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2024-2025学年江苏省南京二十九中、常州中学、南菁中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
3.北京时间年月日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的名男生和名女生站成一排拍照留念，则名女生相邻的站法种数为( )
A. B. C. D.
4.如图，直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.“立定跳远”是国家学生体质健康标准测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据单位：服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取人，并记在的人数为，则( )
A. B.
C. D.
7.袋中有个黑球，个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出点的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量，则，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
10.已知函数的两个零点分别为，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 存在实数，使得 D. 若，则
11.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点则( )
A. 为的中点时，平面平面
B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为
C. 存在点，使得直线与平面所成的角为
D. 为所在直线的动点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______．
13.设函数，则满足的的取值范围是______．
14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为，，，时得分，当点数为，时得分多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分若抛掷次散子，最终得分为，则随机变量的期望是______；若抛掷次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的倍，求：
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中所有的有理项．
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若在单调递增，求实数的取值范围；
Ⅱ当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点、分别是棱、的中点．
在底面内是否存在点，满足平面？若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；
设平面交棱于点，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得分，先得分且至少领先分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成：后，每球交换发球权，领先分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立已知第一局目前比分为：．
求再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；
求第一局比赛甲获胜的概率；
现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19.本小题分
已知函数，且定义域为，．
求函数的单调区间；
若有个零点，，求实数的取值范围；
若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：的展开式中第项为，
所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，
所以，
解得或舍去，
由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数最大的项为第项，即；
由可知，，，，，，，，，
当时，，，
所以展开式中所有的有理项为和．
16.解：Ⅰ函数，
求导得，
由在单调递增，得在上恒成立，
即在上恒成立，
因此，，
设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以的取值范围为．
Ⅱ若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
当时，，
即在上单调递增，
所以，
又函数，，，
求导得，
由于，所以，
所以函数在上单调递减，
则，
因此，
解得，
所以的取值范围为
17.解：因为底面，且是正方形，
故以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，，
因为点、分别是棱，的中点，
则，
，，
假设在底面内存在点，
使得平面，则，，
则，
由，
解得，
故存在点，满足平面；
按照建系，设点，，
依题意，，，，四点共面，故必有，
即，
则
解得
即，又，，
设平面的法向量为，
则，
故可取，
因为，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
18.解：依题意，的所有可能取值为，，，
设打成：后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
，
，
所以的分布列为：
故的均值为；
设第一局比赛甲获胜为事件，
则，，，
由知，，，，
由全概率公式，得，
解得，即第一局比赛甲获胜的概率；
由知，故估计甲每局获胜的概率均为，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，
所以，，，
故该场比赛甲获胜的概率．
19.解：
时，恒成立，所以在上递减；
时，恒成立，所以在上递增；
时，令得，
单调递减，单调递增，
综上：时，在上单调递减，
时，在上递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
因为不是单调函数，由知，，且在上单调递减，
在上单调递增，要使得有个零点、，
则必有，所以，，
又当时，，
先证：，令，
令，，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以成立，所以，，即：成立，
取则有，且，
所以时，有个零点．
综上：．
令
则恒成立，且，
时，，
当时，，当时，
，
时，恒成立，所以，在上递增，
所以，，符合题意．
时，，与题意不符，舍去．
时，，时，
，
由得，，
所以，存在，使，
且可使，，单调递减，时，，舍去，
综上：．
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