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第十一节
函数与方程
明确目标
1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理，并能简单应用.
2.能借用工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程的近似解具有一般性.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于一般函数y=f(x)，我们把使_______的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与_____有公共点 函数y=f(x)有_______.
f(x)=0
x轴
零点
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有___________，那么，函数y=f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程 f(x)=0的解.
f(a) f(b)<0
(a，b)
f(c)=0
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
3.二次函数图象与零点的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) ________ 无
零点个数 _____ _____ ____
(x1，0)
2
1
0
解题结论拓展
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根.
(2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
典题细发掘
1.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1，则实数a的值为(　　)
A.-2 B.-
C. D.2
解析：由题意知，f(1)=+a=0，解得a=- .
√
2.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点.
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64
√
3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数 f (x)=则函数 f (x)的零点为(　　)
A.2 B.-2，0
C. D.0
解析：当x≤1时，令f(x)=2x-1=0，解得x=0；当x>1时，令f(x)=1+log2x=0，解得x=(舍去).综上，函数f(x)的零点为0.
√
课堂·题点精研
02
[例1]　
(1)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在(1，6)内恰有3个零点
B.f(x)在(1，6)内至少有3个零点
C.f(x)在(1，6)内最多有3个零点
D.f(x)在(1，6)内不可能有4个零点
√
题点一　函数零点所在区间的判定
x 1 2 3 4 5 6
y 10 8 -3 2 -7 -9
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
∴根据函数零点存在定理可知，
在区间(2，3)，(3，4)及(4，5)内均至少含有一个零点，
故函数在区间(1，6)内的零点至少有3个，故选B.
(2)[多选]函数f(x)=2x2-4ln x-3，则 (　　)
A.f(x)在内有零点
B.f(x)在内有零点
C.f(x)在内有零点
D.f(x)在(e，e2)内有零点
√
√
解析：作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f=+4-3>0，f()=2e-2-3>0，f(1)=2-3<0，f(e)=2e2-4-3>0，f(e2)=2e4-8-3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点.
确定函数零点所在区间的方法
思维建模
利用函数 零点存在 定理 首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形 结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n，n+1)内，n∈Z，则n的值为　　　　.
解析：因为函数f(x)=x+2x定义域为R，且f(x)在R上单调递增，f(0)=1>0，f(-1)=-1+=-<0，即f(0)·f(-1)<0，由函数零点存在定理可得，f(x)的零点所在区间为(-1，0)，所以n=-1.
即时训练
-1
2.写出函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间：_________________.
解析：易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1，0)∪(0，+∞)，且函数在(0，+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0，f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0，由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(1，2)上有零点，又f(x)=ln(x+1)-在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上只有一个零点.
(1，2)(答案不唯一)
[例2]　已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：法一：直接法　由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时，ln x=3或ln x=-3，解得x=e3或x=e-3；当x≤0时，-2x(x+2)=3，无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B.
√
题点二　函数零点个数的判定
法二：图象法　作出函数f(x)的图象，如图所示，
函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数，作出直线y=3，由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点，故函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B.
函数零点个数的判定方法
(1)直接求零点.
(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数的图象，看其交点的个数有几个.
思维建模
3.已知函数f(x)=则当k>0时，函数y=f(x)的零点个数为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
即时训练
√
解析：当x>0时，由f(x)=0，可得ln x=0，解得x=1，符合题意；当x≤0时，由于k>0，由f(x)=0，可得kx+1=0，解得x=- <0，符合题意.因此，函数y=f(x)的零点个数为2.
4.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是　　　　.
解析：当x>0时，令2x-x2=0，解得x=2或x=4；根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x=-2或x=-4.又f(0)=0，所以f(x)在R上共有5个零点.
5
考法(一)　根据函数零点范围求参数范围
[例3]　(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，-5) B.(-5，-1)
C.(1，5) D.(5，+∞)
√
题点三　函数零点的应用
解析：由y1=log2x在(0，+∞)上单调递增，y2=x2+m在(0，+∞)上单调递增，得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，所以即解得-5考法(二)　根据函数零点个数求参数范围
[例4]　设c∈R，函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.{0}∪[1，+∞)
C. D.{0}∪
√
解析：画出函数g(x)=的图象如图所示，
函数f(x)=
可由g(x)=分段平移得到，
易知当c=0时，函数 f(x)恰有一个零点，
满足题意；
当c<0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点，不符合题意；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪.
