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2025年九年级数学中考二轮复习利用二次函数求线段周长最值问题专题提升训练
1．如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点．
(1)______；
(2)是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标．
(3)若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
2．已知抛物线表示的二次函数的最大值是5．
(1)抛物线的对称轴是______，a的值是______．
(2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值；
(3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标．
3．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值：
(3)将原抛物线延射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标．
4．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
(3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
5．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由．
(3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
(2)时，的最小值为，求的值；
(3)当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
8．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D．
(1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
(2)若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标；
(3)若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
9．如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式及的值．
(2)过点作轴，垂足为，点在直线下方的抛物线上运动，过点作，，垂足在线段上．
①求面积的最小值；
②求的最大值．
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有一点在第三象限内，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于．且点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、点分别是直线、轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
11．如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围；
(3)当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差；
(4)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②直接写出线段与抛物线交点个数及对应的的取值范围．
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点，顶点为点G，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
(2)当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接，当四边形周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值．
15．如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标．
《2025年九年级数学中考二轮复习利用二次函数求线段周长最值问题专题提升训练》参考答案
1．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将代入解析式，即可求解；
（2）由待定系数法得直线的解析为，①当在轴是上方时，
过作轴交于，交于，交轴于，设，，同理可求直线的解析式为， 由即可求解；②当在轴是下方时， 交轴于，交轴于，同理可求直线的解析式为，由，即可求解．
（3）、为关于直线对称，可求，①当在的上方时，，可求，此时，，即可求解；②当在的下方时，，解得，此时，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
解得：，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
当时，，
当时，
，
解得：，，
，，
设直线的解析为，则有
，
解得：，
直线的解析为，
①当在轴是上方时，
如图，过作轴交于，交于，交轴于，
设，
，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
整理得：，（舍去），
点的横坐标；
②当在轴是下方时，
如图， 交轴于，交轴于，
同理可求直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，（舍去），
点的横坐标；
综上所述：点的横坐标或．
（3）解：、为关于直线对称，
，
，
，
解得：，
①当在的上方时，
，
解得：，
，
，
当时，
，
，，
，
，
解得：，
；
②当在的下方时，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
解得：，
；
综上所述：的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题，待定系数法，能熟练利用割补法求面积，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
2．(1)直线，
(2)
(3)或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求解；
（2）由（1）可知当时，y随x的增大而增大，则，；，，进而求解；
（3）根据两点距离公式求出，，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
解得：，
故答案为：直线，；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，；当时，，
则，
解得：（正值已舍去）；
（3）解：，
则，
设点，则点，则点、，
则，，
∵，
∴
解得：或，
即点P的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中．
3．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据，求出点的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）作轴，交于，根据三角函数得出，得最大时最大，设，则，得，进而可求，设直线与轴交于，与轴交于，得点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的，将点作同样的平移，得点，设点关于直线的对称点为，根据轴对称性质可得，连接，交直线于，得，进而可求的最小值；
（3）根据平移规律求出，作轴，进而可得，过点，作直线，交于，交抛物线于，得，设直线为，求得，由，可求得，作点关于直线的对称点，直线交直线于，同法可求．
【详解】（1）解：令，则，
， ，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）解：作轴，交于，
，
，，
，
，
，
，
最大时，最大，
设直线为，
代入，，
得，，
，
，
设，则，
，
时，，
此时，
，
设直线与轴交于，与轴交于，
当时，，
当时，，
，，
，
过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，
，
，
，
，
，，
点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的，
将点作同样的平移，得点，
即，
，且，
四边形为平行四边形，
连接，
，
，
当最小时，最小，
设点关于直线的对称点为，
直线交直线于，
设直线为，
作轴于，设，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，交直线于，
，
此时，
的最小值为；
（3）解：，
将其沿直线方向平移后经过，相当于先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
作轴，
，
，
过点，作直线，交于，交抛物线于，
，，
，
，
，
设直线为，
，
，
，
，
（舍），，
，
，
作点关于直线的对称点，直线交直线于，
位置如图所示：
设直线为，
，
，
，
同（2）可求，
，
令，
，
，
∵S是和的中点，
，
作射线，
交抛物线于，
，
设直线为，
代入，，
，
，
，
，
，（舍），
，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，线段周长问题，角度问题，二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等知识，解题的关键是准确作出辅助线，综合运用相关知识点．
