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第十二节　函数模型及其应用
1.在实际情境中,会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
教材再回首
1.几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
“对勾”函数模型 f(x)=x+(a>0)
2.三种函数模型的性质
性质 函数
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞)上的单调性 单调　　 单调　　 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象 的变化 随x的增大,逐渐表现为与　　　平行 随x的增大,逐渐表现为与　　　平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax典题细发掘
1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是 (　　)
A.40万元 B.60万元
C.80万元 D.120万元
2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k= (　　)
A.ln 2 B.ln 3
C. D.
3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是 (　　)
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
题点一　图表型函数的实际应用问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　某工厂近6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 (　　)
|思维建模|
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的2种方法
(1)构造函数模型法:当根据题意易构造函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
[即时训练]
1.函数f(x)的数据如下表,则该函数的解析式可能形如 (　　)
x -2 -1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b
C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b
题点二　已知函数模型解决实际问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位:千米/秒),质量为m(t)(单位:千克),满足v(t)=v0+uln(u为常数),v0,m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克,其中包含燃料质量为500千克,初始速度为v0=0,经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒,此时火箭质量m(t1)=800千克,当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69,ln 5≈1.61) (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
|思维建模|　已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[即时训练]
2.(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:ω/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140 dB,若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍,则一般说话时声音的等级约为 (　　)
A.120 dB B.100 dB
C.80 dB D.60 dB
3.(2025·苏州一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (　　)
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
题点三　构造函数模型解决实际问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　绿色、环保是新时代健康生活的理念.某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的 如果能,请说明理由;如果不能,最多可净化多长时间 (精确到0.1小时)
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案.(每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计)
(参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53)
快审准解:(1)利用条件构造函数模型,结合指数与对数的转化、计算、解不等式即可;
(2)设第一次投放n瓶,利用条件建立不等式组,利用指数的近似值解不等式组即可.
|思维建模|　构造函数模型解决实际问题的步骤
建模 抽象出实际问题的数学模型
推理、 演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解
评价、 解释 对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解
[即时训练]
4.某大学毕业生团队主动创业,计划销售轻食,每个月的店租和水电等成本为2万元,且每销售1份轻食,成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为x(x∈N*)万份,该团队每个月保底能够销售5 000份轻食,且当0.5≤x≤4时,月销售收入为万元;当x>4时,月销售收入为万元.
(1)求该团队的月销售利润f(x)(万元)与月销售量x(万份)之间的函数解析式;
(2)当月销售量为何值时,该团队的月销售利润最小 最小利润为多少万元
第十二节　函数模型及其应用
课前·“四基”落实
[教材再回首]
2.递增　递增　y轴　x轴
[典题细发掘]
1.选D　当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获最大利润为40+80=120(万元).
2.选C　由题意可得,当t=0时,S=a=7,因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=.
3.选B　在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选A　∵前3年年产量的增长速度越来越快,∴当0≤t≤3时,总产量增长速度越来越快,图象上升的速度越来越快.又后3年年产量的增长速度保持不变,∴当3[即时训练]
1.选A　由函数f(x)的数据可知,f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),偶函数满足此性质,可排除B、D;当x>0时,由函数f(x)的数据可知,函数f(x)增长越来越快,可排除C.故选A.
题点二
[例2]　选C　由题意得2=uln=uln,设火箭耗尽燃料时速度为v,则v=uln=uln 2,两式相除得v=2×=≈=6.
[即时训练]
2.选D　设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1,x2,由题意可得f(x1)=10×lg=140,解得x1=102.
因为==108,所以x2=10-6,故f(10-6)=10×lg=60,所以一般说话时声音的等级约为60 dB.
3.快审准解:根据已知的公式,由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
选B　设火星的公转周期为T1,长半轴长为a1,水星的公转周期为T2,长半轴长为a2,则T1=8T2,且
得==8,所以=4,即a1=4a2.
题点三
[例3]　解:(1)假设一次性投放9瓶,可持续净化x小时,
则9a·(1-10%)x≥3a(x≥0),所以0.9x≥,
两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ,
所以x≤≈10.4,因为10.4<12,
所以不能达到净化的目的,最多可净化10.4小时.
