2024-2025学年辽宁省沈阳120中高二(下)期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年辽宁省沈阳120中高二(下)期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年辽宁省沈阳120中高二(下)期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知,,,则下列不等式中一定成立的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
3.已知命题“,”为假命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知变量,之间的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )
A. 变量,之间呈负相关关系 B. 可以预测,当时,
C. D. 该回归直线必过点
6.已知函数在上的值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在等比数列中,,是函数的极值点,则( )
A. B. C. D.
8.设,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若的定义域为,则的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 函数满足,则
10.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 已知正实数,满足,则的最大值为
C. 已知正实数,满足,则的最小值为
D. 设,为实数,若,则的最大值为
11.已知数列满足,,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知为等差数列的前项和,,,则 ______.
13.设函数,若,则 .
14.若在曲线为自然对数的底数存在点,使其关于轴的对称点在曲线上,则实数的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数.
求的图象在点处的切线方程;
若为函数的导函数,求在区间上的最大值和最小值.
16.本小题分
已知等差数列满足,是关于的方程的两个根.
Ⅰ求;
Ⅱ求数列的通项公式;
Ⅲ设,求数列的前项和.
17.本小题分
已知数列满足,.
证明:数列为等差数列;
设,记数列的前项和为.
求;
若,成立,求的取值范围.
18.本小题分
在一个温馨的周末,甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动,假设每次掷游戏币出现正面的概率为,且,每次掷游戏币的结果相互独立.
当时,若甲连续投掷了两次,求至少出现一次正面向上的概率;
若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上,则游戏结束,每轮最多连续投掷次.
甲在一轮游戏中恰好投掷了次游戏结束的概率为,求的表达式;
设甲在一轮游戏中投掷次数为,求的最大值.
19.本小题分
已知函数,.
讨论函数的单调区间;
若曲线在处的切线垂直于直线,对任意,恒成立,求实数的最大值;
若为函数的极值点,求证:.
参考答案
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15.解:,则,
,,
所以的图象在点处的切线方程为,
即.
,,
则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的最大值为,
又,,
所以的最小值为.
16.解:Ⅰ已知等差数列满足,是关于的方程的两个根.
则,
则,,
设等差数列的公差为,
则,
即,
则,
即;
Ⅱ由得:,
则,
即;
Ⅲ由可得:,
则.
17.解:证明:因为,即,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
由知,
所以,,
所以,

所以

所以.
因为,即,
令,
所以,即,
解得,
所以的最大值为,
所以,即的取值范围是.
18.解:设事件表示第次正面向上,其中,,,,,,且,,
设事件:“至少出现一次正面向上”,
则;
设事件:“恰好投掷了次游戏结束”,
则,
故,
所以;
由题意知,,,,
,,


则,
令,
则,
当时,,即在上单调递减,故,
因此,的最大值为.
19.解:,定义域为,
所以,
当时,,故在上单调递增,
当时,由,得;由,得,
故在上单调递增,在上单调递减,
综上,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减.
因为,曲线在处的切线垂直于直线,
则在处的切线的斜率为,
即,解得,则.
对任意,恒成立,即对任意,,
即对任意恒成立,
令,,令,得,
当时,,为减函数;
当时,,为增函数,
所以,,则实数的最大值.
证明:函数,,
因为为函数的极值点,所以,所以,
要证明不等式成立,只需证,
令,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
所以,即,所以,,
当时,因为,所以.
当时,因为,所以,所以,
要证成立,只需证,
即证对成立.
令,则,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
所以,即时,成立.
综上所述,原不等式成立.
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