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2024-2025 学年贵州省学校卓越发展计划项目高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 < < 1 ， = 1 < < 3 ，则 ∪ =( )
A. 1 ≤ < 1 B. > 2
C. 2 < < 3 D. < 3
2 5 .已知复数 = 1 2 ，则| | = ( )．
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3.已知向量 ， 满足 = 1， = 2，且 ⊥ + ，若向量 = + 2 ，则 等于( )
A. 17 B. 17 C. 13 D. 13
4.《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：
“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”.大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长
为 3 丈，上底面圆的周长为 2 丈，高为 3 丈，则它的体积是( )立方丈．
A. 19 B. 194 12 C.
19 19
12π D. 4π
5.函数 ( ) = (16 16 )log2| |的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上下顶点分别为 、 ， 2为椭圆的右焦点，直线 2交椭圆 于点 ，
若 2 = 3 2 ，则椭圆 的离心率为( )．
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A. 1 B. 2 C. 32 2 3 D.
1
3
7.设函数 ( ) = 2sin + 4cos ，若当 = 时，函数取得最大值，则 tan =( )
A. 2 2 B. 24 C. 2 D.
2
8
8.已知函数 ( ) = ln( 1) 2 + ，若关于 的不等式 ( ) > 0 恰有一个整数解，则实数 的取值范围
为( )
A. ln312 ,
ln2
6 B.
ln3 ln2 ln2
12 , 6 C. 10 ,
ln3
12 D.
ln2 ln3
10 , 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 是 的中线 上一点(不包含端点)，且 = + ，则下列说法正确的是( )
A. 2 + = 1 B. 1的最大值为8
C. 2 + 2 1 D. 1+ 2的最小值为5 的最小值是 8
10.某学校举行校园歌手大赛活动邀请了 6 位专家评委，在活动结束时邀请这 6 位专家站成一排合影留念，
则下列说法正确的是( )
A.若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有 120 种排法
B.若专家甲、乙两人不相邻，则共有 480 种排法
C.若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有 72 种排法
D.若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有 480 种排法
11.已知函数 ( ) = 13
3 2 + 1，其导函数为 ′( )，则( )
A.直线 = 3 + 1 是曲线 = ( )的切线
B. ( )有三个零点
C. ′(2 ) = ′( )
D.若 ( )在区间( , + 4)上有最大值，则 的取值范围为( 4, 1]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
6
12. 2 13 的二项展开式中 2的系数为 ．
13 1.函数 ( ) = e 2 +1 + 1(e 为自然对数的底数)在 = 2处的切线方程为 ．
14.已知数列 ，定义集合 = + 1 ≤ < ≤ ，其中 ≥ 2，记 ( )表示集合 中元素的个数，
并规定 (1) = 0.若 = ，则 (3) = ；若 = 2 ∈ N ，则 ( ) =
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在 中，内角 , , + sin sin 的对边分别为 , , ，且满足 = sin sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 7， 边上的中线 的长为 19，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，且 ⊥平面 ，若 = 1, = 2， = 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
17.(本小题 15 分)
在数列 5 5 +12 中， 1 = 3，

+1 = 3 +7．
(1) 1证明：数列 +2 是等差数列并求数列 的通项公式．
(2)若 = 3 1 3 ，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
+
已知函数 ( ) = e ， ， ∈ R，且 > 0．
(1)若 ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 2e + e = 0 求 ， 的值并求函数 ( )的极值；
(2)设 ( ) = ( 1)e ( )，若当 = 1 时，对任意 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 1 成立，求 的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知抛物线 ： 2 = 4 上的一点 1(2,1)，按照如下方法依次构造点 ( = 2,3, )，过点 1作斜率为 2
的直线与抛物线 交于另一点 1，且 1关于 轴的对称点为 ，记 的坐标为 , ．
(1)求抛物线在点 1(2,1)处的切线方程；
(2)求证：数列 是等差数列，并求 ， 的表达式；
(3)求 +1 +2的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 160
13.2 + 3 = 0
14.3；
15. (1) + = sin sin + 【详解】 因为 sin sin ，由正弦定理可得 = ，
2 2 2
整理得 2 + 2 2 = + 1，由余弦定理可得 cos = 2 = 2．
π
又因为 ∈ 0, π ，所以 = 3．
(2)在 中，由 2 + 2 2 = 和 = 2 7，可得 = 2 + 2 28．
在 和 中，有 cos∠ = cos∠ ，又 边上的中线 的长为 19，
7 2+ 19
2
2 7
2 19 2+ 2
由余弦定理可得 2× 7× 19 = 2× 7× 19 ，
故 2 + 2 = 52，所以 = 2 + 2 28 = 52 28 = 24，
所以 1的面积为2 sin =
1
2 × 24 × sin
π
3 = 6 3．
16.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又因为 为矩形，则 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
可得 ⊥平面 ，又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由题意可知： ⊥平面 ，且 ⊥ ，
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如图，以 为坐标原点， , , 分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
= 1, = 2， = 2，所以 = 2 2 = 1，
则 (0,0,0), (2,0,0), (2,1,0), (0,1,0), (0,0,1)，
可得 = (2,0, 1), = (0,1, 1)，

