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反比例函数中的面积模型归纳练2025年中考数学三轮复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)求直线与两坐标轴围成的的面积．
2．如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)连接，求四边形的面积．
3．如图，已知直线与轴、轴分别交于、A两点，与反比例函数的图像分别交于两点，点的坐标为．
(1)求和的值；
(2)求的面积．
4．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（）的图象交于点，．

(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)直接写出当时，x的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，，连结、．
(1)求B点的坐标．
(2)求四边形的面积．
6．如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且．
(1)求一次函数关系式和的值；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)直接写出的的取值范围______．
8．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．

(1)求点的坐标；
(2)连接，求的面积．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值以及点坐标；
(2)为轴上的一动点，的面积时，求点坐标．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点．

(1)求k，m，n的值；
(2)点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积．
11．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积．
12．如图，直线与双曲线相交于第一象限的两点，连接，过点A作轴于点C，交于点D，已知．
(1)设点A的横坐标为m，请直接写出点B的坐标；（用含的代数式表示）
(2)在（1）的条件下，当时，请求出该双曲线的表达及的面积；
(3)在（2）的条件下，请直接写出关于x的不等式的解集．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，反比例函数的表达式为．
(1)若反比例函数的图象经过正方形的中心．
①求的值；
②若反比例函数图象与交于点，连接，，求的面积．
(2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是_____．
14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集_____；
(3)若点为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，直接写出点的坐标_____．
15．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下：
(1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标；
(2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值；
(3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值．
《反比例函数中的面积模型归纳练2025年中考数学三轮复习备考》参考答案
1．(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为；
(2)．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
（1）由点可求得，联立得，求得，据此可求得点的坐标；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得，，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
联立得，
解得，
∵点在第一象限，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，当时，，
∴，，
∴．
2．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上的点、反比例函数与几何的综合等知识点，求得反比例函数解析式是解答本题的关键．
（1）证明得出，根据，，，得出，即可求得反比例函数解析式；
（2）勾股定理求得，，进而根据四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
∵点，都在反比例函数（）的图象上，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴
又∵
∴，
又，
∴
∴四边形的面积
3．(1)，
(2)4
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的图像与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数图像的交点．
（1）把点代入函数与即可求解；
（2）对于直线，分别令与，求出点A，B的坐标，得到，的长．解方程组得到点C，D的坐标，根据即可求解．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，解得，
∵反比例函数的图像过点，
∴；
（2）解：∵，
∴直线的解析式为，反比例函数解析式为，
对于直线，
令，则，
令，则，解得，
∴，，
∴，．
过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，
解方程组得或，
∴，，
∴，，
∴
．
4．(1)，
(2)3
(3)或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，
（1）将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求解；
（3）观察图像，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围即是所求答案．
【详解】（1）解：由过点，可得：
，解得：，
故，，
又由过点和可得：
，解得，
故；
（2）解：当时，可得：，
∴，
故，
则；
（3）解：由图象可知，当时，或．
5．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．
（1）将点A的坐标代入求出k的值，然后求出点B的坐标即可；
（2）利用计算解题．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入可得，
的值为8；
函数的解析式为，
，，
，
，
点B的横坐标为6，将代入，得，
点B的坐标．
（2）．
6．(1)一次函数关系式为，；
(2)
(3)、、、．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解；
（3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得：，
一次函数关系式为，
在一次函数图象上，
，
，
将代入，
得：；
（2）解：将与联立，得：，
解得，，
将代入，得
，
，
，
，
；
（3）解：，
．
当时，如图：
点M的坐标为：、；
当时，作轴于点H，
则，
，
点M的坐标为：；
当时，设点M的坐标为，
则，
解得，
点M的坐标为：；
综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
7．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；
(2)四边形的面积为
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质．
（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得D点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解；
（3）根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
∵
∴
∵，
，
，
，
∴
将代入中，
，
解得：，
，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
；
（3）解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方，
∴即的x的取值范围是或．
故答案为：或或．
8．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，则可求出点B坐标，进而求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标；
（2）根据，求出对应图形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，

∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴点；
将点代入中得，解得，
∴反比例函数解析式为．
在中，当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
9．(1)，，
(2)P点坐标为或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）将代入中，可得，把点代入中，可得，联立一次函数与反比例函数，即可求点坐标．
（2）将和分别代入一次函数中，得出点的坐标，根据面积，求得，设点坐标为，故，解得或，进而得出点坐标．
【详解】（1）解：将代入中，即，
∴，
把点代入，得，
联立，
得，，
∴．
（2）解：将代入中，得，
将代入中，得，
∴，，
∵为轴上的一动点，的面积，
∴，
∴．
设点坐标为，
∴，
即，
解得：或，
∴点坐标为或．
10．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过作轴于点，首先得到，求出，利用三线合一得到，然后求出，然后理由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，将代入得，
解得
∴一次函数
将代入得，；
∴
∴将代入得，
∴；
（2）解：如图所示，过作轴于点，

∵
∴
∵，
∴
将代入
∴
∴
．
11．
【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为．
【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C，
∵轴，
∴与的面积相等，
又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的面积为．
12．(1)
(2)9
(3)或
【分析】（1）根据的横坐标为m，可得的横坐标为，可得的横坐标为，从而可得答案；
（2）由，的横坐标可得方程组，求解，再进一步利用割补法求解即可；
（3）直接根据图象可得关于x的不等式的解集．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为m，在双曲线的图象上，
∴，
∵过点A作轴于点C，交于点D，
∴的横坐标为，
∵，
∴的横坐标为，
∵在反比例函数上，
∴；
（2）解：∵直线与双曲线相交于第一象限的两点，
∴将A的横坐标代入和中，
得，，
将B的横坐标代入和中，
得，，
解方程组，
得，
∴该双曲线的表达为，
该直线的表达为，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
记直线与轴交于，与轴交于，
当，则，当，则，
∴，
∴
；
∴的面积为9；
（3）解：根据图象可得：关于x的不等式的解集为：
或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，图象与不等式的关系，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
13．(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，画出图形，熟知反比例函数图象上的点的特征是解题的关键．
（1）①求得正方形的中心坐标，代入反比例函数即可解答；
②画出图形，求得点，利用三角形面积公式即可解答；
（2）画出图形，求临界值，即可解答．
【详解】（1）解：①正方形的顶点的坐标分别为，，
,
，
正方形的中心坐标为，
反比例函数的图象经过正方形的中心，
；
②如图，
由题意可得反比例函数解析式为，
当时，可得，
解得，
经检验是原方程的解，
，
，
的面积为；
（2）解：如图，将正方形分成9个边长为的小正方形，
根据题意可得，
当反比例函数经过点时，，
当反比例函数经过点时，，
若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是，
故答案为：．
14．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，得到双曲线，根据点B的纵坐标为，即，利用待定系数法计算解析式即可．
（2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可．
（3）根据直线与y轴的交点为C，且点，得到，结合，设点，则，根据面积关系列式计算即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴双曲线，
∵点B的纵坐标为，
∴即，
∵一次函数经过、两点，
∴，
解得，
故解析式为；．
（2）解：∵、，且，
故不等式的解集为或．
故答案为：或．
（3）解：连接，
∵直线与y轴的交点为C，
∴点，
∴，
∴，
设点，则，
∴．
∵，
∴．
解得或，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的综合，三角形面积的表示法，交点坐标的意义，交点横坐标确定解析式型不等式的解集，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
15．(1)
(2)2或3
(3)7或3
【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可；
（2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解；
（3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解．
【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵当时，，
∴平移后的图像与y轴的交点坐标；
（2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图，
则，设点坐标为，
则①，②,
解得，或，，
则或；
如图，在直线取一点，过T作轴于S，
则，，，
∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，
∴，即直线与x轴的夹角为；
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
即的值为2或3；
（3）解：解方程组，得或（舍去），
∴；
解方程组，得或（舍去），
∴，
∴，
∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4，
∴，
∴，
∵直线与两条曲线交于G、H，
∴当点H在点G右上方时，形成矩形为，
∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为，
根据轴对称性质，将代入得，
解得；
∴当点H在点G左下方时，形成矩形为，
∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为，
根据轴对称性质，将代入得，
解得；
综上，满足条件的b值为7或3．
【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键．

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