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2024-2025 学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos 660 =( )
A. 1 B. 1 32 2 C. 2 D.
3
2
2.设 ∈ ，则“ 是第一象限角”是“sin + cos > 1”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知某扇形的面积为 3，则该扇形的周长最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 4 3
4.已知 tan ( + ) = 25 , tan ( +

4 ) =
1
4，则 tan (

4 )的值为( )
A. 16 B.
22
13 C.
3 13
22 D. 18
5.已知 sin( + ) = 13，cos sin =
1
6，则 cos(2 2 ) =( )
A. 19 B.
1 7 7
9 C. 9 D. 9
6 2.已知角 为△ 的一个内角，且 sin( + 3 ) = 3，则 sin(2 +
2
3 ) =( )
A. 4 5 4 5 4 5 2 59 B. 9 C. ± 9 D. 9
7.当 = 时， ( ) = 6sin2 2 + 2sin

2 cos

2 3
1
取得最大值，则 tan + tan 的值为( )
A. 1 B. 1 103 3 C. 3 D.
10
3
8.已知△ 中， = 2， = 1， = 1， 为△ 所在平面内一点，且满足 + 2 + 3 = 0，
则 的值为( )
A. 4 B. 1 C. 1 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 是边长为 3 的等边三角形， = 2 ，则下列说法正确的是( )
A. = 1 + 2 3 3 B. = 7
C. = 3 2 D.
在 1上的投影向量是 6
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10.计算下列各式值，其结果为 1 的有( )
A. sin50° 1 + 3tan10° B. 2sin80° sin20°cos20°
C. 1 + tan18° 1 + tan27° D. 4sin18°cos36°
11.函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = 2sin 1 π3 6
B.若把 ( ) 2的横坐标缩短为原来的3倍，纵坐标不变，得到的函数在 π, π 上无对称中心
C. ∈ π π3 , 3 ，若 (3 ) + ≥
3π
2 恒成立，则 的最小值为 3 + 2
D.已知 , 是函数 = ( ) 43在 0, 3π 上的两个零点，则 cos

