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2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高一（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，的关系如图所示，则是的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.如果，那么下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知存在实数，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数与满足：对任意，，都有．
命题：若是增函数，则不是减函数；
命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是( )
A. 和都是真命题 B. 和都是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集，若集合，则 ______．
6.已知，，若，则的最小值是______，
7.函数的最小正周期为______．
8.已知角的终边经过点，则 ______．
9.设常数，若函数的图像关于点对称，则 ______．
10.已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是______．
11.已知，，若用、表示，则 ______．
12.若，则 ______．
13.设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ______．
14.已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ______．
15.现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上已知三角形的一边长，另一边长且第三条边上的中线长，则圆形纸片的半径长为______结果精确到
16.已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设常数，已知集合，集合．
求集合；
若，求的取值范围．
18.本小题分
为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示已知扇形的半径长为米，是钝角，点在弧上，点在半径上，且，设，的周长为米．
当，求的长单位：米；
求的最大值及取到最大值时的值．
19.本小题分
已知
已知是正整数，求的值；
已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知．
求解关于的方程；
求函数，的值域；
已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值．
21.本小题分
对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”．
两个函数，是否是“函数”？为什么？
求证：函数是“函数”；
已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围．
参考答案
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14.
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16.
17.由等价于，解得，
所以；
由，即，解得，
所以，
因为，所以，
所以，解得，即的取值范围．
18.依题意，且，
所以，又，所以，所以，
则米．
因为，，，的周长为米，
所以，，
所以
，
又，所以当即时取得最大值，且米．
19.当时，，
则，
当时，，
则，
故为奇函数，则；
存在，，理由如下：
当时，，对称轴为，
故在上单调递增，
又为奇函数，且，
故在上单调递增，
又在上是严格增函数，
故，解得，又，
所以．
20.由，得，，
解得，；
时，，
所以，即的值域为；
，
令，由知，，
则，对称轴为，
当时，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件；
当时，在取得最小值，
最小值为，令，解得舍去负值；
当时，在上单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为，
令，解得，但与矛盾，舍去；
综上，．
21.函数是“函数”，函数不是“函数”，理由如下：
为常数函数，定义域为，
设，，显然，满足，且，
因此是“函数”，
函数的定义域为，且该函数严格单调递增，
当时，，因此函数不是“函数”；
证明：函数的定义域为，
令，，满足，
且，因此，
因此是“函数”
定义域为，对称轴为，
满足的整数存在且，
因此函数在上不单调，那么，且，
由于与交集不能为空集，因此且，即，
由于为整数，因此或，
如果，那么，根据得，
因此，解得，
若，那么，根据，得，
因此，解集为．
综上，
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