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2024-2025 学年广东省东莞市五校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为 1, 2, 3, 4，则 1, 2, 3, 4
中最大的是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知随机变量 服从正态分布 (3,2)，则 (2 + 1) =( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
3.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在 5 家商场的售
价 (元)及其一天的销售量 (件)进行调查，得到五对数据( , ) ( = 1,2,3,4,5)，经过分析、计算，得 = 10，
= 8， 关于 的经验回归方程为 = 3 + ，则相应于点(9,10)的残差为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
4.一个三位自然数 的百位，十位，个位上的数字依次为 ， ， ，当且仅当 > 且 > 时称为“凹数”；
若 , , ∈ {0,2,3,4,5}，且 ， ， 互不相同，则“凹数”的个数为( )．
A. 20 B. 36 C. 24 D. 30
5 1.在(2 2 ) 展开式中存在常数项，则正整数 可以是
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
6.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中不放回地依次取 2 个数，事件 为“第一次取到的是奇数”， 为“第
二次取到的是 3 的整数倍”，则 ( | ) =( )
A. 38 B.
13 13 3
40 C. 45 D. 4
7 1 2.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为3与3，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次
由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前 4 次中甲恰好投篮 3
次的概率为( )
A. 427 B.
8 10 20
27 C. 27 D. 27
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8.已知点 在曲线 = 2 2 ln 上，点 在 = 3 4 直线上，则| |的最小值为( )
A. = 3 10 B. = 3 1310 13 C. =
10 13
10 D. = 13
9.在经济学中，将产品销量为 件时的总收益称为收益函数，记为 ，相应地把导函数 ′ 称为边际收
益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 ′( ) = 1000 (注：
经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论：
①当销量为 1000 件时，总收益最大；
②若销量为 800 件时，总收益为 ，则当销量增加 400 件时，总收益仍为 ；
③当销量从 500 件增加到 501 件时，总收益改变量的近似值为 500．
其中正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现 1 点的概率为 (0 < < 1)，他掷了 次骰子，最终有 6
次出现 1 点.但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量 表示每掷 次骰子出现 1 点的次数，现以
使 ( = 6)最大的 值估计 的取值并计算 ( ). (若有多个 使 ( = 6)最大，则取其中的最小 值).下列说
法正确的是( )
A. ( ) > 6 B. ( ) < 6
C. ( ) = 6 D. ( )与 6 的大小无法确定
二、多选题：本题共 1 小题，共 6 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.某同学用收集到的 6 组数据对 , ( = 1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，
并计算得到经验回归直线 1的方程为 = 1 + 1，样本相关系数为 1，决定系数为 21，经过残差分析确定
为离群点，把它去掉后，再用剩下的 5 组数据计算得到经验回归直线 2的方程为 = 2 + 2，样本相关系
数为 ，决定系数为 2 2 2 22 2，(其中决定系数 是样本相关系数 的平方，即 = ，去掉离群点 后，拟合效果
更好)，则以下结论正确的是( )
A. 1 > 0 B. 2 < 0
C.直线 1恰好过点 D. 21 > 22
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 ( , 2)， ( ≤ 4) = 12， ( > 3) =
5
6，则 (3 < ≤ 5) =__ ．
13.若(2 + 3)4 = 2 3 4 2 20 + 1 + 2 + 3 + 4 ，则( 0 + 2 + 4) ( 1 + 3) 的值为
14. 、 为 = 1 2上在 轴两侧的点，过 、 的切线与 轴围成面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 + 2( > 0)．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )有三个零点，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知箱子中有除颜色外其他均相同的 8 个红球，2 个白球，从中随机连续抽取 3 次，每次取 1 个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数 的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数 的分布列与期望．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = ln + ．
(1) 1当 = 2时，求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；
(2)若函数 有极小值，且 的极小值小于 1 2，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中 400 名居民体育锻炼的
次数与年龄，得到如下的频数分布表．
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年龄
20,30 30,40 40,50 50,60
次数
每周 0～2 次 70 55 36 59
每周 3～4 次 25 40 44 31
每周 5 次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在 20,40 的锻炼者称为青年，年龄在 40,60 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2 次的称
为体育锻炼频率低，不低于 3 次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 = 0.01 的独立性检验判断体育锻
炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取 8
人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 30,40 与 50,60 的人数分别为 , , = | |，求
的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球 3 种运动项目中
选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期
1 1 2
天选择跑步的概率分别为3 , 2 , 3，求小明星期天选择跑步的概率．
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题 17 分)
信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 的所有可能取值为 1，2，…， ∈ ，且 = = >
0 = 1,2, , ， =1 = 1，定义 的信息熵 =

