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2024-2025 学年云南“美美与共”民族中学联盟高一下学期联考（二）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ∣ 2 + 2 0 , = ∣ = ln ，则 ∩ =( )
A. [ 2,1] B. (0,1]
C. [1, + ∞) D. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞)
2.若复数 1 + 2i 是方程 2 + + 5 = 0 的一个根， ∈ ，则方程的另一个根为( )
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 D. 2 i
3.设平面向量 = sin , 1 , = cos , 2 ，若 , 不是表示平面内所有向量的一个基底，则 tan =( )
A. 3 B. 23 2 C.
3 1
2 D. 2
4.在 1中， = 2, = 4, cos = 4，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.已知 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是( )
A.若 /\ !/ , /\ !/ , /\ !/ ，则 /\ !/ B.若 /\ !/ , /\ !/ ，则 /\ !/
C.若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
6.若 = log23, = 2.7 1.3, = e0.5ln9，则 , , 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.定义在 上的奇函数 ( )满足， (1 ) = (1 + ).当 ∈ (0,2)时， ( ) = e| 1|，则 (2024) + (2025) +
(2026) =( )
A. e B. 2e C. 0 D. 1
8.已知 > 1，不等式 2 + 4 + ≥ 0 4 + 4对于一切实数 恒成立，又 0 ∈ ，使 20 + 4 0 + = 0，则 ( 1)
的最小值为( )
A. 1 B. 2 2 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2+i.已知复数 = i ，则( )
A. | | = 5 B. 的虚部为 2i
C. 2 = 5 4i D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )
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A.点 (4, 1), (1,3) 3 4，与向量 共线的单位向量为 5 , 5
B.非零向量 和 3满足 = = ，则 与 + 的夹角的余弦值为 2
C.已知向量 = (1,2), = (2, )，若向量 与 的夹角为锐角，则 > 1 且 ≠ 4
D.向量 = 2 3, 2 , = 1, 3 ，则 在 上的投影向量的坐标为 3, 3
11.如图所示，在正三角形 中， , 分别为边 , 的中点，其中 = 6，把 沿着 翻折至 ′
的位置，使得二面角 ′ 为60 ，则下列选项中正确的是( )
A.点 ′到平面 9的距离为4 B.
′ ⊥
C. 39 37直线 ′ 与直线 所成的角的正弦值为 ′8 D.四棱锥 的外接球半径为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 与 的夹角为60 , = 1, = 32 ，则 = ．
13.某圆台的上、下底面面积分别为π，16π，圆台母线长为 4，则此圆台的体积为 ．
14.对于任意实数 , ，定义符号 max , ，其意义为：当 ≥ 时，max , = ；当 < 时，max , = ；
若 ( ) = 1 2, ( ) = log2| |，函数 ( ) = max ( ), ( ) ，有 4 个零点，则 取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在 中， = 2 , = ．
(1)用 , 表示 , ；
(2) = 1 + 1若点 满足 2 4
，证明： , , 三点共线．
16.(本小题 15 分)
若 ( ) = 3sin2 + 2sin2 1 + ．
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(1)求 ( )的最小正周期及单调增区间；
(2)若当 ∈ 0, π2 时， ( )的最小值为 2，求 的值．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 2( )cos π 2 sin
+
2 = sin sin ．
(1)求角 ；
(2)若 = 33，且 的面积为 4 3，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立
体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑 中， ⊥底面 ，若 = = , 为 的中点， ,
分别是 , 的中点．
(1)证明： /\ !/平面 ；
(2)若 为线段 上的动点，探究平面 与平面 是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明
理由．
19.(本小题 17 分)
如图.，由平面内两条相交成60 角的数轴 , 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
