　 当x>0时,恒有　　　; 当x<0时,恒有　　
在R上为增函数 在R上为减函数
解题结论拓展
(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
(3)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
(4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0典题细发掘
1.(人A必修①P159T1(1))函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　)
A. B.
C.(1,2) D.
3.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.b4.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　.
题点一　指数函数的图象及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(人A必修①P120T9改编)已知函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab= (　　)
A.-1 B.-2
C.-4 D.-9
(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　)
|思维建模|　
应用指数函数图象的技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.
[即时训练]
1.[多选]已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　　)
A.a=b B.0C.a2.若函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点,则实数b的取值集合是　　　　.
题点二　指数函数的性质及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　比较大小
[例2]　(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
|思维建模|　比较指数式大小的方法
(1)直接法:当指数式的底数相同时,直接运用指数函数的单调性比较.
(2)转化法:当指数式的底数不同时,利用幂的运算法则将底数统一.
(3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时,可利用中间量“1”进行比较.
考法(二)　解简单的指数方程或不等式
[例3]　若不等式>对任意的x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,-5) B.(-∞,-5]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1)
方法引入:化成同底数指数幂,然后参变分离,可得a的取值范围.
|思维建模|
解指数不等式的常用方法
(1)性质法:解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解.
(3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解.
考法(三)　指数函数性质的综合应用
[例4]　已知函数f(x)=ax-(a>0,且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)>0,试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0在R上恒成立的k的取值范围;
(3)若f(1)=,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
|思维建模|
指数型函数的应用技巧
(1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解.
(2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质.
[即时训练]
3.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
4.[多选]已知函数f(x)=,则 (　　)
A.函数f(x)的定义域为R 　　　B.函数f(x)的值域为(0,2]
C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 　　　D.f()>f(4)
5.已知01成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.-2C.x<1 D.x<-2或x>1
第八节　指数函数
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.y=ax(a>0,且a≠1)
2.R　(0,+∞)　(0,1)　0　1　y>1　01
[典题细发掘]
1.选C　因为y=-2-x,即-y=2-x,所以函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称.
2.选D　由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)=.
3.选C　易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则bc>b.
4.解析:因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2.
答案:[2,+∞)
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)C
(1)因为函数y=f(x)=a+b图象过原点,所以a+b=0,得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a=-2,所以ab=-4.
(2)根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0,再由指数函数的图象及性质可知,g(x)=ax-b单调递增,可排除A、B;且与y轴交点为(0,1-b),又1>b>0,所以1-b∈(0,1),即交于y轴正半轴上,排除D.故选C.
[即时训练]
1.选ABC　由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确;作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则01,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误.
2.快审准解:f(x)=|ex-1|-b的零点问题可转化为y=|ex-1|与y=b图象的交点个数问题,画出相应图象即可得解.
解析:函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点,即y=|ex-1|与y=b的图象有1个交点,
作出y=|ex-1|与y=b的大致图象如图所示.由图可知实数b的取值集合是{0}∪[1,+∞).
答案:{0}∪[1,+∞)
题点二
[例2]　选D　法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D.
法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D.
[例3]　选A　∵>,
∴>,∴x3+x2>x2+x(a+1),即x3-4x2>x(a+1),∵x∈(1,4),∴x2-4x>a+1,当x=2时,x2-4x有最小值-4,∴a+1<-4 a<-5.
[例4]　解:(1)函数f(x)=ax-的定义域为R,f(-x)=a-x-=-ax=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)由f(1)>0,a>0,得a->0,则a>1,显然函数y=ax,y=-在R上单调递增,
因此函数f(x)是R上的增函数,不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0 f(k·3x)则k·3x<9x-4·3x+1 k<3x+-4, x∈R,3x>0,
于是3x+-4≥2-4=-2,当且仅当x=0时取等号,因此k<-2,所以k的取值范围是(-∞,-2).
(3)由f(1)=,得a-=,而a>0,解得a=2,则f(x)=2x-2-x,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=-2m(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,由(2)知,函数t=2x-2-x是R上的增函数,当x≥1时,t≥,y=t2-2mt+2.当m≤时,函数y=t2-2mt+2在上单调递增,当t=时,ymin=-3m+2=-2,解得m=,与m≤矛盾;
当m>,t=m时,ymin=2-m2=-2,则m=2.综上,m=2.
