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2024-2025 学年四川省天立教育集团高一下学期期中联测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简： + =( )
A. 2 B. 2 C. 0 D. 0
2.在△ 中，“sin > sin ”是“ > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将函数 = sin(2 6 )的图象平移后所得的图象对应的函数为 = sin2 ，则进行的平移是( )
A. 向右平移6个单位 B.向左平移12个单位 C.向右平移12个单位 D.向左平移6
个单位
4 3.若 为第三象限角，且 sin = 5，则 tan

2 =( )
A. 3 B. 13 C. 2 D. 2
5.已知向量 = (2,1)， = ( 1, )，若 在 上的投影向量的模为 5，则 的值为( )
A. 2 B. 1 12 C. 2 D. 2
6.已知 cos cos = 45，sin + sin =
3
5，则 cos(2 + 2 ) =( )
A. 1 B. 12 C.
1
2 D. 1
7.已知在 中，∠ = 60 , = 3，若满足条件的三角形有且只有一个，则 的取值范围是( )
A. { ∣0 < < 3} B. { ∣0 < < 3或 = 2}
C. { ∣0 < ≤ 3} D. { ∣0 < ≤ 3或 = 2}

8.已知 , , 在 所在平面内，满足 + + = 0，且 = = ，
|
+
|

|
=
| |
+
| |
= + = 0，则点 , , 依次是 的( ) | | | | |
A.垂心，外心，内心 B.重心，外心，内心 C.重心，垂心，外心 D.重心，垂心，内心
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 1，| + | = 3，则下列结论中正确的有( )
A. π与 夹角为 B. = 16 2 C. |
| = 1 D. 与 π夹角为3
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10.已知函数 ( ) = cos( + ), > 0, | | < π2的部分图象如图所示，其中
π
6 , 0 ,
2π
3 , 0 ，则( )
A. = 2 B. = π6
C. ( )在 π, 3π2 上单调递减 D. ( )在 0,2025π 上有 4050 个零点
11.如图，正方形 的边长为 1， , 分别为边 , 上的点．则以下选项正确的有( )
A.存在 , 使 是正三角形
B.若 π的周长为 2，则∠ = 4
C.若 为 2中点，则 的周长的最小值为 5 + 2
D. π若∠ = 3，则 的面积的最大值为 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 2.在 中，已知 是 边上一点，若 = ， = 3 + 3
，则实数 的值是 ．
13.如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点 ，在 处测得 处的无人机
和塔顶 的仰角分别为 30°，45°，且在 处无人机测得点 的仰角为 15°，点 ， ， 在同一条直线上.则塔
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的高度 与无人机距地面的高度 之比为 ．
14.若存在 1, 2 ∈
π π
2 , π 使 ( ) = sin 4 满足 1 + 3 2 1 = 8，则正数 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2), = ( 5, )．
(1)若 // ，求 的值；
(2)若 ⊥ + 2 ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2cos cos π6 3sin
2 + sin cos ．
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)若锐角 , π = 8 , cos( + ) = 5 + π满足 2 6 5 13，求 2 12 ．
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边，cos2 + sin = 1 且 = 3 3．
(1)求 ；
(2)若 的外接圆的面积为 9π，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 6， = 5， = 15．
(1)求∠ 的值；
(2)若 = + ，求 、 的值；
(3)设点 为线段 上的一动点，求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
π
已知函数 ( ) = sin(2 + ), | | < 2，且 ( +
π
8 )为偶函数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 ( ) π的图象向右平移4个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的 2倍，得到函数 ( )
的图象．
①求不等式 ( ) > 1 的解集；
π
②若关于 的方程 ( ) ( ) = 在 0, 2 内有两个不同的解 1, 2，求 tan
2 1 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.2
14. 11 , 7 154 2 ∪ 4 , + ∞
15.【详解】(1)若 // ，则 2 × ( 5) = 1 × ，即 = 10，
则 = ( 5, 10)， = 25 + 100 = 5 5．
(2) ⊥ + 2 ，则 + 2 = 2 + 2 = 5 + 2 = 0，则 = 52，
= 5 + 2 = 52，得 =
5
4．
16.【详解】(1) ( ) = 3cos2 + cos sin 3sin2 + sin cos = 3cos2 + sin2 ．
= 2 32 cos2 +
1
2 sin2 = 2 sin
π π
3 cos2 + cos 3 sin2 = 2sin 2 +
π
3 ，
所以函数 ( )的最小正周期 = π．
(2) π 8 4因为 2 6 = 2sin = 5，得 sin = 5，
3
又因为 是锐角，所以 cos = 5，
因为 , 是锐角，所以 + ∈ 0, π ，且 cos( + ) = 5 1213，所以 sin( + ) = 13，
则 cos = cos ( + ) = cos( + )cos + sin( + )sin
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= 5 313 × 5 +
12
13 ×
4 33
5 = 65，
故 π π 33 662 + 12 = 2sin + 2 = 2cos = 2 × 65 = 65．
17.【详解】(1)由 cos2 + sin = 1 2sin2 + sin = 1，得 sin 2sin 1 = 0，
因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0 1 π 5π，所以 sin = 2，所以 = 6或 6 ．
(2)设 的外接圆的半径为 ，由π 2 = 9π，解得 = 3．