(1)若向量 的“完美坐标”为[5,2]，求 ；
(2)已知 1, 1 , 2, 2 分别为向量的 , 的“完美坐标”，证明： = 1 2 +
1
1 2 + 2 1 2 + 2 1 ；
(3)若向量 , 的“完美坐标”分别为 sin , 1 , cos , 1 ，设函数 ( ) = , ∈ ，求 ( )的值域．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13.7 7π
14.(0,1)
15.【详解】(1)因为 = 2 , = ，
所以 = + = + 1 = + 1 3 3
，
所以 = 2 3
+ 1 3 ．
同理 = = 1 2
= + 1 2 ，
所以 = + 1 2
．
(2)由 = 1 + 1 2 4 ，
可得 = = 1 2
+ 1 4
．
又 = + 12
，
所以 = 2 ，又因为有公共点 ，
所以 , , 三点共线．
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16.【详解】(1) ∵ ( ) = 3sin2 + 2sin2 1 + = 3sin2 cos2 + = 2( 32 sin2
1
2 cos2 ) + =
2sin 2 π6 + ，
∴函数 ( )的最小正周期 = 2π2 = π．
π π π
令 2 π 2 ≤ 2 6 ≤ 2 π + 2 , ∈ ，
π π
解得 π 6 ≤ ≤ π + 3 , ∈ ，
∴ ( )的单调增区间是 π π , π + π6 3 , ∈ ．
(2) ∵ 0 ≤ ≤ π π π 5π2，∴ 6 ≤ 2 6 ≤ 6 ．
∴当 2 π = π π6 6，即 = 0 时，函数 ( )取得最小值 ( )min = 2sin 6 + = 1 = 2，
∴ = 3．
17. (1) ∵ 2( )cos π sin π 【详解】 2 2 = sin sin ，
其中 2cos π 2 sin
π
2 = sin π = sin ，
∴ ( )sin = sin sin ，
由正弦定理得( ) = ，
∴ 2 + 2 2 = ，
2 2 2
∴ cos = + 12 = 2．
∵ 0 < < π，
∴ = π3；
(2) ∵ 1 3 = 2 sin = 4 = 4 3，
∴ = 16．
又∵ 2 = 33 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，
∴ ( + )2 = 81，
∴ + = 9．
∴△ 的周长为 9 + 33．
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18.【详解】(1)方法一：
证明：连接 ，如图，
因为 , 分别是 , 的中点，所以 /\ !/ ．
又 平面 , 平面 ，
所以 /\ !/平面 ．
方法二：如图，取 的中点为 ，连接 , ，则 /\ !/ ．
又 平面 , 平面 ，
所以 /\ !/平面 ．
同理可证 /\ !/平面 ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 /\ !/平面 ．
又 平面 ，所以 /\ !/平面 ．
(2)平面 与平面 垂直．
证明如下：
因为 ⊥底面 , 底面 ，所以 ⊥ ．
由题意知 为直角三角形且 = ，所以 ⊥ ．
又 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
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又 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 = , 为 的中点，所以 ⊥ ．
又 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
19.【详解】(1)因为 的“完美坐标”为[5,2]．
则 = 5 1 + 2 2．
又因为 1, 2分别为 , 正方向上的单位向量，且夹角成60 ，
所以 1 = 2 = 1，则 1 2 = 1 2 cos60 =
1
2．
故 = 5 1 + 2 2
2 2 1
2 = 25 1 + 20 1 2 + 4 2 = 25 + 20 × 2 + 4 = 39．
(2)证明：由(1)知， 1 = 2 = 1,
1
1 2 = 2，
所以 = 1 1 + 1 2 2 1 + 2 2
= 1 2
2
1 + 1 2 1 2+ 2 1 1 2 + 1 2
2
2
= + 11 2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ．
(3)因为向量 , 的“完美坐标”分别为 sin , 1 ， cos , 1 ，
由(2)得 ( ) = = sin cos + 1 + 12 sin + cos ．
令 = sin + cos = 2sin + π4 ，
则 sin cos = 1 22 1 ．
因为 ∈ ，所以 2 ≤ 2sin + π4 ≤ 2，即 2 ≤ ≤ 2．
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( ) = 1 2 1 + 1 + 1 = 1 2 + + 1 = 1
2
+ 1 + 3令 2 2 2 2 2 8 2 ≤ ≤ 2 ．
因为 ( ) 1的图象是对称轴为 = 2开口向上的抛物线的一部分，
所以当 = 12 ∈ 2, 2
1 3
时， ( )取得最小值 2 = 8，
当 = 2时， ( )取得最大值 2 = 3+ 22 ，
所以 ( ) 3 3+ 2的值域为 8 , 2 ．
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