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2024-2025 学年甘肃省多校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点 ( 3,8, 5)关于平面 对称的点的坐标是( )
A. (3, 8, 5) B. ( 3,8,5) C. (3,8,5) D. ( 3, 8,5)
2 ( ) = 4 3 lim 1 2 1.已知函数 ，则 =( )
→0
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.已知直线 的方向向量为 = (1, 3,4)，平面 的一个法向量为 = ( , 2,1)，若直线 //平面 ，则 =( )
A. 7 B. 3 C. 1 D. 2
4.对任意的 ∈ , ′( ) = e , (0) = 1，则 ( ) =( )
A. e B. e 2 C. e 1 D. e2 2
5.下图是函数 ( )的导函数 ′( )的图象，则函数 = ( )的图象可能为( )
A. B.
C. D.
6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占 80％，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占 60％，若从这个班
级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为( )
A. 22.5％ B. 30％ C. 40％ D. 75％
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7.在函数 ( ) = 6 2的图象与 轴围成的封闭图形内作一内接矩形 ，则可作矩形的最大面积为( )
A. 6 3 B. 12 3 C. 6 + 2 3 D. 27
8.在空间中，若向量 = (1, 1, 2)， = (1,2,3)， = (3,3, )共面，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购
买 80 元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为 0.4，顾客小张中奖的概率为 0.2，
则( )
A.小王和小张都中奖的概率为 0.08
B.小王和小张都没有中奖的概率为 0.46
C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为 0.44
D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为 0.92
10.下列函数在定义域内不是单调函数的是( )
A. ( ) = B. ( ) = ln C. ( ) = D. ( ) = cos 2
11.已知 1 1 1 1是棱长为 的正方体， 1 与 1相交于点 ，则下列结论正确的是( )
A. 1 1 = 2 B. 1 = 2 2
C. 1 = 2 D. =
1 22
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2,5), = (2, , 1)，且 = 2，则 = ．
13.已知 ( ) = 3 2 , ∈ R，则不等式 (2 ) > ( + 2)的解集是 ．
14.有 3 台车床加工同一类型的零件，第 1 台加工的次品率为 4%，第 2，3 台加工的次品率均为 5%，加工
出来的零件混放在一起，已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 20%，30%，50%，现从加工
出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第 2 台车床加工的概率为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = 3 2 + , ∈ 的图象过点 1,0 ，且 ′ 2 = 4．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，底面 是平行四边形， = = = 1 = 2．
(1)求直线 1与平面 1所成角的正弦值；
(2)求点 1到平面 1的距离．
17.(本小题 15 分)
3
已知函数 ( ) = 3 22 + (0 < ≤ 1)
3
在区间[ 1,2]上的值域为 2 , 3 ．
(1)求实数 、 的值；
(2)若函数 ( ) = ( ) 有且仅有两个极值点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ , ⊥ ，平面 ⊥平面 ，二面角 为45 ，已知 =
4 3, = 2 3．
(1)求 的长；
(2)求锐二面角 的余弦值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ln + 2．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )有两个零点 1， 2，且 1 < 2，曲线 = ( )在这两个零点处的切线的交点的横坐标为 ，
证明： < ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.52/2.5
13.( ∞,2)
14. 516
15.解：(1)因为函数 = 3 2 + 的图象过点 1,0 ，
所以 1 + = 0 ①．
又 ′ = 3 2 2 ， ′ 2 = 4 ，
所以 ′ 2 = 3 × 22 2 × 2 = 12 4 = 4 ②，
由①②解得： = 2 ， = 3 ．
(2)由(1)知 = 3 2 2 + 3 ， ′ = 3 2 4
又因为 1 = 2 ， ′ 1 = 3 4 = 1，
所以曲线 = 在 1, 1 处的切线方程为 2 = 1 ，
即 + 3 = 0 ．
16.解：(1)连接 ， 相交于点 ，连接 1 1， 1 1相交于点 1，
由 = = = 2，可得 为等边三角形，
又由 为 的中点，可得 ⊥ ， = 3， = = 1，
因为 = ， 1 1 = 1 1，
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所以 1/\ !/ 1，
又因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥平面 ，
由上知 ， ， 1两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 1分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
有 (0,0,0)， 3, 0,0 ， 3, 0,0 ， (0,1,0)， (0, 1,0)， 1(0, 1,2)， 1(0,1,2)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
由 = 3, 0,0 ， 1 = (0, 1,2)，
= 3 = 0
有 1
,
= + 2 = 0
取 = 0， = 2， = 1，可得平面 1的一个法向量为 = (0,2,1)，
(1)由 1 = (0, 2,2)，
有 1 = 4+ 2 = 2， 1 = 2 2， = 5，
有 cos < 1, > =
2 10
2 2× 5 = 10 ，
10故直线 1与平面 1所成角的正弦值为 10 ；
(2)由 1 1 = (0,2,0)，有 1 1 = 4，
1 1 = = 4 4 5可得点 1到平面 1的距离为 5 = 5 ．
17.解：(1) ( ) = 3 2 3 = 3 ( )，
令 ( ) > 0 可得 > 或 < 0，可得函数 ( )的增区间为( ∞,0)，( , + ∞)，减区间为(0, )
可得函数 ( )在[ 1,0)上单调递增，在[0, )上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
由 (0) = ， (2) = 8 6 + ， ( ) = 1 3 32 ， ( 1) = 2 1，
又由 (2) (0) = 8 6 > 0，可得 (2) = 3，可得 8 6 + = 3，有 6 + 5 = 0，①
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3
又由 ( ) ( 1) = 2 + 1
1 32 = 1 +
1 2
2 (3 ) > 0，
可得 ( 1) = 3 3 32，有 2 1 = 2，
可化为 3 + 12 2 = 0 ②，
解方程①②可得 = 1， = 1，
故实数 ， 的值都为 1．
(2)由(1)得 ( ) = 3 3 2 22 + 1，有 ( ) = 3 3
若函数 ( ) = ( ) 有且仅有两个极值点，
必有 = 9 + 12 > 0，可得 > 34．
18.解：(1)如图，作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
因为平面 ⊥平面 , ⊥ ，
平面 ∩平面 = ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ , ∩ = ，且 , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
即∠ = 45 ，
因为 = 4 3, = 2 3, ⊥ ，
所以∠ = 60 ，所以∠ = 30 ，
即 = 4，
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所以 = 2 = 4 2；
(2)如图，以 为原点， , 所在直线为 , 轴，过 作 垂直于平面 ，建立空间直角坐标系，
则 4 3, 0,0 , 3, 3,0 , (0,4,4)，
所以 = 4 3, 0,0 , = 3, 3,0 , = (0,4,4)，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
= 4 3 1 = 0,则
= 4 1 + 4 1 = 0,
取 1 = 1，则 1 = 0, 1 = 1，
所以 = (0, 1,1)为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
= 3 2 + 3 2 = 0,则
= 4 2 + 4 2 = 0,
取 2 = 3，则 2 = 1, 2 = 1，
所以 = 3, 1,1 为平面 的一个法向量，
设锐二面角 为 ，
cos = 所以 =
|1+1| 10
1+1 3+1+1 = 5 ．
19. (1) ( ) = 解： 函数 + ln + 2，定义域为(0, + ∞)
′( ) = 1 2 =