(2)设第一次投放n瓶,第二次投放9-n瓶,n∈N*且n<9,
依据题意,得
由第一个不等式可得,n≥≈5.7,
由第二个不等式可得,n≤≈7.1,
所以5.7≤n≤7.1;又因为n∈N*,所以n可取6或7.
所以可能的投放方案为第一次投放6瓶,第二次投放3瓶或在第一次投放7瓶,第二次投放2瓶.
[即时训练]
4.解:(1)由题意,当0.5≤x≤4时,f(x)=x++-5x-2=x++,当x>4时,f(x)=log3(18x+9)+x-5x-2=log3(18x+9)+x-2.
∴f(x)=
(2)当0.5≤x≤4时,f(x)=x++=++≥2+=,
当且仅当=,即x=1时取等,当x>4时,f(x)=log3(18x+9)+x-2>log3(18×4+9)+×4-2=4>,
因此,当月销售量为1万份时,该团队的月销售利润最小,为万元.(共61张PPT)
第十二节
函数模型及其应用
明确目标
1.在实际情境中，会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
2.三种函数模型的性质
性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0，+∞)上的单调性 单调______ 单调_____ 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与_____平行 随x的增大，逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax递增
y轴
x轴
典题细发掘
1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即
成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所
有商品，那么他将获得的最大利润是 (　　)
A.40万元 B.60万元
C.80万元 D.120万元
√
解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120+40)÷4
=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元).故该商人共获最大利润为40+80=120(万元).
2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k= (　　)
A.ln 2 B.ln 3
C. D.
√
解析：由题意可得，当t=0时，S=a=7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5=7e-5k，解得k=.
3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是 (　　)
A.f(x)>g(x)>h(x) 　B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) 　D.f(x)>h(x)>g(x)
解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，+∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).
√
课堂·题点精研
02
[例1]　某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 (　　)
题点一　图表型函数的实际应用问题
√
解析：∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，总产量增长速度越来越快，图象上升的速度越来越快.又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当3判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的2 种方法
(1)构造函数模型法：当根据题意易构造函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
思维建模
1.函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如 (　　)
A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b
C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b
即时训练
x -2 -1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
√
解析：由函数f(x)的数据可知，f(-2)=f(2)，f(-1)=f(1)，偶函数满足此性质，可排除B、D；当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A.
[例2]　(2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位：千米/秒)，质量为m(t)(单位：千克)，满足v(t)=v0+uln(u为常数)，v0，m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为v0=0，经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒，此时火箭质量m(t1)=800千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
题点二　已知函数模型解决实际问题
√
解析：由题意得2=uln=uln，
设火箭耗尽燃料时速度为v，
则v=uln=uln 2，
两式相除得v=2×=≈=6.
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
思维建模
2.(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：ω/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB，若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　)
A.120 dB 　B.100 dB 　
C.80 dB 　D.60 dB
即时训练
√
解析：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)=10×lg=140，解得x1=102.
因为==108，所以x2=10-6，故f(10-6)=10×lg=60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB.
3.(2025·苏州一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=·，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(　　)
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
快审准解：根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
√
解析：设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，长半轴长为a2，则T1=8T2，且
得==8，所以=4，即a1=4a2.
[例3]　绿色、环保是新时代健康生活的理念.某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.
题点三　构造函数模型解决实际问题
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的 如果能，请说明理由；如果不能，最多可净化多长时间 (精确到0.1小时)
快审准解：利用条件构造函数模型，结合指数与对数的转化、计算、解不等式即可.
解：假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时，则9a·(1-10%)x≥3a(x≥0)，所以0.9x≥，两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ，所以x≤≈10.4，因为10.4<12，所以不能达到净化的目的，最多可净化10.4小时.
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案.(每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计)
(参考数据：lg 3≈0.477，0.96≈0.53)
快审准解：设第一次投放n瓶，利用条件建立不等式组，利用指数的近似值解不等式组即可.
