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反比例函数与梯形的综合应用
----2025年中考数学二轮复习训练
1．如图，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且平行于y轴．
(1)求反比例函数与直线的函数关系式；
(2)求梯形的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式 的解集；
(3)尺圆作图：过点作轴，交于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求b和k的值：
(2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于和两点， 直线与x轴相交于点 C， 连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B 作平行于x轴，交于点 D， 求梯形的面积．
5．如图所示，直线与函数的图象交于两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点，轴于E，轴于F．已知的面积是面积的倍．

(1)求的值；
(2)若梯形的面积为6，求k和m的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数． 所在直线与反比例函数 的图象在第一象限内交于和 两点， 连接， 把沿x轴向右平移3个单位长度得到线段恰好过点 B且点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)求梯形的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点C， 连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B 作轴，交于点D，（提示：即作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
9．如图，平行于轴的直尺一部分与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，(注：平面直角坐标系内一个单位长度为)．

(1)求反比例函数解析式；
(2)若经过，两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集；
(3)求梯形的面积．
10．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
(1)填空：k1＝　 　，b＝　 　；k2＝　 　；
(2)结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
(3)在梯形ODCA中，ACOD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
11．如图所示，正方形的顶点在坐标原点处，点、分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的动点（不与、重合），连接，过作交于点，反比例函数的图象过正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式
（2）当点在上运动时，设，试求梯形面积的最小值；
（3）设点为双曲线上任意一点，则点到点，的距离的差的绝对值等于一个常数，请直接写出这个常数．
12．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
13．如图1，直线y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值；
（2）结合图形，在第一象限内，直接写出k1x+b﹣＞0时，x的取值范围；
（3）如图2，梯形OBCE中，BC∥OE，过点C作CE⊥x轴于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCE的面积为9时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