[即时训练]
3.选A　易知c===,又y=在定义域上单调递减,<1<,所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增,>>,则a=>>=b.综上a>b>c.
4.选ABD　令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).
f(x)的定义域为R,故A正确;
因为y=,u∈[-1,+∞)的值域为(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确;
因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2,+∞)上单调递增,
且y=在u∈[-1,+∞)上单调递减,
所以根据复合函数单调性法则,得函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,故C不正确;由于函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,则f()>f(4),故 D正确.
5.快审准解:解指数不等式,再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决.
选B　f(x)>1 >a0,因为0所以x2+2x<0,解得-21成立的一个充分不必要条件为-1第八节
指数函数
明确目标
1.了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题.
2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.指数函数的定义
一般地，函数___________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
y=ax(a>0，且a≠1)
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
续表
性质 定义域为____；值域为_________
图象过定点_______，即当x=___时，y=__
当x>0时，恒有______； 当x<0时，恒有_______ 当x>0时，恒有________；
当x<0时，恒有_____
在R上为增函数 在R上为减函数
R
(0，+∞)
(0，1)
0
1
y>1
00y>1
解题结论拓展
(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0(2)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
(3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
(4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0典题细发掘
1.(人A必修①P159T1(1))函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
解析：因为y=-2-x，即-y=2-x，所以函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称.
√
2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1，2)，那么这个函数也必定经过点 (　　)
A. B.
C.(1，2) D.
解析：由题意设f(x)=ax，则f(-1)=a-1=2，所以a=，f(x)=，故f(3)=.
√
3.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3，b=0.93.1，c=0.91.7，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.b解析：易得1.70.3>1，y=0.9x在定义域内是减函数，则bc>b.
4.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为__________.
解析：因为|x|≥0，所以3|x|≥1，所以f(x)≥2.
√
[2，+∞)
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(人A必修①P120T9改编)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab=(　　)
A.-1 B.-2
C.-4 D.-9
√
题点一　指数函数的图象及应用
解析：因为函数y=f(x)=a+b图象过原点，所以a+b=0，
得a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，
且不与该直线相交，所以b=2，则a=-2，
所以ab=-4.
(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的
图象如图所示，则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　)
√
解析：根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0，再由指数函数的图象及性质可知，g(x)=ax-b单调递增，可排除A、B；且与y轴交点为(0，1-b)，又1>b>0，所以1-b∈(0，1)，即交于y轴正半轴上，排除D.故选C.
应用指数函数图象的技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.
思维建模
1.[多选]已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为 (　　)
A.a=b B.0C.a即时训练
√
√
√
解析：由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象，如图所示，由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，故A正确；作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k，则01，则3a<3b<2b·3b=6b，故D错误.
2.若函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点，则实数b的取值集合是______________.
快审准解：f(x)=|ex-1|-b的零点问题可转化为y=|ex-1|与y=b图象的交点个数问题，画出相应图象即可得解.
{0}∪[1，+∞)
解析：函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点，
即y=|ex-1|与y=b的图象有1个交点，
作出y=|ex-1|与y=b的大致图象如图所示.
由图可知实数b的取值集合是{0}∪[1，+∞).
考法(一)　比较大小
[例2]　(2023·天津高考)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b 　　B.c>b>a
C.a>b>c 　　D.b>a>c
√
题点二　指数函数的性质及应用
解析：法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.
法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.
比较指数式大小的方法
(1)直接法：当指数式的底数相同时，直接运用指数函数的单调性比较.
(2)转化法：当指数式的底数不同时，利用幂的运算法则将底数统一.
(3)中间量法：当指数式的底数不同且不能化为同底时，可利用中间量“1”进行比较.
思维建模
考法(二)　解简单的指数方程或不等式
[例3]　若不等式>对任意的x∈(1，4)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-5) B.(-∞，-5]
C.[-1，+∞) D.(-∞，-1)
方法引入：化成同底数指数幂，然后参变分离，可得a的取值范围.
√
解析：∵>，
∴>，∴x3+x2>x2+x(a+1)，
即x3-4x2>x(a+1)，∵x∈(1，4)，
∴x2-4x>a+1，当x=2时，x2-4x有最小值-4，∴a+1<-4 a<-5.
解指数不等式的常用方法
(1)性质法：解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)隐含性质法：解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=ax的单调性求解.
