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2024-2025 学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若物体的运动方程是 = 3 + 2 1， = 2 时物体的瞬时速度是( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
2.若等差数列 的前 项和为 ，且 3 + 9 = 12，则 11的值为( )
A. 33 B. 44 C. 66 D. 132
3.函数 ( ) = e + 在 = 0 处的切线与直线 3 2 5 = 0 平行，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 12 D. 4
4.已知实数 是 1，4 的等比中项，则 =( )
A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2
5.已知 ( ) = ′(2025)ln + 1 2 ′2 ，则 (2025) =( )
A. 0 B. 2025 C. 1 D. 2025
6 = 3 +4 .已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 6 ，若 +2则 =( ) 6
A. 111 37 111 3713 B. 13 C. 26 D. 26
7.下列说法正确的是( )
A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1
B.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于 0
C.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712，根据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验
( 0.05 = 3.841)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05
D.由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可
能物理优秀
8.若函数 ( ) = + e ，点 是曲线 = ( )上任意一点，则点 到直线 : 2 9 = 0 的距离的最小值为
( )
A. 4 5 B. 3 52 C. 3 5 D. 2 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算正确的是( )
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A. 3 1
′
= 3
2 + 1 2 B. (ln2)
′ = 12
C. e ′ = ( + 1)e D. ( cos )′ = sin
10.对于变量 和变量 ，经过随机抽样获得成对样本数据 , ， = 1，2，3，…，10，且 = 2.2，样本数
据对应的散点大致分布在一条直线附近，利用最小二乘法求得经验回归方程： = 1.8 + 0.04，分析发现样
本数据(4,4.9)对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则( )
A.变量 与变量 具有正相关关系
B.剔除后，变量 与变量 的样本相关系数变小
C.新的经验回归直线经过点(2,3.9)
D.若新的经验回归直线经过点(3,5.9)，则其方程为 = 2 0.1
11.已知数列 满足 +1 + = ( )，则下列说法中正确的是( )
A.若 1 = 2， ( ) = 4 + 2，则 是等差数列 B.若 1 = 1， ( ) = 2 1，则 是等差数列
C.若 1 = 1， ( ) = 4，则 是等比数列 D.若 1 = 2， ( ) = 3 2 ，则 是等比数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为 3 盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开
了 盏灯．
13.若曲线 = ln + 在 = 1 处的切线经过点 (3,0)，则实数 = ．
14 1.已知数列{ }为等比数列， 1 = 32，公比 = 2，若 是数列{ }的前 项积，则 取最大值时， 的值
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求下列直线的方程：
(1)曲线 = 3 + 2 + 2 在 ( 1,2)处的切线；
(2)曲线 = 2过点 (2,3)的切线．
16.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 = +1 ， 2 = 2 1 + 1．
(1)求 1， 2，并证明：数列 + 1 为等比数列；
(2)求 1 + 2 + + 10的值．
17.(本小题 15 分)
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为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测
得排放的可吸入颗粒物浓度 (单位： / 3)、监控点与企业的距离 (单位： )的数据，并进行了初步处
1 1
理，得到了下面的一些统计量的值(其中 =
9
， = 9 =1 )： = 6， = 97.90， = 0.21，
9
=1 ( )
2
=

60，9 =1 ( )
2 = 0.14，9 2 =1 ( ) = 14.12，
9
=1 ( )( ) = 26.13，
9
=1 ( )( ) =
1.40．
(1) 利用相关系数，判断 = + 与 = + 哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度 关于监控点与该企业距
离 的回归方程类型？(精确到 0.001)
(计算过程中的可参考数据： 847.2 ≈ 29.107， 1.9768 ≈ 1.406)
(2)根据(1)的判断结果，求其回归方程，并预测当 = 20 时可吸入颗粒物浓度的预报值？
( )( )
附：对于一组数据( 1, 1)，( , ) … ( , ) =
=1
2 2 ， ， ，其线性相关系数为： ，
2 2 =1 ( ) =1 ( )

回归直线方程 = + = =1 ( )( )的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 2 ， = ． =1 ( )
18.(本小题 17 分)
对于三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( ≠ 0)，给出定义：设 ′( )是函数 = ( )的导数， ″( )是函数
′( )的导数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称点 0, 0 为函数 = ( )的“拐点”.某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给
1 1 13
定函数 ( ) = 33 2
2 + 12，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
(1)求 = ( )的对称中心．
(2) 1 2 3 2 1求 = 2 + 2 + 2 + + 2 ．
(3) 记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若 ≤ 对 ∈ +恒成立，求 的取值范围． +1
19.(本小题 17 分)
二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若十
进制数 = × 2 + × 2 1 + × 2 20 1 2 + + 1 × 21 + 0 × 2 ，其中 0 = 1， ∈ {0,1}，则 对应的
二进制数为 0 1 2 2( ∈ )．
(1)十进制数 6，2025 分别用二进制表示．
(2)证明：满足 0， 1， 2，…， 6中有且只有 3 个 1 的所有二进制数 0 1 2 6 2对应的十进制数的和为
1275．
(3)将 对应的二进制数中 1 的个数记为 ( )，则 (2 + 1) = (16 + 4)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.93
13. 23
14.5 或 6
15.解：(1) ′ = 3 2 + 2 ，故曲线 = 3 + 2 + 2 在 ( 1,2)处的切线斜率为 = 3 × ( 1)2 + 2 × (
1) = 1，
故在 ( 1,2)处的切线方程为 2 = ( 1)，即 = + 3；
(2)设切点为 0, 20 ，因为 ′ = 2 ，故曲线在 0, 20 处的切线方程为 20 = 2 0 0 ，
化简可得 = 2 20 0，代入 (2,3)可得 3 = 4 20 0，
即 0 1 0 3 = 0，解得 0 = 1 或 0 = 3，
代入切线方程可得 = 2 1 或 = 6 9．
16. = = 1解：(1)由已知可得 1 1 2 = 2 + 1，解得 1 = 0， 2 = 1，2 1
∵ = +1 ，
∴ 1 = ( 1)， ≥ 2，
两式相减得 = +1 1，即 +1 = 2 + 1，
∴ +1 + 1 = 2 + 1 ( ≥ 2)，又 2 + 1 = 2 1 + 1 ，
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所以 +1 + 1 = 2 + 1 ∈ N ，因为 1 + 1 = 1 ≠ 0，
所以数列 + 1 为等比数列．
(2)由(1)得， + 1 = 2 1 ，∴ 1 = 2 1，