由正弦定理，sin = 2 = 6，得 = 6sin = 3．
> π因为 ，所以 > ，由(1)可得 = 6．
2+ 2 2 27+ 2 9 3
由余弦定理，cos = 2 = 6 3 = 2 ，
得 2 9 + 18 = 0，解得 = 3 或 = 6．
故当 = 3 时， 1 9 3的面积为2 sin = 4 ；
当 = 6 时， 1 9 3的面积为2 sin = 2 ．
18. (1)cos∠ =
15 1
【详解】
= 6×5 = 2，且∠ ∈ 0, π ，
∴ ∠ = 2π3；
(2)过点 作 // 交 的延长线于点 ，
因为∠ = π ∠ = π ∠ = π3，
且∠ = π ∠ = π3，
∴△ 是正三角形，| | = | | = | | = 5，
∴ 11在 中， = + = + 6
，
= 116 , = 1．
(3)设 = ， ∈ [0,1]，
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则 = + = 11 + 6 ，
= = + 11 6 1
，

11 11 2 11 11 2 22
= 6 +
+ 1 = 6 + 6 6 1
+ 1 6
11 11 22
= 25 + 6 6 1 × 36 + 6 1 × ( 15)
= 121 2 121 + 40，
2
令 ( ) = 121 2 121 + 40 = 121 12 +
39
4，
∵ ( ) 1 1在 0, 2 上递减，在 2 , 1 上递增，
1 39
且 2 = 4 , (0) = (1) = 40，
所以 39的取值范围是 4 , 40 ．
19.【详解】(1)因为 ( + π π8 )为偶函数，所以 ( )的图象关于 = 8对称，
2 × π即 8 + =
π
2 + π ∈ Z ，则 =
π
4 + π ∈ Z ，
| | < π π又 2，得到 = 0, = 4，
故 ( ) π的解析式为 ( ) = sin 2 + 4 ；
(2) π①由题意得将 ( )的图象向右平移4个单位长度，
再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的 2倍，得到函数 ( )的图象
则 ( ) = 2sin 2 π4 +
π π
4 = 2sin 2 4 ，
π 2
令 ( ) > 1，则 sin 2 4 > 2 ，
π
解得4 + π < <
π
2 + π ∈ Z ，
( ) > 1 π即不等式 的解集为 4 + π,
π
2 + π ∈ Z ；
②令 ( ) = ( ) ( )，
则 ( ) = 2sin 2 π4 sin 2 +
π
4 ，
即 ( ) = 2sin 2 π4 cos 2
π
4 = 3sin 2
π
4 + ，
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其中辅助角 的终边过点 2, 1 ，即 cos = 6 33 ，sin = 3 ，tan =
2
2 ，
π π
因为 0, 2 ，则 2 4 + ∈
π
4 , +
3π
4 ，
3π
则由图可知 ∈ 3sin + 4 , 3 ，即 ∈
2
2 + 1, 3 ，
2 π+ + 2 π+
由 = ( 1) = ( )
1 4 2 π
2 得
4
2 = 2，
3π 3π
得到 1 + 2 = 4 ，则 1 2 = 2 1 + 4，
sin2 2 + 3π
即 tan2 = tan21 2 2
3π 1 4
1 + 4 = × cos2 2 + 3π
，
1 4
2
cos2 2 1+
π
= × 4
1
2 π = ×
3 = 3 ，
sin 2 1+ 2 4 3
由反比例函数性质得 = 3 2 在 2 + 1, 3 上单调递减，
2
由正比例函数性质得 = 在 2 + 1, 3 上单调递减，
则 ( ) 2在 2 + 1, 3 3 = 0
2+ 1 = 5 7 2上递减，且 ， 2 2 ，
故 tan2 1
7 2
2 的取值范围是 0,5 2 ．
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