=1 2 ．
(1)证明：当且仅当 = 1 时， = 0；
(2)若 = 3，且 +1 = 1 = 1,2 ，比较 与 1 的大小；
(3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛 20 次后即使
没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为 ，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.1
14.8 3/89 9 3
15.(1)函数 ( ) = 3 3 + 2( > 0)的定义域为 R，
且 ′( ) = 3 2 3 = 3 +
令 ′( ) > 0，解得 > 或 < ，则函数 ( )在( ∞, ), ( , + ∞)上单调递增；
令 ′( ) < 0，解得 < < ，则函数 ( )在( , )上单调递减，
所以函数 ( )单调递增区间为( ∞, ), ( , + ∞)，单调递减区间为( , )．
(2)由(1)知函数 ( )在( ∞, )上单调递增，
在( , )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
则 ( )极大值 = ， ( )极小值 = ，
且当 → ∞时， ( ) → ∞，当 →+∞时， ( ) →+∞，
= 2 + 2 > 0
要使得函数 ( )有三个零点，则需满足 ,
= 2 2 < 0
解得 0 < < 4，
综上可得，实数 的取值范围(0,4)．
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16.(1)有放回抽样时，取到白球的次数 可能的取值为 0，1，2，3．
1 1
每次抽到白球的概率均为5，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 ～ (3, 5 )，
所以 ( = 0) = ( 4 )3 = 64 1 1 4 2 485 125， ( = 1) = C3 × 5 × ( 5 ) = 125，
( = 2) = C23 × (
1
5 )
2 × 4 = 12 1 3 15 125， ( = 3) = ( 5 ) = 125，
则 分布列为：
0 1 2 3
64 48 12 1
125 125 125 125
( ) = 3 × 1 × (1 1 ) = 12则 5 5 25
(2)不放回抽样时，则 ～ (3,2,8)
0 3 1 2 2 1
( = 0) = C2C83 =
7
15， ( = 1) =
C2C8 = 7 C2C8 1
C10 C
3
10 15
， ( = 2) = 3 =C10 15
，
则 的分布列为：
0 1 2
7 7 1
15 15 15
则 ( ) = 3 × 2 310 = 5
17.解：(1)当 = 12时， = ln +
1 1
2 2，
= 1 1 1则 ′ 2 2，所以 ′ 1 = 2，
因为 1 = 0，所以 在 = 1 处的切线方程为 2 1 = 0;
(2) 因为 = ln + ，其中 > 0，
则 ′ = 1 2 = 2 ，
①当 ≤ 0 时， ′ > 0 恒成立，此时函数 在 0, + ∞ 上单调递增，无极小值，
②当 > 0 时，令 ′ = 0，可得 = ，列表如下：
0, ,+ ∞
′ 0 +
递减极小值递增
所以 ( )极小值 = = ln + 1 ，
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由题意可得 ln + 1 < 1 2，即 2 + ln < 0，
令 = 2 + ln ( > 0)，则 1 = 0，
1
因为 ′ = 2 + 1 ≥ 2 2 1 > 0，当 2 =
1
,即 =
2
2 时等号成立，
所以函数 在 0, + ∞ 上单调递增，
所以由 < 1 = 0，得 0 < < 1，
所以实数 的取值范围是 0,1 ．
18.解：(1)零假设： 0体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得 2 × 2 列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
2 = 400×(125×105 75×95)
2
200×200×220×180 ≈ 9.091 > 6.635，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验推断 0不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01．
(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在[30,40), [50,60]内的人数分别为 1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为 0，1，2，
所以 ( = 0) = ( = 0, = 0) + ( = 1, = 1)
=
3 15 + 5
1
2 = 20，
38
3
8 56
( = 1) = ( = 0, = 1) + ( = 1, = 0) + ( = 1, = 2)
2 1 2
= 5
2 5 1 31
3
+ 3 + = ，
8 8
3
8 56
1
( = 2) = ( = 0, = 2) = 5 5
3
=
8 56
，
所以 的分布列为：
0 1 2
20 31 5
56 56 56
20 31
所以 的数学期望为 ( ) = 0 × 56 + 1 × 56+ 2 ×
5 41
56 = 56．
(3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件 ， ， ，
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星期天选择跑步为事件 ，
1 1 1
则 ( ) = 3 , ( ) = 3 , ( ) = 3，
( | ) = 13 , ( | ) =
1
2 , ( | ) =
2
3，
则 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | )
= 1 × 1 13 3 + 3 ×
1 + 12 3 ×
2 1
3 = 2，
1
所以小明星期天选择跑步的概率为2．
19.(1)若 = 1，则 1 = 1，所以 = 1 2 1 = 21 = 0．
当 ≥ 2 时，因为 0 < < 1，所以 2 > 0，所以 =

=1 2 > 0．
综上可知：当且仅当 = 1 时， = 0．
(2)由 2 1 = 1得 2 = 2 1，由 3 2 = 1，得 3 = 3 1．
因为 1 + 2 + 3 = 1，所以 6
1 1 1
1 = 1，解得 1 = 6，于是 2 = 3， 3 = 2． =
1
6
1 1 1
2 6+ 3 2 3 +
1 1 1 1 1 2 12 2 2 = 6 26 + 3 23 + 2 = 3 + 2 23．
因为 23 > 1
2
，所以 > 3 +
1
2 > 1．
(3)由题意知， = = 1,2, , 19 表示前 1 次都正面朝上，第 次反面朝上， = 20 表示前 19 次都正
面朝上，
则 11 = = 1 = 2， 2 = = 2 =
1 1 1
2 × 2 = 22， 3 = = 3 =
1 1
22 × 2 =
1
23，…，
1 1 1 119 = = 19 = 218 × 2 = 219， 20 = = 20 = 219．
1
所以 2 = 2 22
= 2 1 ≤ ≤ 19 ， 20 =
19
2 20 219．
= 1+ 2 + 3 + + 18 + 19 + 19所以 2 22 23 218 219 219．
= 1+ 2 3 18 19 1 1 2 3 18 19设 2 22 + 23 + + 218 + 219，则2 = 22 + 23 + 24 + + 219 + 220，
1 1 1 1 1 19 1 19 21
两式相减得2 = 2 + 22 + 23 + + 219 220 = 1 219 220 = 1 220，
21
所以 = 2 219，
故 = + 19 = 2 21219 219 +
19 1
219 = 2 218．
第 8页，共 8页

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