4．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用的待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：过点P作轴交于点Q，
将代入：，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，
此时，，
∴；
作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，
则，
∴由对称的性质得，
∴的周长为，
当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，
设，
∴的中点坐标为，
由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上，
则，即，
∴，
∴，
由对称的性质得，即，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）解：∵，且，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∵，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：，
过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，
如图，当点N在右侧时，
∵，轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
由平移的方式得，
设，
∴，
∴，，
∴，
即，整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴（三线合一），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
综上，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
5．(1)
(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为
(3)，
(4)点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
6．(1)；
(2)，面积为3；
(3)
【分析】本题考查了有关二次函数的知识，是一道综合题．
（1）由函数对称轴求出m的值，代入即可求抛物线的解析式；
（2）由抛物线可以求出点，，，的坐标，求所在直线解析式，当的面积为定值时，直线与所在直线平行．可得出的值，设点P在x轴上，则可得出面积的定值；
（3）由抛物线的顶点求出M的最高点、最低点坐标，图象在直线上方的部分沿着直线翻折，得出三种情况，可求出的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线．
对称轴为直线，
．解得．
则抛物线
（2）解：抛物线与轴交于点，
当时，，则点C坐标为．
点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，
，解得，则点D坐标为．
抛物线与轴交于、两点，
，解得，则点A坐标为，点B坐标为，
点的坐标为，
在直线上，
设所在直线解析式为，
则
则．
当的面积为定值时，
直线与所在直线平行．
．即．
设，则，
解得，则点P坐标为．
的面积为定值，
．
（3）解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为．
当时，．
时M的最高点坐标为，最低点坐标为．
关于的对称点坐标为，
关于的对称点坐标为．
当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为．
此时，不合题意舍去；
当最高点纵坐标为t时，即，．
，解得．
当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时，
，解得．
综上：．
7．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；
(2)的值为或；
(3)最大值
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
（2）分两种情况：当，即时，随增大而减小，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；
（3）把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
【详解】（1）解：
∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：如图，
当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
如图，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为，
综上所述，的值为或；
（3）解：由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
如图，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
8．(1)；，；
(2)的周长最小为；点的坐标为，
(3)四边形的面积最大为9，此时．
【分析】（1）把代入抛物线的解析式，求解得到的值，再令，解方程即可得出答案；
（2）求得，待定系数法求出直线的解析式，从而得出直线的解析式，联立求得得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，据此计算即可得解；
（3）过点作轴的垂线，交直线于点，设，则，则，由得到关于的二次函数，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
解方程，
得，，
∴，；
（2）解：由抛物线可得，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∵如图，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，
∵直线的解析式为，当时，，
的坐标为，
∵，
∴的周长最小为；
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为9，此时．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
9．(1)，
(2)①；②
(3)
【分析】（1）将点和点代入中运算求解即可；
（2）①由分析出的位置，求出的长后利用面积公式求解即可；
②过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，利用含的式子表达出和的长度进行求解即可；
（3）分析出原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式，设直线交轴于点，过点作延长线于点，求出直线的表达式，再联立两个函数式子运算求解即可．
【详解】（1）将点和点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为
将代入中，得；
（2）①解：∵，为定值，
∴当最小时，的面积最小，此时点与点重合，
∵，，
∴点的纵坐标为
将代入中，得，
解得，，
∴，
∴；
②解：如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为：，代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
又∵，
∴，，
∴，
∴
∵轴，
∴轴
∴，
∴，则，
∴，
设点，则点，
∴．
∵，
∴当时，有最大值，
把代入可得：
∴的最大值为；
（3）原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图2，则新抛物线的表达式为①，
设直线交轴于点，过点作延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，即，则，
∴，则，
∴点，
设直线的解析式为，代入，可得：，
解得：，
∴直线的表达式为②，
联立①②得，
解得（不合题意的值已舍去）．
【点睛】本题为二次函数与几何综合，其中涉及到了二次函数的图象性质，一次函数与二次函数交点特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定及性质，平移变换，三角函数解直角三角形等知识点，利用数形结合思想以及合理作出辅助线是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)0或1
【分析】（1）先求出点C的坐标，利用，求出点A的坐标，结合，利用二次函数的交点式求解即可；
（2）求出直线的解析式，设交于点T，设点，可得，从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得，从而得，进而得到当时，取得最大值，此时点，作点H关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，由对称性可得点，，从而得到三角形的周长，再由两点之间线段最短得，且当、R、Q、依次共线时取得最小值，即可求解；
（3）根据题意可得将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于水平向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，从而得到，然后分两种情况：当K在下方时，当K在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点，即，
∵，
∴，
∴，
∴点，
∵抛物线交轴于，两点，且点，
∴可设抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设交于点T，