14．如图，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．设点B的坐标为（m，n）.
（1）直接写出点E的坐标，并求出点D的坐标；（用含m，n的代数式表示）
（2）若梯形ODBC的面积为，求双曲线的函数解析式.
15．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求、的值？
（2）直接写出时x的取值范围？
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)6.5
【分析】本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；运用梯形的面积公式进行计算．
（1）由于反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，则把分别代入两个解析式可求出k与b的值，从而确定反比例函数的图象与直线的函数关系式；
（2）先把点A的横坐标为2，点B的横坐标为3代入中得到对应的纵坐标，则可确定A点坐标为，点B的坐标为，由平行于y轴可得点D的横坐标为2，点C的横坐标为3，然后把它们分别代入中，可确定D点坐标为，点C的坐标为，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在直线上，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵点A、B在直线上，
∴当时，，当时，，
∴A点坐标为，点B的坐标为，
又∵平行于y轴，
∴点D的横坐标为2，点C的横坐标为3，
而点D、C为反比例函数y=的图象上，
∴当，则，当，则，
∴D点坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴梯形的面积．
2．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
(2)；
(3)作图见解析，梯形的面积为．
【分析】（）把代入可求出反比例函数的表达式，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象解答即可求解；
（）作即可得到直线，再求出点坐标即可求出梯形的面积；
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的几何应用，根据题意正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴关于的不等式 的解集为；
（3）解：如图所示，直线即为所求；
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标相同，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．(1)，6
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键．
（1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可；
（2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解；
（3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点，
∴把点代入一次函数，得：
∴
∴一次函数的解析式为：，
把点代入，得：，
解得，
∴，
把代入，得，
（2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图，
∵，故为等腰直角三角形，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点G的坐标为，
设直线的表达式为，
把代入得，，
解得，
故直线的表达式为；
（3）解：∵是梯形，
∴当时，如图，
∵，点在轴上，
∴；
当时，如图，
对于，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
综上，点的坐标为或
4．(1)，
(2)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）求的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
把代入一次函数得：
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）∵，设的解析式为：，则，
解得，
∴的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
5．(1)
(2)，
【分析】（1）先根据反比例函数的性质得到；再根据并利用三角形的面积公式得到，然后求出C点坐标，进而完成解答；
（2）由（1）知，变形为①，由与消去x得关于y的方程②，利用根与系数的关系得到,然后代入①，得，把点分别代入可得、，易得，利用，然后把代入即可得到k的值，再把k的值代入求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵在函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中令，得，即C点坐标为，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即①，
由可得，代入并整理得：②，
依题意，y1，y2是此方程的两根，
∴，
代入①得：，解得，
∵点在直线上，所以有，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，代入可得：，解得：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了图象上点的坐标特征、利用坐标表示线段的长、一元二次方程根与系数的关系、利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
6．(1)反比例函数为，一次函数为
(2)或
(3)梯形的面积为9
【分析】（1）根据平行四边形性质得到A，C两点的坐标，根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可；
（3）先求出，再求出，两者做差就得梯形面积．
【详解】（1）解：根据题意知，，，
四边形是平行四边形，
点和点的横坐标相差3，纵坐标相同，
即，
，，
反比例函数的图象过，
.，
反比例函数为，
把代入，得，
，
把，代入得：
，
解得，
一次函数为；
（2）由函数图象可得的解集为或；
（3），点A到的距离为4，
，
，
点B到的距离为，
，
．
梯形的面积为9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，图形的平移，反比例函数与一次函数解析式的求解，由函数图像求不等式的解集等知识，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
7．(1)，
(2)
(3)9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及尺规作图，利用图象求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）利用待定系数法，先把代入反比例函数，求出的值，再求出A的坐标，从而求出一次函数的解析式，即可作答．；
（2）利用数形结合思想可求解；
（3）先作图，再求出的坐标，得出是的中点，得出是的一半，根据梯形面积公式代入数值，即可作答．
【详解】（1）解： 反比例函数图象过，
，
反比例函数的表达式为：，
把代入得：，
，
一次函数的图象过点，点，
，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：观察函数图象可得，当时，当时，的图象在的图象上方，
∴的解集为：；
（3）解：如图：
∵直线与轴相交于点C，一次函数的表达式为
∴时，
∴
，
∴
∵
∴是的中位线
∴
则梯形的面积．
8．(1)反比例函数为：，一次函数为．
(2)
(3)9
【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：．
（3）∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
9．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）可得，代入即可求解；
（2）根据图象求出的解集，即可求解；
（3）可求，从而可求解．
【详解】（1）解：由题意可知
将点坐标代入得：
，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：由图象可知：点横坐标为，
的解集是或，
关于的不等式的解集是或；
（3）解：如图，连接和，
点坐标为， 轴，
当时，，
点坐标为，
，，，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与不等式的关系，面积问题等，掌握求法是解题的关键．
10．(1)3，9，-6
(2)﹣2＜x＜﹣1或x＞0
(3)M点的坐标为（﹣5， ）
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）设点M的坐标为（m，-），则D（m，0），C（m，3），即可得出AC=-2-m，CD=3，OD=-m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=图象交于点B（-1，6）、A，
∴k2=-1×6=-6，
∴反比例函数y=-，
把y=3代入得，3=-，
∴x=-2，
∴A（-2，3），
把A、B坐标代入y=k1x+b得，
解得，
故答案为：k1=3，b=9，k2=-6，
（2）由图象可知，k1x+b＞时x的取值范围是-2＜x＜-1或x＞0；
（3）设点M的坐标为（m，-），
∵CD⊥x轴于D，
∴D（m，0），
∵AC∥OD，A（-2，3），
∴C（m，3），
∴AC=-2-m，
∴CD=3，OD=-m，
∴S梯形AODC=（AC+OD） CD，
即12=（-2-m-m）×3，
解得m=-5，
∴M点的坐标为（-5，）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
11．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）梯形的下底和高是定值，所以当梯形的上底BD最小时，梯形面积最小，，结合正方形的性质证得，然后利用相似三角形的性质求得y与x的函数关系式，利用二次函数的性质求最值；
（3）设反比例函数上的点，然后根据勾股定理计算两点间距离进行计算即可；
【详解】.解：（1）∵反比例函数的图象过点
∴
∴反比例函数的解析式为
（2）由（1）知，正方形的边长为2，
则．设
∵
∴
∴
∵是正方形，
∴∠AEO＋∠OAE＝90°
∴
∴
∴，即
得
此抛物线的顶点是，且，抛物线的开口向下
所以，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小
当时，
当时，
∵
∴当时，有最小值为
∴此时梯形面积的最小值为
（3）设反比例函数上的点
∴
∴
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
12．（1）4；（2）（3，2）；（3）
【分析】（1）一次函数与轴交于点，与轴交于点，求出点，坐标，利用三角形面积公式：计算即可；
（2）根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标；
（3）①先分析四边形中对边与不平行，证明同旁内角相加不是180度，即度．②再分析四边形中对边，由此得出．过，分别作，的垂线，垂足分别为，，由旋转得出△，解出坐标，代入，可得值．
【详解】解：（1）因为直线，
令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2，
，，
，，
△的面积；
（2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
设直线A′B的解析式为y=kx-4，
把D（2，0）代入得0=2k-4，
解得k=2，
∴直线A′B的解析式为y=2x-4，
由，解得：或，
∴点A′的坐标是（3，2）；
（3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴．
①证明与不平行；
∵，在中，
令，则，
又，
则，
（由于在中，，即，
所以与不平行；
②当时，可得，
即，，
又，，
所以，
过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为，
∵BC=，AB=8，OC=2，
∴AM==，
∴BM==，
∴，
由旋转易得△，
，，
又，
∴，
，，
又点在反比例函数图象上，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，三线合一，面积法，解题的关键是掌握函数图像上的点坐标满足函数关系式．
13．（1）k1、k2的值分别为﹣3，6；（2）1＜x＜2时，k1x+b﹣＞0；（3）PC＝PE．理由见解析.
【分析】（1）先把A（1，6）代入y＝可求得k2＝1×6＝6，再把B（a，3）代入y＝可得a＝2，即B点坐标为（2，3），然后把A（1，6）、B（2，3）代入y＝k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可；（2）观察图象得到当x＜0或1＜x＜2时，直线y＝k1x+b都在反比例函数y＝的图象上方，即k1x+b﹣＞0；（3）根据梯形的性质得到BC∥OE，则由B点坐标为（2，3），得到C点的纵坐标为3，设C点坐标为（a，3），则E点坐标为（a，0），P点的横坐标为a，利用P点在y＝的图象上，则P点坐标为（a，），根据梯形的面积公式得到（BC+OE）×CE＝9，即（a+a﹣2）×3＝9，解得a＝4，易得PC＝3﹣，PE＝﹣0＝，于是有PC＝PE．
【详解】（1）把A（1，6）代入y＝得，k2＝1×6＝6，所以反比例函数的解析式为y＝，
把B（a，3）代入y＝得，3＝，解得a＝2，所以B点坐标为（2，3），
把A（1，6）、B（2，3）代入y＝k1x+b得， ，解得 ，所以k1、k2的值分别为﹣3，6；
（2）1＜x＜2时，k1x+b﹣＞0；
（3）PC＝PE．理由如下：
∵四边形OBDE为梯形，
∴BC∥OE，
而B点坐标为（2，3），
∴C点的纵坐标为3，
设C点坐标为（a，3），
∵CE⊥x轴，
∴E点坐标为（a，0），P点的横坐标为a，
∵P点在y＝的图象上，
∴P点坐标为（a，），
∵梯形OBCE的面积为9，
∴（BC+OE）×CE＝9，即（a+a﹣2）×3＝9，解得a＝4，
∴C点坐标为（4，3），P点坐标为（4，），E点坐标为（4，0），
∴PC＝3﹣＝，PE＝﹣0＝，
∴PC＝PE．

