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2024-2025 学年河北省部分名校高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C2 = 3，则 的值是( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
2.科技创新小组有 10 名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A. 10 B. 20 C. 45 D. 90
3.已知某随机变量 的分布列为下表，则 ( ) = ( )．
1 0 1
0.2 0.4
A. 0.2 B. 0.56 C. 0.7 D. 0.84
4.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速
冻饺子.已知甲、乙两箱中各有 3 盒肉馅饺子，7 盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再
从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是( )
A. 310 B.
7 3 4
10 C. 11 D. 11

5 e.函数 ( ) = 3的单调递减区间为( )
A. ( ∞,3) B. ( ∞,4) C. ( ∞,3)和(3,4) D. ( ∞,3)和(3,5)
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 , , ( > 0)为整数，若 和 被
除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ ( ).若 = C1 2 2 16 1616 2 + C16 2 + + C16 2 ， ≡
( 10)，则 的值可以是( )
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2025
7.将 4 名优秀教师分配到 3 个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到 1 个学校，每个学校至少
分配 1 名优秀教师，则不同的分配方案共有( )
A. 72 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 24 种
8 = ln0.6 , = ln0.7.设 0.4 0.3 , = 2ln0.5.则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知随机事件 , , ，下列说法正确的是( )
A.若 , 互斥，则 ( + ) = +
B.若 , 互斥，则 ( | ) + ( | ) = 1
C.若 , 相互独立，则 ( | ) = ( )
D.若 ( | ) = ( | ) 1，则 ( ) = = 2
10.若函数 ( ) = ln e + 2 在区间(1,3)上不单调，则实数 的取值可以是( )
A. B. e2 C. 2e3 D. 4e3
11.设随机变量 的分布列为 ( = ) = 2 ( = 1,2, 8), ∈
+，则( )
A. = 255 256 255 502256 B. = 255 C. ( ) = 256 D. ( ) = 255
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在(1 )2 + (1 )3 + + (1 )100的展开式中，含 2项的系数是 . (用组合数C 表示)
13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第 8 与第 9 个数的比为 1: 3．
14 1 9.在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立.发送 0 时，收到 1 的概率为10，收到 0 的概率为10；发
送 1 1 4时，收到 0 的概率为5，收到 1 的概率为5 .传输方案为三次传输.三次传输是指每个信号重复发送 3 次.
收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译
码为 1).若发送 0，则依次收到 0，0，1 的概率为 ；若发送 1，则译码为 1 的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一个不透明的盒子中装有 3 个红球，3 个黑球，4 个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随
机摸出 4 个球．
(1)求三种颜色的球都被摸出的概率 3；
(2)记摸出的球的颜色种类数为 ，求 的分布列与期望．
16.(本小题 15 分)
2
在 + 2 ∈
的展开式中，第 2 项、第 3 项、第 4 项的二项式系数成等差数列．
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(1)求 的值；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2 8 + 4．
(1)当 = 24 时，求函数 ( )的单调递增区间；
(2)如果函数在定义域内单调递减，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1)ln ．
(1)求函数 = ( )的极值点；
(2) 1若对任意的 ∈ e , + ∞ , ( ) > ( + 1)恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某学校有 , 两家餐厅，王同学开学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第 1 天去 餐厅，那么第 2
1 3
天继续去 餐厅的概率为2；如果第 1 天去 餐厅，那么第 2 天去 餐厅的概率为5，如此往复．
(1)计算王同学第 2 天去 餐厅用餐的概率；
(2)记王同学第 天去 餐厅用餐概率为 ，写出 +1关于 的表达式；