∴ = 1 + + + = 1+ 2 + 22 + + 2 12 =
1 2
1 2 = 2
1，
∴ 21 + 2 + + 10 = 2+ 2 + + 210 (1 + 2 + + 10) 10
10
= 2 1 2 10×11 111 2 2 10 = 2 2 55 10 = 1981．
9
17.解：(1) = + 的线性相关系数 = =1 ( )( )1
9 =1 ( )2
9
=1 ( )2
= 26.1360×14.12 ≈ 0.898，
9
= + ( )( ) 的线性相关系数 =
=1
2
9 =1 ( 1 )2
9 2
=1 ( )
= 1.400.14×14.12 ≈ 0.996，
因为| 1| < | 2|，
所以 = + 更适宜作为可吸入颗粒物浓度 关于监控点与企业的距离 的回归方程类型．
9
(2)由题意可得， = =1 ( )( ) = 1.409 2 0.14 = 10， =1 ( )
所以 = = 97.9 ( 10) × 0.21 = 100，
所以 = 100 10 = 100 10 ，
故 关于 的回归方程为 = 100 10 ，
10
当 = 20 时，可吸入颗粒物浓度的预报值为 = 100 20 = 99.5 /
3．
18. 1 1解：(1)由 ( ) = 33 2
2 + 1312可得
′( ) = 2 ，
所以 ″( ) = 2 1，
令 ″( ) = 0，可得 = 12，
1 1 1 3 1 1 2 13
易知 2 = 3 × 2 2 × 2 + 12 = 1，
所以 = ( ) 1的对称中心为 2 , 1
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(2) 1由(1)中 = ( )的对称中心为 2 , 1 ，可得 ( ) + (1 ) = 2，
1 2 3 2 1
因为 = 2 + 2 + 2 + + 2 ，
2 1 2 2 2 3 1
所以 = 2 + 2 + 2 + + 2 ，，
两式相加可得 2 =
1 2 1 2
2 + 2 + 2 +
2 2 + + 2 1 + 12 2 2
= 2(2 1)，
可得 = 2 1，
(3)由(2)可得数列 为等差数列，且 1 = 1，
(1+2 1)
所以 = 2 2 = ；
2 2 1+1 1 4 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1可得
=
+1 (2 1)(2 +1)
= 4 2 1 = 4 + 4 2 1 = 4 + 4 (2 1)(2 +1) = 4 + 4 × 2 2 1 2 +1 = 4 +
1 1 1
8 2 1 2 +1 ；
= 1 + 1 1因此 4 8 1
1
3 +
1
4+
1 1 1 1 1 1 1
8 3 5 + + 4 + 8 2 1 2 +1
= + 1 1 1+ 1 1 + + 1 1 = + 1 1 1 ( +1)4 8 1 3 3 5 2 1 2 +1 4 8 2 +1 = 2(2 +1)；
若 ≤ 对 ∈
( +1)
+恒成立，可得
2
2(2 +1) ≤ ，
≥ +1 +1即 2 (2 +1) = 4 2+2 ，
令 + 1 = ≥ 2，可得 ≥ 1 14 2 6 +2 = 2恒成立，所以 ≥ 2 , ∈ [2, + ∞)；4 6+ 4 6+ max
= 4 6 + 2 2令 ，由对勾函数性质可知函数 = 4 6 + 在[2, + ∞)上单调递增，
2 1
因此 min = 4 × 2 6 + 2 = 3，可得 ≥ 3，
即 1的取值范围为 3 , + ∞ ．
19.解：(1)6 = 4 + 2 = 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = (110)2，
2025 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 1
= 1 × 210 + 1 × 29 + 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25
+0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 = (11111101001)2．
(2) = 0 × 26 + 1 × 25 + + 1 0 25 × 2 + 6 × 2 ，其中 0 = 1, 1, 2, , 6中有且只有 2 个 1，有 6 = 15
种可能；
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所以所有二进制数 0 1 2 6 2对应的十进制数的和中，
26出现 26 = 15 次，25, 24, …, 21, 20均出现C15 = 5 次，
所以对应的十进制数的和为C15 25 + 24 + + 21 + 20 + C2 66 × 2 = 1275，
(3) = × 2 + × 2 1 + × 2 20 1 2 + + 1 0

1 × 2 + × 2 ，则 ( ) = =0 ，
又 2 + 1 = × 2 +1 + 1 2 10 1 × 2 + 2 × 2 + + 1 × 2 + × 2 + 1，
故 (2 + 1) = =0 + 1 = ( ) + 1，
由于 16 + 4 = × 2 +4 + × 2 +3 + × 2 +2 + + × 25 + × 24 + 220 1 2 1 ，
故 (16 + 4) = =0 + 1 = ( ) + 1，故 (2 + 1) = (16 + 4)．
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