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2024-2025学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.在中，，，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线和平行，和相交
B. 直线和平行，和相交
C. 直线和相交，和异面
D. 直线和异面，和异面
5.如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，其中，与塔底在同一水平面内，则塔高( )
A. B.
C. D.
6.已知平面向量在方向上的投影向量为，则取最小值时的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.在梯形中，，，，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，，，则( )
A. ，，，四点共面
B. 点与点到平面的距离相等
C. 直线与直线垂直
D. 三棱锥的体积为
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个
D. 若，则
11.如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. 的最小值为
B.
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的侧面积为______．
13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的倍，则这个三角形的周长为______．
14.若向量与向量的夹角为，我们定义“”为向量与向量的“外积”两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为，在中，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
用，表示向量；
求的值；
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点．
求四棱锥的体积；
若是的中点，求证：平面；
直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
17.本小题分
已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．
求；
若，为边的中点，求长的最大值；
若，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，正四棱柱中，，底面中心为，点在棱上，且．
当时，证明：平面平面；
当时，求过点，，的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值．
19.本小题分
已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，的内心、重心、外心、垂心依次记为点、、、，如图所示．
求和；
连接、，并延长交边于点，用，做基底来表示；
被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在年发表了令人赞美的欧拉线定理：设的外心，重心，垂心分别是，，，则，，三点共线欧拉线，且，请运用欧拉线定理，求的值．
参考答案
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13.
14.
15.解：如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，
所以，
由向量的加法法则得，
故，
所以；
由于，可得，又有，
所以
，
故；
由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由得，
故．
16.因为四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，
所以在底面内的射影点为底面棱形的中心，
且，，，全部全等，
所以，
所以底面棱形为正方形，
所以该四棱锥为正四棱锥，且所以棱长为，
所以，，所以，
所以四棱锥的体积为；
证明：若是的中点，又由可知为中点，
则，又平面，平面，
所以平面；
，理由如下：
证明：由可知底面，又底面，
所以，
又底面为正方形，所以，又，
所以平面，又平面，
所以．
17.因为，
所以，所以，
由正弦定理得：，
所以，即，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
因为为边的中点，
所以由中线公式得：，
由及余弦定理：，
得，即，
代入中线公式得：，
因为，所以，当时取等号，
此时，即；
因为，，所以，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，即，
所以面积的取值范围为：．
18.证明：由已知，当时，点是的中点，且平面．
由，可得，所以，
故，即．
又因为四边形是正方形，有，且，，
所以平面，平面，所以E.
又因为，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面D.
解：延长交于点，设过点，，的截面与棱的公共点为，连，G.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形是平行四边形，
由，得，，
从而，，
，
设，在中由余弦定理得，
，
，
故当时，可得最小值，从而，
故截面四边形的面积的最小值为．
19.，，，由余弦定理得：，
，
是的外心，
，
的值为；
内心是三角形三条角平分线的交点，如图所示，
由角平分线定理得：，故，
则，，
连接，在中，平分，
由角平分线定理可得，
故；
由欧拉线定理得，，，三点共线，且，
由重心的性质可知，
，
，
，
则
，
．
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