由函数零点所在区间或个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，然后将
原问题转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解.
思维建模
5.(2025·自贡模拟)设函数f(x)=+x2-4x有唯一的零点，则实数m为(　　)
A.2 B.
C.3 D.
即时训练
√
解析：令t=x-2，则g(t)=(3t+3-t)+t2-4，因为g(-t)=(3-t+3t)+(-t)2-4=(3t+3-t)+t2-4=g(t)，所以函数g(t)是偶函数.因为函数f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点.则g(0)=0，即(1+1)+0-4=0，解得m=.
6.已知函数f(x)=若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是　 　　　.
解析：结合f(x)的图象，分情况讨论，
(-∞，-2)∪(0，2)
当m>0时，要使f(x)=b有三个不同的根，则
0 m<-2；当m=0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去.所以m的取值范围是(-∞，-2)∪(0，2).
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.函数f(x)=x+ln x-1的零点为(　　)
A.(1，0) B.1
C.e D.
解析：根据零点的定义，将x=1代入函数，则f(1)=1+ln 1-1=0即零点为1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.函数f(x)=12-2x-3x零点的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：因为f(x)=12-2x-3x在R上单调递减，f(2)=12-4-6=2，f(3)=12-8-9=-5，f(2)·f(3)<0，所以零点所在的区间是(2，3)，所以该函数只有一个零点.
√
1
5
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2
3
4
13
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则 a的取值范围是 (　　)
A.(0，3) B.[0，3]
C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞)
√
1
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2
3
4
13
解析：令f(x)=-x2+ax+4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，由二次函数的图象可知，即解得04.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　)
A. B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，5)
解析：易知f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln
-=>0，f(1)=ln 1-=-1<0，故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1，2).
√
1
5
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12
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2
3
4
13
5.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
√
1
5
6
7
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2
3
4
13
解析：当x≤0时，令2x+4-3=0，解得x=-4+log23；当x>0时，令2x2-7x+4-ln x=0，则2x2-7x+4=ln x，在同一平面直角坐标系中分别作出y=2x2-7x+4，y=ln x的大致图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，即函数f(x)有2个零点.综上所述，函数f(x)的零点个数为3.故选C.
1
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2
3
4
13
6.已知函数 f (x)=恰有2个零点，则 a的取值范围是(　　)
A.(2，+∞) B.[2，+∞)
C.(-∞，2) D.(-∞，2]
解析：当x≥1时，f (x)的零点为1，则x<1必有一个零点，y=2x-a为一次函数，单调递增，故需2-a>0，即a<2.故选C.
√
1
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4
13
7.若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点，则实数a= (　　)
A.2 B.
C.4 D.1
√
1
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13
解析：由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)
=f(x)，得f(4-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于x=2对称，要使函数f(x)
=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点，则f(2)=0，即4-8+2a=0，得a=2.
8.已知函数f(x)=方程f(x)=k有3个实数解，则k的取值范围是(　　)
A.(-4，-3] B.(-4，-3)
C.(-3，0) D.(0，+∞)
√
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
解析：f(x)的图象如图所示，因为方程f(x)=k有3个实数解，所以y=f(x)与y=k的图象有3个不同的交点，由图可知-41
5
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2
3
4
13
9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4等于 (　　)
A.-12 B.-6
C.-8 D.4
√
1
5
6
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9
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2
3
4
13
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，∵f(x-4)=-f(x)，∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数，∴由f(x-4)=-f(x)，得f(4-x)=f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称.再结合f(x)在区间[0，2]上单调递增，
作出函数大致图象，如图所示.
根据图象，可得x1+x2=-12，
x3+x4=4，∴x1+x2+x3+x4=-8，
故选C.
1
5
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4
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10.(2025·江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1，1]时，f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为(　　)
A.14 B.13
C.12 D.11
1
5
6
7
8
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√
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2
3
4
解析：易知函数y=f(x)的定义域为R，因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞，0)时，g(x)单调递增，且013
1
5
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7
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2
3
4
由h(x)=0得f(x)=g(x)，即函数h(x)在[-6，6]内的零点个数就是函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内的交点个数.观察图象知，函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内有12个交点②，所以函数h(x)在[-6，6]内有12个零点.故选C.