【点睛】本题考查反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足反比例函数图象的解析式；平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同；合理运用梯形的性质和面积公式建立等量关系．
14．（1）E（，），D（，）；（2）
【分析】（1）根据点E为矩形OABC的边BC的中点，可得点B,E横坐标相同，点E纵坐标是点B纵坐标的一半，设双曲线的函数解析式，把点E坐标代入求得k的值，根据题意可知点D和点B纵坐标相同，代入解析式，可求得点D横坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求得mn的值，代入（1）中的k可求出结论．
【详解】解：（1）∵点E为矩形OABC的边BC的中点，
∴E（，）
∴设双曲线的函数解析式，
∴，
∵D（，），
∵
∴
∴D（，）
（2）∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．（1）k1=﹣3，k2=6；（2）1＜x＜2；（3）PC=PE，理由见解析．
【分析】（1）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数解析式利用待定系数法即可求得k1的值；
（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，据此解答即可；
（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，进而可得结论．
【详解】解：（1）由题意：k2=1×6=6，∴反比例函数的解析式为：，
又∵B（a，3）在的图象上，∴a=2，
∴B（2，3），
∵直线过点A（1，6），B（2，3），
∴ ，解得：；
∴k1=﹣3，k2=6；
（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，x的取值范围：1＜x＜2；
（3）判断PC=PE．
理由：设点P的坐标为（m，n），
∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m－2，OD=m＋2，
∴S梯形OBCD=，即，解得：m＝4，
又∵mn＝6
∴，即
∴PC=PE．
【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，解题时要注意反比例函数图象上的点的坐标特点和利用待定系数法求函数解析式的方法，此外还要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标．

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