设平面 = ( , , ) = 2 = 0的法向量为 ，则 ,
= = 0
令 = 1，则 = = 2，可得 = (1,2,2)，
易知平面 的法向量为 = (0,1,0)，
则 cos , = 2 2 = 3×1 = 3，
由题意可知：二面角 为锐角，所以二面角 2的余弦值为3．
17.【详解】(1)数列 5 5 +12 1 1 1 3 +7 1 中， 1 = 3， +1 = 3 +7，则 +2 +1 +2 = 5 +12 = +2 +2 = 3，3 +2 +7
1 = 1 = 3 1又 +2 5 ，所以1 +2 +2
是首项 3，公差为 3 的等差数列，
3
1
故 +2 = 3 + 3( 1) = 3 =
1 6
，所以 3 ．
(2)由(1)知 = 3 1 3 = 6 3 ，
= 6 31 + 12 32 + 18 33 + + (6 6) 3 1 + 6 3 ，
则 3 = 6 32 + 12 33 + 18 34 + + (6 6) 3 + 6 3 +1，
9 3 +1
两式相减得 2 = 6 31 + 6 32 + 33 + + 3 6 3 +1 = 18 + 6 1 3 6 3
+1
= (3 6 ) 3 +1 9，
+1
所以 = 9+(6 3) 3 2 ．
2
18.【详解】(1)由 ( ) = + ′ e 得 ( ) =
+
2 e ，
∴ (1) = ( + )e， ′(1) = e，由题意知 e = 2e，( + )e = 3e，∴ = 2， = 1，
当 = 2， = 1 时， ( ) = 2 +1
，定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)．
∴ ′( ) = 1 + 2 +1 2 =
(2 1)( +1)
2 ．
令 ′( ) = 0 = 1 = 1 1，得 或 2，由
′( ) > 0，得 < 1 或 > 2；
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由 ′( ) < 0，得 1 < < 0 或 0 < < 12，
∴ = 1 时 ( ) 1 1 1取得极大值 ( 1) = ， = 2时 ( )取得极小值 2 = 4 ；
(2) ∵ ( ) = ( 1) ( ) = 2
，
当 = 1 时， ( ) = 2
，
∵ ( ) ≥ 1 在(0, + ∞)上恒成立，
∴ ≤ 2 2 在(0, + ∞)上恒成立，

记 ( ) = 2 2 ′e ( > 0)，则 ( ) =
( 1) 2 +1
，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上是减函数；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上是增函数．
∴ ( ) 1min = (1) = 1 ，
∴ ≤ 1 1 ，即 的最大值为 1
1
．
19. 1【详解】(1)由 2 = 4 ，即 = 2，则 ′ 14 = 2 ，所以
′| =2 = 1，
所以抛物线在点 1(2,1)处的切线方程为 1 = 2，即 = 1；
(2)因为 1(2,1)，所以 1 = 2, 1 = 1，
依题意过点 1且斜率为 2 的直线为 = 2 1 + 1，
与抛物线的方程 2 = 4 ，联立可得 2 + 8 8 1 4 1 = 0，
由韦达定理可得 1 + = 8，即 1 = 8，
则数列 是首项为 2，公差为 8 的等差数列，所以 = 8 6，
1
所以 = 2 4 = (4 3)
2；
(3)由(2)知： 8 6, (4 3)2 , +1 8 + 2, (4 + 1)2 , +2 8 + 10, (4 + 5)2 ，
1
可得梯形 +1 +1的面积为： +1 +1 = 2 +1 + +1 +1
= 12 (4 + 1)
2 (4 3)2 (8 + 2 + 8 6) = 4(8 2)2，
同理可得 2 +1 +1 +2 +2 = 4(8 + 6) ，
1
又由梯形 +2 +2的面积为： +2 +2 = 2 +2 + +2 +2
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= 12 (4 + 5)
2 (4 3)2 (8 + 10 + 8 6) = 8(8 + 2)2，
所以 +1 +2 ∈ N 的面积为：
+1 +2 = +1 +1 + +1 +1 +2 +2 +2 +2
= 4(8 2)2 + 4(8 + 6)2 8(8 + 2)2 = 128．
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