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向量专题 期末复习
一、选择题
1．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．零向量没有方向
D．模为0的向量与任意非零向量共线
2．如图，在平行四边形中，（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，，，，，则（　　）
A．1 B． C．2 D．3
4．在中，角所对的边分别为.若，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
6．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
7．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（　　）
A． B．40 C．64 D．
8．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（　　）（参考数据：）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
二、多项选择题
9．已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值是1 B．为定值
C．的最大值是10 D．的最小值是8
10．下列说法正确的是（　　）
A．在△ABC中，，E为AC的中点，则
B．已知，若与的夹角是钝角，则
C．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则
D．在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形
11．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量满足，，则　（1） 　．
13．在圆内接四边形中，已知，，平分.则的值为　 　.
14．已知外接圆的半径为2，是的面积，分别是三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为　 　；点为外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是　 　.
四、解答题
15．已知、、在同一平面内，且，.
（1）若，且与共线，求的坐标；
（2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？
16．内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的面积为．求的周长．
17．在中，点是内一点，
（1）如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值.
（2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值.
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长；
（2）若E为BC边上任意一点，，.
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）求的最小值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）若，，且点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求的最小值．
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．A
5．B
6．C
7．D
8．B
解：设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，其中三点共线，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则，
因为，
所以的最大值为.
9．A,B,C
10．A,C,D
11．B,C,D
12．
13．
14．；
15．（1）或
（2），同向.
16．（1）解：由，
可得，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）解：的面积为 ，则，即，解得，
由余弦定理，可得，整理得，
则，解得，即的周长为．
17．（1）解：由图可知：，
因为，所以，
因为M，P，N三点共线，所以，
所以，即，消去整理可得，则；
（2）解：由，可得，
因为，所以，所以；
由，可得；
则
当目仅当，即时等号成立，
故；.
18．【（1）解： 向量，，
由，可得，整理可得，
由余弦定理可得，因为，所以，
若，则，
由余弦定理得，即，得，
因为为的平分线，所以，
则，即，解得；
（2）解：（i）由题意可得：，即，则；
（ii）易知，
因为，所以，
又因为，所以，即，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
19．（1）解：由，可得，
则，即，故；
（2）解：由（1）知，所以的三个角都小于，
由费马点定义知，
设，，，由，
整理得，整理得，
则；
（3）解：因为点为的费马点，所以，
设，，，，，，
由，得，
由余弦定理得，
，
，
由，得，
，又，，所以，
当且仅当，结合，解得时等号成立，
又，所以，解得，
故的最小值为．
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