(3)图象法：解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解.
思维建模
考法(三)　指数函数性质的综合应用
[例4]　已知函数f(x)=ax-(a>0，且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
解：函数f(x)=ax-的定义域为R，f(-x)=a-x-=-ax=-f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
(2)若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0在R上恒成立的k的取值范围；
解：由f(1)>0，a>0，得a->0，则a>1，显然函数y=ax，y=-在R上单调递增，
因此函数f(x)是R上的增函数，
不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0 f(k·3x)则k·3x<9x-4·3x+1 k<3x+-4， x∈R，3x>0，
于是3x+-4≥2-4=-2，
当且仅当x=0时取等号，因此k<-2，
所以k的取值范围是(-∞，-2).
(3)若f(1)=，g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)，且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m的值.
解：由f(1)=，得a-=，而a>0，解得a=2，则f(x)=2x-2-x，
g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=-2m(2x-2-x)+2，
令t=2x-2-x，由(2)知，函数t=2x-2-x是R上的增函数，当x≥1时，t≥，y=t2-2mt+2.当m≤时，函数y=t2-2mt+2在上单调递增，
当t=时，ymin=-3m+2=-2，
解得m=，与m≤矛盾；
当m>，t=m时，ymin=2-m2=-2，
则m=2.综上，m=2.
指数型函数的应用技巧
(1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解.
(2)对于函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)，一般要通过换元令ax=t，化为函数y=g(t)，再研究其各种性质.
思维建模
3.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
即时训练
√
解析：易知c===，
又y=在定义域上单调递减，<1<，
所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增，>>，
则a=>>=b.综上a>b>c.
4.[多选]已知函数f(x)=，则(　　)
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(0，2]
C.函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增
D.f()>f(4)
√
√
√
解析：令u=x2+4x+3=(x+2)2-1，则u∈[-1，+∞).f(x)的定义域为R，故A正确；因为y=，u∈[-1，+∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确；因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2，+∞)上单调递增，且y=在u∈[-1，+∞)上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，故C不正确；由于函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，则f()>f(4)，故 D正确.
5.已知01成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.-2C.x<1 D.x<-2或x>1
快审准解：解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决.
√
解析：f(x)>1 >a0，因为0所以x2+2x<0，解得-21成立的一个充分不必要条件为-1数智赋能：电子版随堂训练(指数函数的综合问题)，
根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0，a≠1)的图象恒过的定点是(　　)
A.(2，1) B.(2，2)
C.(1，1) D.(1，2)
解析：令x-2=0，得x=2，f(2)=2，故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.函数f(x)=的值域为(　　)
A.(0，1) B.(0，3)
C.(0，3] D.(3，+∞)
解析：由t=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1，+∞)，则y=∈(0，3]，
所以f(x)=的值域为(0，3].
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
3.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：由题图可知，函数f(x)为减函数，从而有0法一　由f(x)=ax-b的图象，知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x=0，得y=a-b，由0法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00，即b<0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
4.设函数f(x)=在区间(0，1)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-2] B.[-2，0)
C.(0，2] D.[2，+∞)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析：y=在R上单调递减，由复合函数单调性可知，t=x(x-a)=x2-ax=-在(0，1)上单调递减，则≥1，解得a≥2.
5.(2025·沈阳模拟)已知函数 f(x)=则不等式 f(2-x)
>f(x)的解集为(　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，1)
C.(-1，+∞) D.(1，+∞)
√
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13
解析：当x≥0时，y=21+x单调递增，当x<0时，y=-21-x单调递增，且在分界点处-21-0<21+0，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以f(2-x)>f(x) 2-x>x，解得x<1，所以不等式的解集为(-∞，1).
1
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13
6.已知函数f(x)=在区间(2，3)上单调递减，则正实数a的取值范围为(　　)
A.(0，1) B.