(3) 6证明数列 11 是等比数列，并求出 的通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.C3101
13.31
14. 81 1121000 ； 125
15.解：(1)从盒子中一次性随机摸出 4 个球，不同的取法共有C410 = 210 种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有 2C2C1 1 1 1 23 3C4 + C3C3C4 = 126 种，
126 3
故三种颜色的球都被摸出的概率 3 = 210 = 5；
(2)由题可知， 的取值可能为 1,2,3,
4
且 ( = 1) = C44 =
1
210 , ( = 3) = =
3
3 5，C10
( = 2) = 1 ( = 1) ( = 3) = 83210，
的分布列为

1 2 3
1 83 3
210 210 5
( ) = 1 × 1 + 2 × 83 3 109210 210 + 3 × 5 = 42．
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16.解：(1)在 + 2 2 ∈ N
的展开式中，第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数分别为C1, C2 , C3 ，
2
因为 + 2 的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数成等差数列，
2C2 = C1 + C3 2 × ( 1) = + ( 1)( 2)所以 ，即 2×1 3×2×1 ，
化简得： 3 9 2 + 14 = 0，因为 ∈ ，
所以 2 9 + 14 = 0，解得 = 7 或 = 2．
当 = 2 时，展开式只有 3 项，不符合题意，所以 = 7．
7 5
(2)因为 = C +1 7( )7
2
2 = C72
2 , = 0,1,2, 7，
所以当 = 1,3,5,7 时为有理项，总共有 8 项，
A4A4 1
由插空法可得有理项不相邻的概率为 = 4 5 = ．
A88 14
17.解：(1)因为函数 ( ) = ln 2 8 + 4，
则当 = 24 时， ( ) = 24ln 2 8 + 4( > 0)，
2 2
′( ) = 24 2 8 = 2 8 +24 = 2 +4 12 = 2( 2)( +6) ．
令 ′( ) = 0，解得 1 = 2, 2 = 6(舍去)，
由 ′( ) > 0 得 0 < < 2，
所以 ( )的单调递增区间为(0,2)．
(2)因为函数 ( ) = ln 2 8 + 4， ∈ (0, + ∞)，
′( ) =
2
则 2 8 =
2 8 +
，
∵函数 ( )在定义域内单调递减，
∴ ′( ) ≤ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
即 2 2 8 + ≤ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
即 ≤ 2 2 + 8 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
∵当 ∈ (0, + ∞)时，2 2 + 8 > 0，
∴ ≤ 0，
即实数 的取值范围为( ∞,0]．
18.解：(1)函数 ( ) = ( 1)ln ，定义域为(0, + ∞)，
′( ) = ln + 1 = ln + 1 1，易知 ′ ( )在(0, + ∞)单调递增，
′(1) = 0，
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所以在(0,1)上 ′( ) < 0, ( )单调递减，在(1, + ∞)上 ′( ) > 0, ( )单调递增，
故 = 1 是函数 = ( )唯一的极小值点，无极大值点．
(2)若对任意的 ∈ 1e , + ∞ , ( ) > ( + 1)恒成立，即( 1)ln ( + 1) > 0 在 ∈
1
e , + ∞ 上恒成
立，
< 1则 +1 ln ∈
1
在 e , + ∞ 上恒成立，
令 ( ) = 1 +1 ln ，
′ 2
则 ′( ) = 1 ln + 1 ′ 2 ln + 1 +1 +1 (ln ) = ( +1)2 ，
令 ( ) = 2 ln + 2 1，
则 ′( ) = 2ln + 2 + 2 ，易知 ′( )单调递增，且 ′ 1 2e = e > 0．
当 ∈ 1e , + ∞ 时，
′( ) > 0，
∴ ( ) 1在 e , + ∞ 上单调递增且 (1) = 0，
故当 > 1 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0, ( )单调递增；
1
当 ′e < < 1 时， ( ) < 0，即 ( ) < 0, ( )单调递减；
故当 = 1 时， ( )取得极小值，也是最小值 (1) = 0，则 < 0，
所以实数 的取值范围为( ∞,0)
19.解：(1)设 1表示第 1 天去 餐厅， 2表示第 2 天去 餐厅，则 1表示第 1 天去 餐厅，
1 1
根据题意得 1 = 2 , 1 = 2 , 2| 1 =
1 3
2 , 2| 1 = 5，
所以 2 = 1 2| 1 + 1 2| =
1 1 1 3 11
1 2 × 2 + 2 × 5 = 20；
(2)设 表示第 天去 餐厅用餐，则 = , = 1 ，
1 3
根据题意得 +1| = 2 , +1| = 5，
1 3 1 3
由全概率公式得， +1 = +1| + +1| = 2 + 5 1 = 10 + 5，
1 3
即 +1 = 10 + 5；
(3) 1 3 6 1 6由 +1 = 10 + 5整理得， +1 11 = 10 11 ，
6 1又 1 11 = 22 ≠ 0，
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所以 6 1 1 11 是以 22为首项， 10为公比的等比数列，
6 1 1 1
所以 11 = 22 10 ，
1
即 =
6 1 1
11 22 10 ．
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