13
1
5
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2
3
4
习得方略：①处，要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数，也就是求函数f(x)，g(x)的图象在区间[-6，6]内的交点个数，因此，准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作：研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等)、确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等；
②处，函数g(x)是分段函数，作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点，这个一旦出错，会影响最终的答案.
13
二、多选题
11.已知函数f(x)在区间(0，3)上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内
D.函数f(x)在区间(0，3)上具有单调性
1
5
6
7
8
9
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2
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4
√
13
√
解析：函数f(x)在区间(0，3)上有且只有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，则在零点两侧函数值异号，由于f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则当f(3)<0时，有f(1)f(2)>0，若f(1)>0，f(2)
>0，则f(x)在(2，3)上必有1个零点，而在(0，1)及(1，2)上有无零点及零点个数不能确定，若f(1)<0，f(2)<0，则f(x)在(0，1)上必有1个零点，而在(1，2)及(2，3)上有无零点及零点个数不能确定，因此f(3)>
0，且f(1)f(2)<0，若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(0，1)和(1，2)内，A正确；
1
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2
3
4
13
若f(1)>0，f(2)<0，则f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(1，2)和(2，3)内，B正确；显然函数f(x)的两个零点不可能分别在(0，1)和(2，3)内，否则f(1)<0，f(2)<0，f(1)f(2)>0，矛盾，C错误；函数f(x)在(0，3)上不可能具有单调性，否则函数f(x)在(0，3)上最多只有1个零点，矛盾，D错误.
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13
12.下列函数在区间(-1，3)内存在唯一零点的是 (　　)
A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2
C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2)
1
5
6
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√
13
√
√
解析：∵x2-2x-8=0的解为x1=-2，x2=4，∴f(x)在区间(-1，3)内没有零点，故A错误；∵f(x)=(x+1-2在[-1，+∞)上为增函数，且f(-1)= -2<0，f(3)=8-2=6>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故B正确；∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数，且f(-1)=-<0，f(3)=3>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2，+∞)上为减函数，且f(-1)=1>0，f(3)=1-ln 5<0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故D正确.
1
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6
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3
4
13
三、填空题
13.函数f(x)=的零点是　　　　.
解析：由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3；当x<0时，由f(x)=x+7=0，得x=-7，故f(x)的零点是-7.
1
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3
4
14.定义开区间(a，b)的长度为b-a.经过估算，函数f(x)=-的零点属于开区间　　　　.（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）
13
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
解析：因为y=，y=-都是减函数，所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0，f =-<0，f =->0，
即f ·f <0，所以函数 f(x)在上有零点，且-=.
13
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
15.已知函数 f(x)=若关于x的方程 f(x)=a恰有三个实数根，则a的取值范围为　　　　.
13
(0，1]
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
解析：关于x的方程 f(x)=a恰有三个实数根等价于函数 y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3，y=f(x)的图象如图所示.
由图可知当013第十一节　函数与方程
1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理,并能简单应用.
2.能借用工具用二分法求方程的近似解,了解二分法求方程的近似解具有一般性.
教材再回首
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点 函数y=f(x)有　　　　.
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间　　　内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数图象与零点的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0)　 　　　 无
零点个数 　 　 　
解题结论拓展
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
(2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示,所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
典题细发掘
1.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为 (　　)
A.-2 B.-
C. D.2
2.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为 (　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64
A.2 B.3
C.4 D.5
3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　　)
A.2 B.-2,0
C. D.0
题点一　函数零点所在区间的判定
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
[例1]
(1)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表,则下列结论正确的是 (　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 10 8 -3 2 -7 -9
A.f(x)在(1,6)内恰有3个零点 B.f(x)在(1,6)内至少有3个零点
C.f(x)在(1,6)内最多有3个零点 D.f(x)在(1,6)内不可能有4个零点
(2)[多选]函数f(x)=2x2-4ln x-3,则 (　　)
A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点
C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点
|思维建模|　
确定函数零点所在区间的方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点;
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[即时训练]
1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n,n+1)内,n∈Z,则n的值为　 　　.
2.写出函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间:　　　　　　.
题点二　函数零点个数的判定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
|思维建模|　
函数零点个数的判定方法
(1)直接求零点.
(2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画两个函数的图象,看其交点的个数有几个.