2 ，
①当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，此时函数 ( )单调递增，增区间为(0, + ∞)，没有减区间；
②当 > 0，令 ′( ) < 0，解得 0 < < ， ′( ) > 0，解得 > ，此时函数 ( )的减区间为(0, )，增区
间( , + ∞)；
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ln
2
(2)令 = 2
1 2
( > 1)，由 1 = 2 = 0

，有 + ln 1 + 2 =

+ ln 2 + 2

，可得 = 1，
1 1 2 2 1
曲线 = ( )在 = 1处的切线方程为 =
1
2
1 ，
1
= ( ) = = 2 曲线 在 2处的切线方程为 2 ， 22

联立两条切线方程，消去 ，有 1 2 =
2
1 2
2 ，
1 2
1 1 = 1 有 1 21 1
1 ，
2 22 2
1 1 + 1 1 1 1有 2 1 2
2 = ，1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
有 1 + = ，2 1 2 1 1 2
1 1 1 1有 + 1 = ，即 + 1 = ，2 1 2 1
2
1 2ln
可得 =
1
+
1
1，代入 =
1
2 1 2
，
1
1 2ln
2 2
= 1 1 + 1
1+ 2 ln
1 = 1 1 = ( +1)ln 有 2
1，
1 2 1 2 1 1
要证 < ( +1)ln 2( 1)，即证 > 1，只需证 1 1 > 1，即证 ln +1 > 0，
2
令 ( ) = ln 2( 1) +1 ( > 1)，有
′( ) = 1 4 ( 1) ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
可知函数 ( )单调递增，由 (1) = 0，可知 > 1，ln 2( 1) +1 > 0，
故 < ．
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