解：设第一次投放n瓶，第二次投放9-n瓶，n∈N*且n<9，
依据题意，得
由第一个不等式可得，n≥≈5.7，由第二个不等式可得，n≤≈7.1，所以5.7≤n≤7.1；又因为n∈N*，所以n可取6或7.
所以可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.
构造函数模型解决实际问题的步骤
思维建模
建模 抽象出实际问题的数学模型
推理、 演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解
评价、 解释 对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解
4.某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为x(x∈N*)万份，该团队每个月保底能够销售5 000份轻食，且当0.5≤x≤4时，月销售收入为万元；当x>4时，月销售收入为万元.
即时训练
(1)求该团队的月销售利润f(x)(万元)与月销售量x(万份)之间的函数解析式；
解：由题意，当0.5≤x≤4时，f(x)=x++-5x-2=x++，
当x>4时，f(x)=log3(18x+9)+x-5x-2=log3(18x+9)+x-2.
∴f(x)=
(2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小 最小利润为多少万元
解：当0.5≤x≤4时，f(x)=x++=++≥
2+=，当且仅当=，即x=1时取等，当x>4时，f(x)=log3(18x+9)+x-2>log3(18×4+9)+×4-2=4>，因此，当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表：
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是 (　　)
A.v=log2t B.v=lot
C.v= D.v=2t-2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18
v 1.5 4.02 7.5 12 18.3
解析：从题表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快.A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意；C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.
1
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6
7
8
9
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11
2
3
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√
1
5
6
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2
3
4
2.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　)
解析：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A、D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
3.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足n≤log2.一张长边长为26 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸最多能对折的次数为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
解析：由题意得n≤log2=log22 600.
因为11所以故n≤7.故选B.
1
5
6
7
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11
2
3
4
4.(2025·重庆模拟)遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系：y=1-0.6x0.06，则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A.80小时 B.90小时
C.100小时 D.120小时
√
1
5
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11
2
3
4
解析：根据题意得=1-0.6x0.06，整理得=x0.06，两边取以10为底的对数，得lg=0.06lg x，即2lg 2-lg 3=0.06lg x.又lg 2≈
0.30，lg 3≈0.48，所以lg x≈=2=lg 100，得到x≈100.
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈
1.995 6，lg 2≈0.301 0) (　　)
A.85 B.100
C.150 D.225
√
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解析：令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，则n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n，(1-1%)n，依题意可得=20，即=20，两边取对数得nlg =lg 20，因此n=≈
≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
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二、多选题
6.(2025·郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的，pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
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A.若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升
B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6
C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6
D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用
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√
√
√
解析：若苏打水的pH是8，则pH=-lg[H+]=8，所以[H+]=10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，所以A正确；若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)
=1+2lg 2≈1.6，所以B正确；若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6摩尔/升，因此pH=-lg 10-8.6=8.6，即海水的pH是8.6，所以C正确；若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH=-lg(4×10-7)=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2≈6.4.而6.4不在6.5~8.5范围内，即该种水不适合饮用，所以D错误.故选ABC.
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7.(2025·长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
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A.t=12.43log 2
B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16
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解析：由题意N=N0·，得=，两边同时取对数得log2=-，故得t=-12.43log2，故A错误；当t=24.86时，N=N0·
=2-2·N0=N0，故B错误；当t=62.15时，N=N0·=2-5·N0
=N0，故经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；
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由题意得0.4N0=N0·，化简得x=-12.43log2=
-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=
-12.43=-12.43，
将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈-12.43
≈16.44>16，故D正确.
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三、填空题
8.一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖　　　　只小船.
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解析：设每日每次拖x只小船，每天往返y次，每只小船的载重量为M，每天的运货总重量为G，由题意设y=kx+b，则解得所以y=-2x+24.所以每天运货总重量为G=Mxy=Mx(-2x
+24)=-2M(x-6)2+72M，所以当x=6，y=12时，G取得最大值72M，即每次拖6只小船，可使得每天运货总量最大.