[即时训练]
3.已知函数f(x)=则当k>0时,函数y=f(x)的零点个数为 (　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
4.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-x2,则函数f(x)在R上的零点的个数是　　　　.
题点三　函数零点的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　根据函数零点范围求参数范围
[例3]　(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-5) B.(-5,-1)
C.(1,5) D.(5,+∞)
考法(二)　根据函数零点个数求参数范围
[例4]　设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)
C. D.{0}∪
|思维建模|　由函数零点所在区间或个数求参数的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解.
[即时训练]
5.(2025·自贡模拟)设函数f(x)=+x2-4x有唯一的零点,则实数m为 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
6.已知函数f(x)=若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m的取值范围是　　　　.
　
第十一节　函数与方程
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)f(x)=0　(2)x轴　零点　(3)f(a)f(b)<0　(a,b)　f(c)=0
2.f(a)f(b)<0　3.(x1,0)　2　1　0
[典题细发掘]
1.选B　由题意知,f(1)=+a=0,解得a=-.
2.选B　由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
3.选D　当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数f(x)的零点为0.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)AC
(1)依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,
∴根据函数零点存在定理可知,在区间(2,3),(3,4)及(4,5)内均至少含有一个零点,
故函数在区间(1,6)内的零点至少有3个,故选B.
(2)作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象,如图所示,由图象可知,f(x)最多有两个零点,因为f=+4-3>0,f()=2e-2-3>0,f(1)=2-3<0,f(e)=2e2-4-3>0,f(e2)=2e4-8-3>0,所以ff(1)<0,f(1)f()<0,由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点,在(1, )内有零点.
[即时训练]
1.解析:因为函数f(x)=x+2x定义域为R,且f(x)在R上单调递增,f(0)=1>0,f(-1)=-1+=-<0,即f(0)·f(-1)<0,由函数零点存在定理可得,f(x)的零点所在区间为(-1,0),所以n=-1.
答案:-1
2.解析:易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),且函数在(0,+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0,f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0,由函数零点存在定理可知,f(x)在区间(1,2)上有零点,又f(x)=ln(x+1)-在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
答案:(1,2)(答案不唯一)
题点二
[例2]　选B　法一:直接法　由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3;当x≤0时,-2x(x+2)=3,无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2,故选B.
法二:图象法　作出函数f(x)的图象,如图所示,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2,故选B.
[即时训练]
3.选D　当x>0时,由f(x)=0,可得ln x=0,解得x=1,符合题意;当x≤0时,由于k>0,由f(x)=0,可得kx+1=0,解得x=-<0,符合题意.因此,函数y=f(x)的零点个数为2.
4.解析:当x>0时,令2x-x2=0,解得x=2或x=4;根据奇函数的对称性,当x<0时,f(x)的零点是x=-2或x=-4.又f(0)=0,所以f(x)在R上共有5个零点.
答案:5
题点三
[例3]　选B　由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,所以即
解得-5[例4]　选D　画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,函数有两个零点,不符合题意;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪.
[即时训练]
5.选B　令t=x-2,则g(t)=(3t+3-t)+t2-4,因为g(-t)=(3-t+3t)+(-t)2-4=(3t+3-t)+t2-4=g(t),所以函数g(t)是偶函数.因为函数f(x)有唯一的零点,所以函数g(t)有唯一的零点.则g(0)=0,即(1+1)+0-4=0,解得m=.
6.解析:结合f(x)的图象,分情况讨论,当m>0时,要使f(x)=b有三个不同的根,则 0答案:(-∞,-2)∪(0,2)课时跟踪检测(十八)　函数与方程
一、单选题
1.函数f(x)=x+ln x-1的零点为 (　　)
A.(1,0) B.1
C.e D.
2.函数f(x)=12-2x-3x零点的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则 a的取值范围是 (　　)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
4.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是 (　　)
A. B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,5)
5.函数f(x)=的零点个数为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知函数f(x)=恰有2个零点,则a的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
7.若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点,则实数a= (　　)
A.2 B.
C.4 D.1
8.已知函数f(x)=方程f(x)=k有3个实数解,则k的取值范围是 (　　)
A.(-4,-3] B.(-4,-3)
C.(-3,0) D.(0,+∞)
9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4等于 (　　)
A.-12 B.-6
C.-8 D.4
10.(2025·江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为 (　　)
A.14 B.13
C.12 D.11
二、多选题
11.已知函数f(x)在区间(0,3)上有且仅有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是 (　　)
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)在区间(0,3)上具有单调性
12.下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是 (　　)
A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2
C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2)
三、填空题
13.函数f(x)=的零点是　　　　.