C. D.
√
1
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13
解析：根据题意，令t=，由正实数a知，函数t=单调递减，因为f(x)在区间(2，3)上单调递减，则f(x)=单调递增，且t= ≥0，所以解得01
5
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13
7.(2024·北京西城三模)已知函数f(x)=2x，若 x1，x2∈R，且x1A.f(x1)B.f<
C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
D. f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
√
1
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13
解析：由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，又x10，>0，所以=≥ ==f，又x1f，故B正确；f(x1x2)=，f(x1)+f(x2)=+， x1，x2∈R，x11
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二、多选题
8.以下关于数的大小的结论正确的是(　　)
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.50.4<0.82.6 D.>
√
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√
解析：对于A，因为指数函数y=1.7x在R上单调递增，且2.5<3，所以1.72.5<1.73，正确；对于B，因为指数函数y=0.8x在R上单调递减，且-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2，正确；对于C，因为1.50.4>1.50=1，0<0.82.6<0.80=1，所以1.50.4>0.82.6，错误；对于D，因为=，且=，所以<，错误.
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9.已知函数f(x)=，下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)的值域为(0，1)
C.不等式f(x)>的解集是(0，+∞)
D.f(x)是增函数
快审准解：根据f(0)=≠0即可判断A；根据e-x+1>1即可判断B；解不等式e-x<1即可判断C；根据函数y=1+e-x的单调性判断D.
√
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√
√
解析：因为函数f(x)的定义域为R，且f(0)=≠0，所以函数f(x)的图象不关于原点对称，故A错误；因为e-x+1>1，所以f(x)=∈(0，1)，故B正确；由f(x)=>，可得e-x<1，则-x<0，解得x>0，故C正确；对任意的x∈R，y=1+e-x>1，且函数y=1+e-x在R上单调递减，故函数f(x)是增函数，故D正确.故选BCD.
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三、填空题
10.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2，2]上的最大值和最小值的和为，则a的值为___________.
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或
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解析：当0(易错提醒：忽略对底数分类讨论)
函数f(x)=ax在[-2，2]上单调递减，则f(x)max+f(x)min=f(-2)+f(2)=
+a2=，解得a=；当a>1时，函数f(x)=ax在[-2，2]上单调递增，则f(x)max+f(x)min=f(2)+f(-2)=a2+=，解得a=.综上，a=或a=.
13
11.若函数f(x)=的图象与平行线y=m，y=n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m+n的取值范围是________.
解析：f(x)=的图象如图所示，不妨设m>n，因为f(x)=的图象与平行线y=m，y=n，m≠n
有且仅有三个交点，所以由图可知
m=1，0数m+n的取值范围是(1，2).
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(1，2)
12.(2025·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R，m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________.
解析：∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[-1，1]满足f(-x0)=-f(x0)，∴+m-1=--m+1，
∴2m=--+2，
构造函数y=--+2，x0∈[-1，1]，
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令t=，t∈，则y=--t+2=2-在上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴当t=1时，函数取得最大值0，当t=或t=3时，函数取得最小值-，∴y∈，
又∵m≠0，∴-≤2m<0，∴-≤m<0.
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四、解答题
13.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a，b的值；(4分)
解：因为定义域为R的函数f(x)=是奇函数，
所以f(0)==0，解得b=1，即f(x)=.
又由f(-1)=-f(1)，可得=-，解得a=1，所以f(x)=.
经检验a=1，b=1符合题意，所以a=1，b=1.
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(2)求该函数的值域.(6分)
解：由(1)知，f(x)==-1，可得函数f(x)为减函数.
又因为2x∈(0，+∞)，可得2x+1∈(1，+∞)，所以∈(0，2)，所以f(x)∈(-1，1)，
所以函数f(x)的值域为(-1，1).
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14.(10分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-k是奇函数.
(1)求实数k；(4分)
解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)=0，∴1-k=0，
则k=1，f(x)=2x-满足f(-x)=-f(x)，∴k=1成立.
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(2)若不等式f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立，求实数t的取值范围.(6分)
解：f(x)=2x-中，函数y=在R上单调递减，y=2x在R上单调递增，故f(x)=2x-在R上单调递增.原不等式化为f(x2+tx)>f(x-4)，∴x2+tx>x-4，即x2+(t-1)x+4>0恒成立，∴Δ=(t-1)2-16<0，解得 -313课时跟踪检测(十五)　指数函数
一、单选题
1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0,a≠1)的图象恒过的定点是 (　　)
A.(2,1) B.(2,2)
C.(1,1) D.(1,2)
2.函数f(x)=的值域为 (　　)
A.(0,1) B.(0,3)
C.(0,3] D.(3,+∞)
3.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.04.设函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
5.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
6.已知函数f(x)=在区间(2,3)上单调递减,则正实数a的取值范围为 (　　)
A.(0,1) B.