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9.(2025·梅州模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2%的杂质，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，现要进行过滤.已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为　　　　.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3
≈0.477)
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解析：设至少需要过滤n次，则0.02×≤0.001，即≤，两边取对数，可得nlg≤lg，所以n≥=≈7.4.又因为n∈N*，所以n≥8，所以要使产品达到市场要求，对该溶液过滤次数最少为8次.
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四、解答题
10.(10分)近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系：Q(v)=(01
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(1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围；(6分)
解：电动自行车流量不少于10千辆/小时，即Q(v)=≥10，
化简可得v2-58v+400≤0，解得8≤v≤50.
又因为最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，
v的取值范围应为[8，25].
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(2)当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量(精确到0.1).(4分)
解：Q(v)==，由基本不等式可得v+≥2=
2=40，当且仅当v=，即v=20时取等号.此时电动自行车流量有最大值，最大值为Q(v)==≈14.3，故当平均速度为20千米/小时时，电动自行车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时.
11.(10分)某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1 000万元，每生产x台，需另投入生产成本R(x)万元.当年产量不足25台时，R(x)=3x2+kx；当年产量不小于25台时，R(x)=202x+-1 330，且当年产量为10台时需另投入成本1 100万元.若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求k的值；(3分)
解：将x=10，R(x)=1 100代入R(x)=3x2+kx，得3×100+10k=
1 100 k=80.
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(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(利润=销售额-成本)；(3分)
解：由题意可得，当0≤x<25时，W(x)=200x-3x2-80x-1 000，
当x≥25时，W(x)=200x-202x-+1 330-1 000，
所以年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为W(x)=
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(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大 并求出最大利润.(4分)
解：由(2)得，当0≤x<25时，W(x)=-3x2+120x-1 000
=-3(x-20)2+200，当x=20(台)时，W(x)max=200(万元).
当x≥25时，W(x)=-2x-+330=-2+350
≤-2×2+350=190，
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当且仅当x+10=，
即x=30时等号成立，
故W(x)max=190(万元)，
而200>190，故年产量为20台时，
该企业所获利润最大，最大利润是200万元.
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4课时跟踪检测(十九)　函数模型及其应用
一、单选题
1.现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如表:
t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18
v 1.5 4.02 7.5 12 18.3
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是 (　　)
A.v=log2t B.v=lot
C.v= D.v=2t-2
2.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　)
3.某校学生在研究折纸试验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足n≤log2.一张长边长为26 cm,厚度为0.01 cm的矩形纸最多能对折的次数为 (　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(2025·重庆模拟)遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现,描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”,得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系:y=1-0.6x0.06,则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　　)
A.80小时 B.90小时
C.100小时 D.120小时
5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过　　　　天,甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:lg 102≈2.008 6,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0) (　　)
A.85 B.100
C.150 D.225
二、多选题
6.(2025·郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升,则纯净水的pH是7.当pH<7时,溶液呈酸性,当pH>7时,溶液呈碱性,当pH=7(例如:纯净水)时,溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间,则下列选项正确的是(参考数据:lg 2≈0.3) (　　)
A.若苏打水的pH是8,则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升
B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是1.6
C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水的pH是8.6
D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,则该种水适合饮用
7.(2025·长沙模拟)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301) (　　)
A.t=12.43log 2
B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失
C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的
D.若x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16
三、填空题
8.一个动力船拖动载重量相等的小船若干只,在两个港口之间来回运货.若拖4只小船,则每天能往返16次;若拖7只小船,则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大,则每次拖　　　　只小船.