14.定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估算,函数f(x)=-的零点属于开区间　　　　.
15.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根,则a的取值范围为　　　　.
课时跟踪检测(十八)
1.选B　根据零点的定义,将x=1代入函数,则f(1)=1+ln 1-1=0即零点为1.
2.选B　因为f(x)=12-2x-3x在R上单调递减,f(2)=12-4-6=2,f(3)=12-8-9=-5,f(2)·f(3)<0,所以零点所在的区间是(2,3),所以该函数只有一个零点.
3.选A　令f(x)=-x2+ax+4,则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,即解得04.选B　易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln -=>0,f(1)=ln 1-=-1<0,
故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1,2).
5.选C　当x≤0时,令2x+4-3=0,解得x=-4+log23;当x>0时,令2x2-7x+4-ln x=0,则2x2-7x+4=ln x,
在同一平面直角坐标系中分别作出y=2x2-7x+4,y=ln x的大致图象如图所示,观察可知,它们有2个交点,即函数f(x)有2个零点.综上所述,函数f(x)的零点个数为3.故选C.
6.选C　当x≥1时,f(x)的零点为1,则x<1必有一个零点,y=2x-a为一次函数,单调递增,故需2-a>0,即a<2.故选C.
7.选A　由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)=f(x),得f(4-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于x=2对称,要使函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点,则f(2)=0,即4-8+2a=0,得a=2.
8.选A　f(x)的图象如图所示,因为方程f(x)=k有3个实数解,所以y=f(x)与y=k的图象有3个不同的交点,由图可知-49.选C　由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)关于直线x=2对称.再结合f(x)在区间[0,2]上单调递增,作出函数大致图象,如图所示.
根据图象,可得x1+x2=-12,x3+x4=4,
∴x1+x2+x3+x4=-8,故选C.
10.选C　易知函数y=f(x)的定义域为R,因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递增,且0由h(x)=0得f(x)=g(x),即函数h(x)在[-6,6]内的零点个数就是函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内的交点个数.观察图象知,函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内有12个交点②,所以函数h(x)在[-6,6]内有12个零点.故选C.
习得方略:①处,要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数,也就是求函数f(x),g(x)的图象在区间[-6,6]内的交点个数,因此,准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作:研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等)、确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等;
②处,函数g(x)是分段函数,作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点,这个一旦出错,会影响最终的答案.
11.选AB　函数f(x)在区间(0,3)上有且只有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,则在零点两侧函数值异号,由于f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则当f(3)<0时,有f(1)f(2)>0,若f(1)>0,f(2)>0,则f(x)在(2,3)上必有1个零点,而在(0,1)及(1,2)上有无零点及零点个数不能确定,若f(1)<0,f(2)<0,则f(x)在(0,1)上必有1个零点,而在(1,2)及(2,3)上有无零点及零点个数不能确定,因此f(3)>0,且f(1)f(2)<0,若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,函数f(x)的两个零点分别在(0,1)和(1,2)内,A正确;若f(1)>0,f(2)<0,则f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,函数f(x)的两个零点分别在(1,2)和(2,3)内,B正确;显然函数f(x)的两个零点不可能分别在(0,1)和(2,3)内,否则f(1)<0,f(2)<0,f(1)f(2)>0,矛盾,C错误;函数f(x)在(0,3)上不可能具有单调性,否则函数f(x)在(0,3)上最多只有1个零点,矛盾,D错误.
12.选BCD　∵x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,∴f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误;∵f(x)=(x+1-2在[-1,+∞)上为增函数,且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2=6>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确;∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数,且f(-1)=-<0,f(3)=3>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确;∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确.
13.解析:由已知可得,当x≥0时,f(x)≥3;当x<0时,由f(x)=x+7=0,得x=-7,故f(x)的零点是-7.
答案:-7
14.解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0,f=-<0,f=->0,即f·f<0,所以函数f(x)在上有零点,且-=.
答案:
15.解析:关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根等价于函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3,y=f(x)的图象如图所示.由图可知当0答案:(0,1]

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