3 =
1
9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 sin = 55 ，cos =
10 < < 3 < < 3 10 ，且 2， 2，求 = ．
13.先将 = tan 1 π的图象上所有点的横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12个单位长
度后得到函数 ( )的图象，若 ( ) > 3，则不等式的解集为 ．
14.已知函数 ( ) = sin( + π3 )， > 0 的最小正周期 >
π ( ) ( π2，若函数 在 6 ,
π
3 )
2π
上单调，且关于直线 = 3
对称，则符合要求的 的所有值的和是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2), = (3, 2)
(1)已知| | = 5 且 // ，求
→ → →
(2)已知| | = 10，且(2 + ) ⊥ ，求向量 与向量 的夹角．
16.(本小题 15 分)
( ) = sin 2π cos π+ tan 2π 已知函数 ．
sin 9π2 + tan π
(1)化简 ( )；
(2) ∈ π , π若 6 3 , +
π = 16 3，求 cos
2π
3 + + 2cos
5π
6 的值．
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17.(本小题 15 分)
如图所示，在平面直角坐标系中，锐角 4 3、 ( > )的终边分别与单位圆交于 , 两点，点 5 , 5 ．
(1) 5 12若点 13 , 13 ，求 cos( )cos2 + sin( )sin2 的值；
(2)若 = 3 1010 ，求 sin ．
18.(本小题 17 分)
大连某养殖公司有一处矩形养殖池 ，如图所示， = 50 米， = 25 3米，为了便于冬天给养殖池
内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带 , 和 ，考虑到整体规划，要求 是边 的中点，
点 在边 上，点 在边 上，且∠ = 90°，设∠ = ．
(1)试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当 tan = 12时，求加温带 的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带 和 上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米
增加智能照明装置的费用均为 400 元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最
低费用．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin cos cos2 + 12 ( > 0)的最小正周期为π．
(1)求 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = 2 + 1 7π，若对任意的 1 ∈ [0,1]，总存在 2 ∈ 0, 12 ，使得 1 = 2 + 成立，求 的取
值范围；
(3) 7π若函数 ( ) = 8[ ( )]2 8 ( ) + 在 0, 12 上有 3 个零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13. | π π π π4 + 2 < < 6 + 2 , ∈ Z
14.214 /5.25
15.(1)由 // ，所以设 = = ( , 2 )
又 = 5 得 2 + 4 2 = 25，解得 =± 5，
所以 = ( 5, 2 5)或( 5, 2 5)．
→ → →
(2)由题知， = (1,2)， = 10，(2 + ) ⊥ ，
→ → →
所以| | = 5，(2 + )· = 0
2
所以 2 + = 0
所以 2 cos , + | |2 = 0
所以 2 × 5 × 10cos , + 10 = 0
所以 cos , = 22
→ →
因为< , >∈ [0, ]
所以向量 与向量 3 的夹角为 4．
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16.(1) ( ) = sin 2π cos π+ tan 2π
sin 9 2 + tan( )
= sin cos tan cos tan = sin ．
(2)因为 ( ) = sin ，所以 + π π 16 = sin + 6 = 3，
cos 2π3 + = cos
π
2 + +
π
6 = sin +
π
6 =
1
3，
cos 5π = cos π + π = cos + π6 6 6 ，
∈ π , π π π因为 6 3 ，所以 + 6 ∈ 0, 2 ，所以 cos +
π = 1 sin2 + π 2 26 6 = 3 ，
cos 5π = 2 2 cos 2π+ + 2cos 5π故 6 3 ，因此 3 6 =
5
3．
17.(1) , 4 , 3 , 5 , 12因为 是锐角，且 5 5 13 13 在单位圆上，
所以 sin = 3 4 12 55 , cos = 5 , sin = 13 , cos = 13，
cos( )cos2 + sin( )sin2
= cos( )cos2 sin( )sin2 = cos( + )
所以 cos( + ) = cos cos sin sin = 4 × 55 13
3 × 12 165 13 = 65．
(2)因为 = 3 10，所以 10 cos( ) =
3 10
10 ，
且 = = 1，
所以 cos( ) = 3 10 1010 ，可得 sin( ) = 10 ( > )
4
，且 cos = 5 , sin =
3
5，
所以 sin = sin + ( ) = sin cos( ) + cos sin( )
= 3 × 3 105 10 +
4 × 10 13 105 10 = 50 ．
18.(1)在 Rt , Rt 中，由∠ = ∠ = ，得 = 25 25cos ， = sin ，
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又 Rt 25 25 25中，由勾股定理得 = 2 + 2 = ( 2 2cos ) + ( sin ) = sin cos ，
= 25 + 25 + 25 = 25(1+sin +cos )因此 cos sin sin cos sin cos ，
π π
当点 在点 时，此时 的值最小， = 6，当点 在点 时，此时 的值最大， = 3，
25(1+sin +cos ) π π
所以函数关系式为 = sin cos ，定义域为[ 6 , 3 ]．
(2)由(1)知 = 25 1sin cos , tan = 2，
sin cos = sin cos = tan 2因此 sin2 +cos2 tan2 +1 = 5，
125
于是 = 2 ．
(3)依题意，要使费用最低，只需 + 最小即可，
(1) + = 25(sin +cos ) , ∈ [ π , π由 得 sin cos 6 3 ]，
2
设 sin + cos = 1 25 50 50，则 sin cos = 2 ， + = = = 2 1 2 1 1
，
2
= 2sin( + π π π 5π π 7π 7π 5π4 )，由 ∈ [ 6 , 3 ]，得12 ≤ + 4 ≤ 12，sin 12 = sin 12
= sin( π6 +
π ) = 2 ( 14 2 2 +
3 ) = 6+ 2 3+12 4 ，于是 2 ≤ ≤ 2，
1 1
令 ( ) = ，函数 ( ) = 在(0, + ∞)上为增函数，
则当 = 2时， + π最小，且最小值为 50 2，此时 = 4，
所以当 = = 25 米时，照明装置费用最低，最低费用为 20000 2元．
19.(1)因为 ( ) = 3sin cos cos2 + 12
3 1+ cos2 1
= 2 sin2 2 + 2
= 32 sin2
1
2 cos2 = sin 2
π
6 ，
2π
函数 ( )的最小正周期为π，又 > 0，则 2 = π = 2，所以 = 1，
所以 ( ) = sin 2 π6 ．
(2)因为 ( ) = 2 + 1 是增函数，当 1 ∈ [0,1]时 1 ∈ (0), (1) = [2,3]，
当 2 ∈ 0,
7π 2 π ∈ π12 时， 2 6 6 , π ，则
1
2 ∈ 2 , 1 ，
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1
所以 2 + ∈ 2 + , 1 + ，
1
由题意可知[2,3] 2 + , 1 + ，
1 5 5
则 2 + ≤ 2解得 2 ≤ ≤ 2，即 的取值范围为 2, ．1 + ≥ 3 2
(3)(3)令 = ( ) (2) ∈ 0, 7π 1 1，由 知当 12 时， ( ) ∈ 2 , 1 ，即 ∈ 2 , 1 ，
则函数 ( ) = 8 2 8 + 有两个零点 1, 2 1 < 2 ，
且 ( )的图象与直线 = 1， = 2共有 3 个公共点，
由 ( )的图象可知，当 2 = 1， 1 ∈ [0,1)时， 2 = (1) = 8 8 + = 0，得 =
8
7，
由 ( ) = 8 2 647 +
8 1
7 = 0，得 2 = 1， 1 = 7 ∈ [0,1)，符合题意．
Δ = 64 2 32 > 0
1
∈ [0,1), ∈ 1 , 0 2 = 2 + 5 ≥ 0 2当 2 1 2 时， ，解得 ≤ < 0， (0) = ≤ 0 5
(1) = 8 7 > 0
综上， 2 8的取值范围为 5 , 0 ∪ 7 ．
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