9.(2025·梅州模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品,但这种产品含有2%的杂质,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,现要进行过滤.已知每过滤一次杂质含量减少,要使产品达到市场要求,对该溶液过滤的最少次数为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
四、解答题
10.(10分)近年来城市交通拥堵严重,某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作,成为市民出行的常用交通工具.据观测,出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注:国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系:
Q(v)=(0(1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时,求v的取值范围;(6分)
(2)当电动自行车流量Q最大时,求v的值并估计最大流量(精确到0.1).(4分)
11.(10分)某企业投资生产一批新型机器,其中年固定成本为1 000万元,每生产x台,需另投入生产成本R(x)万元.当年产量不足25台时,R(x)=3x2+kx;当年产量不小于25台时,R(x)=202x+-1 330,且当年产量为10台时需另投入成本1 100万元.若每台设备售价200万元,通过市场分析,该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求k的值;(3分)
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(利润=销售额-成本);(3分)
(3)这批新型机器年产量为多少台时,该企业所获利润最大 并求出最大利润.(4分)
课时跟踪检测(十九)
1.选C　从题表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快.A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意;B项,随着t的增大,速度变小,不符合题意;C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意;D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意.
2.选C　在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且单调递增,故排除A、D;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,故排除B;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.
3.选B　由题意得n≤log2=log22 600.因为114.选C　根据题意得=1-0.6x0.06,整理得=x0.06,两边取以10为底的对数,得lg=0.06lg x,即2lg 2-lg 3=0.06lg x.又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以lg x≈=2=lg 100,得到x≈100.
5.选B　令甲和乙刚开始的“日能力值”为1,则n天后,甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n,(1-1%)n,依题意可得=20,即=20,两边取对数得nlg =lg 20,因此n=≈≈100,所以大约需要经过100天,甲的“日能力值”是乙的20倍.
6.选ABC　若苏打水的pH是8,则pH=-lg[H+]=8,所以[H+]=10-8,即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升,所以A正确;若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)=1+2lg 2≈1.6,所以B正确;若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6摩尔/升,因此pH=-lg 10-8.6=8.6,即海水的pH是8.6,所以C正确;若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,则pH=-lg(4×10-7)=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2≈6.4.而6.4不在6.5~8.5范围内,即该种水不适合饮用,所以D错误.故选ABC.
7.选CD　由题意N=N0·,得=,两边同时取对数得log2=-,故得t=-12.43log2,故A错误;当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,故B错误;当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,故经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确;由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43,将lg 2≈0.301代入其中,可得x≈-12.43≈16.44>16,故D正确.
8.解析:设每日每次拖x只小船,每天往返y次,每只小船的载重量为M,每天的运货总重量为G,由题意设y=kx+b,则解得所以y=-2x+24.所以每天运货总重量为G=Mxy=Mx(-2x+24)=-2M(x-6)2+72M,所以当x=6,y=12时,G取得最大值72M,即每次拖6只小船,可使得每天运货总量最大.
答案:6
9.解析:设至少需要过滤n次,则0.02×≤0.001,即≤,两边取对数,可得nlg≤lg,所以n≥=≈7.4.又因为n∈N*,所以n≥8,所以要使产品达到市场要求,对该溶液过滤次数最少为8次.
答案:8
10.解:(1)电动自行车流量不少于10千辆/小时,即Q(v)=≥10,化简可得v2-58v+400≤0,解得8≤v≤50.
又因为最高设计时速为25千米/小时,故8≤v≤25,
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时,v的取值范围应为[8,25].
(2)Q(v)==,由基本不等式可得v+≥2=2=40,当且仅当v=,即v=20时取等号.此时电动自行车流量有最大值,最大值为Q(v)==≈14.3,故当平均速度为20千米/小时时,电动自行车流量最大,最大值约为14.3千辆/小时.
11.解:(1)将x=10,R(x)=1 100代入R(x)=3x2+kx,得3×100+10k=1 100 k=80.
(2)由题意可得,当0≤x<25时,W(x)=200x-3x2-80x-1 000,当x≥25时,W(x)=200x-202x-+1 330-1 000,所以年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为W(x)=
(3)由(2)得,当0≤x<25时,W(x)=-3x2+120x-1 000=-3(x-20)2+200,当x=20(台)时,W(x)max=200(万元).
当x≥25时,W(x)=-2x-+330=-2+350≤-2×2+350=190,当且仅当x+10=,即x=30时等号成立,故W(x)max=190(万元),而200>190,故年产量为20台时,该企业所获利润最大,最大利润是200万元.

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