C. D.
7.(2024·北京西城三模)已知函数f(x)=2x,若 x1,x2∈R,且x1A.f(x1)C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D. f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
二、多选题
8.以下关于数的大小的结论正确的是 (　　)
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.50.4<0.82.6 D.>
9.已知函数f(x)=,下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的值域为(0,1)
C.不等式f(x)>的解集是(0,+∞) D.f(x)是增函数
三、填空题
10.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值和最小值的和为,则a的值为　　　　　.
11.若函数f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,则实数m+n的取值范围是　　　　.
12.(2025·宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是　　　　.
四、解答题
13.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;(4分)
(2)求该函数的值域.(6分)
14.(10分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-k是奇函数.
(1)求实数k;(4分)
(2)若不等式f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立,求实数t的取值范围.(6分)
课时跟踪检测(十五)
1.选B　令x-2=0,得x=2,f(2)=2,故选B.
2.选C　由t=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,+∞),则y=∈(0,3],所以f(x)=的值域为(0,3].
3.选D　由题图可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一　由f(x)=ax-b的图象,知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00,即b<0.
4.选D　y=在R上单调递减,由复合函数单调性可知,t=x(x-a)=x2-ax=-在(0,1)上单调递减,则≥1,解得a≥2.
5.选B　当x≥0时,y=21+x单调递增,当x<0时,y=-21-x单调递增,且在分界点处-21-0<21+0,所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以f(2-x)>f(x) 2-x>x,解得x<1,所以不等式的解集为(-∞,1).
6.选C　根据题意,令t=,由正实数a知,函数t=单调递减,因为f(x)在区间(2,3)上单调递减,则f(x)=单调递增,且t= ≥0,所以
解得07.选C　由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增,又x10,>0,所以=≥ ==f,又x1f,故B正确;f(x1x2)=,f(x1)+f(x2)=+, x1,x2∈R,x18.选AB　对于A,因为指数函数y=1.7x在R上单调递增,且2.5<3,所以1.72.5<1.73,正确;
对于B,因为指数函数y=0.8x在R上单调递减,且-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2,正确;
对于C,因为1.50.4>1.50=1,0<0.82.6<0.80=1,
所以1.50.4>0.82.6,错误;
对于D,因为=,且=,
所以<,错误.
9.快审准解:根据f(0)=≠0即可判断A;根据e-x+1>1即可判断B;解不等式e-x<1即可判断C;根据函数y=1+e-x的单调性判断D.
选BCD　因为函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,故A错误;因为e-x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),故B正确;由f(x)=>,可得e-x<1,则-x<0,解得x>0,故C正确;对任意的x∈R,y=1+e-x>1,且函数y=1+e-x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,故D正确.故选BCD.
10.解析:当01时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递增,则f(x)max+f(x)min=f(2)+f(-2)=a2+=,解得a=.综上,a=或a=.
答案:或
11.解析:
f(x)=的图象如图所示,不妨设m>n,因为f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,所以由图可知m=1,0所以1答案:(1,2)
12.解析:∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),∴+m-1=--m+1,∴2m=--+2,
构造函数y=--+2,x0∈[-1,1],
令t=,t∈,则y=--t+2=2-在上单调递增,在(1,3]上单调递减,∴当t=1时,函数取得最大值0,当t=或t=3时,函数取得最小值-,
∴y∈,又∵m≠0,∴-≤2m<0,∴-≤m<0.
答案:
13.解:(1)因为定义域为R的函数f(x)=是奇函数,
所以f(0)==0,解得b=1,即f(x)=.
又由f(-1)=-f(1),可得=-,解得a=1,
所以f(x)=.经检验a=1,b=1符合题意,所以a=1,b=1.
(2)由(1)知,f(x)==-1,可得函数f(x)为减函数.
又因为2x∈(0,+∞),可得2x+1∈(1,+∞),
所以∈(0,2),所以f(x)∈(-1,1),
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
14.解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴1-k=0,则k=1,f(x)=2x-满足f(-x)=-f(x),∴k=1成立.
(2)f(x)=2x-中,函数y=在R上单调递减,y=2x在R上单调递增,故f(x)=2x-在R上单调递增.原不等式化为f(x2+tx)>f(x-4),∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0恒成立,∴Δ=(t-1)2-16<0,解得-3

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