设点，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点，
如图，作点H关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，
由对称性得：，
∴，
∴点，
由对称性得：，
∴三角形的周长，
由两点之间线段最短得，且当、R、Q、依次共线时取得最小值，
此时三角形周长的最小值；
（3）解：∵，
∴，，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于水平向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，
∵，
∴，
当K在下方时，如图，此时点K记为点，设直线交于点R，交y轴于点M，过点M作于点L，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：（此时在x轴的下方，舍去），
∴点的横坐标为0；
当K在上方时，如图，此时点K记为点，设直线交y轴于点N，过点N作于点S，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：（此时在x轴的下方，舍去），
此时点的横坐标为1；
综上所述，满足条件的点K的横坐标为0或1．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数，二次函数的最值，一次函数与二次函数的交点，勾股定理，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)，，解答过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可；
（3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在上方时和当在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
由题意，设，，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，此时，
如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，，
则，，
∵拋物线与轴交于两点，
∴点A、B关于直线对称，
∴，
∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，
∵，
故的最小值为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵将拋物线沿方向平移，
∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线，
则平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过，
∴，解得，（舍去），
∴新抛物线的解析式为，
当在上方时，如下图，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
则T坐标为；
当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S，
∵，，
∴，又，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
故即T的坐标为，
综上，满足条件的所有点T坐标为和．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．
12．(1)
(2)
(3)9
(4)①；②，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个交点
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）求出时或，由图可得的取值范围是；
（3）先求出抛物线对称轴，根据抛物线对称性及增减性即可解答；
（4）①当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案；
由知，先求出点P关于直线对称的点的坐标为，结合函数图象分类讨论即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是；
（3）解：抛物线的解析式为，
抛物线关于直线对称，在处，有最大值，最大值为，
，，
当处，有最小值，最大值为，
当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差为：；
（4）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为，
当，即时，与重合；
当，即时，，
此时随的增大而减小，符合题意；
当，即时，，
此时随的增大而增大，不符合题意；
综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是；
由知，
抛物线关于直线对称，，
，
点P关于直线对称的点的坐标为，
如图，当时，
与抛物线有两个交点，
，
，与抛物线有两个交点，
如图，当时，
与抛物线有一个交点，
，与抛物线有一个交点；
综上，，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个个交点.
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．
13．(1)，
(2)的最大值，此时
(3)，）或或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再化成顶点式即可解答；
（2）过点A作x轴的垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E，再求得设直线的解析为，设，则；进而说明，即当取得最大值时取得最大值，再根据二次函数求得的最值即可解答；
（3）四边形中，边与为定值，即当最小时，四边形的周长最小．将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点．当点E运动到和点重合时最小，运用待定系数法求出直线的解析式为，将代入可求得点；然后分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线时三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，解得：，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴顶点G的坐标为．
（2）解：过点A作x轴的垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最大值时取得最大值，
∵，
∴当时，有最大值3，
∴，
∴的最大值，此时．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形中，边与为定值，
∴当最小时，四边形的周长最小．
将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点．
∴当点E运动到和点重合时最小，
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴点，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，解得：，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，解得：，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，，解得：，
∴．
综上所述，点H的坐标为）或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握中点坐标公式并灵活运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
14．(1)
(2)1，
(3)
【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答；
（2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可；
（3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A，
∴A的坐标为，
∴，
∵为等腰直角底边上的高，
∴，
∴．
把代入，解得：，
∴抛物线的解析式为即．
（2）解：设直线的函数解析式为，
∵，
∴的函数解析式为．
设，，
，
∴当时，最大为1，
∴．
（3）解：∵在抛物线上，
∴．
∵是此抛物线的对称轴，
∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，;
∴最短．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
15．(1)
(2)当时，二次函数的最大值为4，最小值为
(3)面积的最大值为，此时点P坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可；
（3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案．
【详解】（1）解：把点，点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：的对称轴为直线，
∵，
∴当时，函数取最大值，
∵，
∴当时，函数取最小值，
∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为．
（3）解：把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质．

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