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反比例函数中的面积模型归纳练
2025年中考数学三轮复习备考
1．如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积．
2．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求的值；
(2)直接写出点的坐标；
(3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为．
(1)求点的坐标和的值；
(2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积；
(3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
6．春分时节放风筝，象征着人们对美好生活的向往和对自由的追求．放风筝也是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史．风筝最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，．直线：与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上．
(1)求反比例函数的解析式及点A的坐标．
(2)求点H的坐标．
(3)以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，的取值范围为________；
(3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积．
8．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出使成立的的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积等于的面积，求点的横坐标；
(3)将在平面内沿某个方向平移得到（其中点、、的对应点分别是、、），若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．
10．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)k的值为_____，点B的坐标为_____．
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积．
(3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．
11．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若点关于原点的对称点为，求的面积；
(3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．

(1)求点的坐标；
(2)连接，求的面积．
13．在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．
(1)若点E是中点，求反比例函数的表达式；
(2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标；
(3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程．
14．已知点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．
(1)求k的值和点的坐标；
(2)若点在反比例函数图象上，连接并延长至点，使得，连接，，
①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分；
②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求与面积之比．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上．
(1)求m的值和反比例函数的关系式；
(2)连接、，求的面积；
(3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
《反比例函数中的面积模型归纳练2025年中考数学三轮复习备考》参考答案
1．
【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可．
【详解】解：作于，于，
双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点，
矩形的面积为：，
，
，
，
，
，
，
．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
（1）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（2）分别求出、的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入得，，
，
轴，
点的横坐标为，
把代入得，，
，
，
．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可；
（3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．．
【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式，
则；
（2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为；
（3）解：设正比例函数的解析式为，
将代入可得，
解得：，
则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为，
将代入反比例函数解析式，解得，
将代入，
解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴．
4．(1)，；
(2)的面积是；
(3)存在，，．
【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标；
（2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解；
（3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、两点间距离、一次函数求出对应的点坐标即可．
【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为，
点的坐标为，
，
，
与的图象的交点关于原点对称，
点与点关于原点对称，
；
（2）解：，，
，
又，
，
，
设，则，
又在的图象上，
，
，
，
；
（3）解：存在点，，使得四边形是矩形，，，理由如下：
设直线的解析式为，把代入，
则，
直线的解析式为，
设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，即
设过点且与垂直的直线的解析式为，
将代入可得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合），
四边形是矩形，
，且，，
设的解析式为，的解析式为，
当时，，
即的解析式为，
此时，
设，
则，
解得，即，
当时，同理可得．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、反比例函数图象与性质、求一次函数表达式、两点间距离、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标．
5．(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（）先把点代入求出，然后再代入把点的坐标为代入即可求出；
（）过点作直线轴于，分别求出，的长，再利用即可求解．
【详解】（1）解∶将点代入得：，
∴点的坐标为，
将点代入，得；
（2）解：过点作直线轴于，
∵点的坐标为，
∴，
由一次函数可得，
当时，，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
6．(1)反比例函数的解析式为，
(2)
(3)
【分析】（1）求出B点坐标，将B点代入反比例函数解析式可求k的值，当时，求出A点坐标即可；
（2）过点A作轴，过点D作交于E点，过点B作交于F点，可证明，能求出，再由中点坐标公式求出；
（3）直线与抛物线的交点为，则．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，弄清筝形的定义，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）将点代入，
∴，
∴，
∵B点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，解得或，
∴；
（2）过点A作轴，过点D作交于E点，过点B作交于F点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵H是的中点，
∴；
（3）设直线的解析式为
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，解得或，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键，
（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答；
（3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方，
又∵，
∴由图像可知或．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
四边形的面积
．
8．(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键．
（1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当，则，解得：，
∴点B的坐标为．
∵一次函数过A、B两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线与x轴交于M，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，．
9．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】（1）将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案；
（2）如图，作于反比例第一象限的交点为，可得的面积是面积，直线为，再建立方程组求解即可；求解，把直线向上平移4个单位可得，直线与反比例函数在第一象限的交点为，再进一步求解即可；
（3）由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数解析式；
（2）解： 如图，作于反比例第一象限的交点为，与轴的交点为，

∴的面积是面积，
直线为，
∴，
解得：或，
∴，
∵直线为，
当时，，
∴，
∴把直线向上平移4个单位可得，
记直线与反比例函数在第一象限的交点为，此时满足条件；
∴，
解得：或；
∴；
综上：点的横坐标为或；
（3）解：如图，由题意可知， ，
四边形是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称，
，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，平行四边形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
10．(1)8；
(2)15
(3)或
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可；
（2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，，，根据，求出结果即可；
（3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点A横坐标为4，
∴把代入得：，
∴，
∵点A是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为：；
（2）解：如图，

∵点C在双曲线上，纵坐标为8，
∴把代入得：，
∴点C的坐标为，
过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，
则，，，，，，
∴
；
（3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设点P的横坐标为（且），则，
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴，
若，如图所示，

∵，
∴，
∴．
∴，（舍去），
∴；
若，如图所示，

∵，
∴．
∴，
解得，（舍去），
∴．
∴点P的坐标是或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，反比例函数几何综合，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质，注意进行分类讨论．
11．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解；
（2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点．
12．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，则可求出点B坐标，进而求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标；
（2）根据，求出对应图形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，

∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴点；
将点代入中得，解得，
∴反比例函数解析式为．
在中，当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
13．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可；
（2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，
∵点E是中点，
∴，
∴把代入得到，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M．
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵E在P右边，
∴，
∴此时；
②如图3中，当E在P左边时，作轴于M．
设，则，
同理可得，
解得：或，
∵E在P左边，
∴，
∴此时；
综上所述，当或时，的面积为面积的2倍．
（3）解：设，则，
∵当E在P点左边，
∴；
①如图，当，时，作于S点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当，时，作轴于T点，
则同①可证得，
∴，
∴，
∴；
③如图，当，时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，，
∴此时
综上，或或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键．
14．(1)，
(2)①见解析；②2
【分析】（1）过点作轴于点，由旋转性质得：，，可证得，得出，，进而可得，求得，由，可得；
（2）①过点作轴于点，过点作于点，则，由轴，可得，，由，可得，由，可得，再证得是等腰直角三角形，即，可得平分；
②由旋转性质可得，，证得四边形是正方形，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组可得，进而得出，进而可得．
【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，
则，
将绕着点顺时针旋转至点，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
；
（2）①证明：如图2，过点作轴于点，过点作于点，
则，
，轴，
，，
，
连接并延长至点，使得，
，
，
四边形是矩形，
，，
同理可得，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
平分；
②解：将沿着翻折，点的对应点为恰好落在线段上，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，将代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
15．(1)，
(2)3
(3)
【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可；
（3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令，则，
令，则，
∴，，
∵点C为线段的中点
∴，
∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，
∴，，
把，，分别代入，得
，解得：，
∴m的值为1，
反比例函数的关系式为．
（2）解：设直线交x轴于F，
由（1）知：，，，
∴，，
设直线解析式为，
把，分别 代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴
．
（3）解：由(1)知∶ ，，
∴，
∴
设点P的坐标为，点Q的坐标为，
由(2)知∶ ，
∴， ， ，
当时，则
∴
解得：，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目．

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