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2024-2025学年北京市顺义区杨镇一中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算( )
A. B. C. D.
2.函数的导数是( )
A. B. C. D.
3.小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.设等比数列的公比，前项和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.设为曲线上一点，为曲线上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，共30分。
11. ______用数字作答
12.求函数，在处切线斜率 ______．
13.的二项展开式中系数最大的项为______结果中含有未知数
14.在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______．
15.已知函数．
函数的最大值等于______；
若对任意，，都有成立，则实数的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知满足．
求实数；
求，．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ判断函数零点的个数，并说明理由．
19.本小题分
数列的前项和为，且，，，，，．
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ求的通项公式；
Ⅲ设，求的表达式．
20.本小题分
已知函数切线方程为．
求切点坐标；
若对任意，都有恒成立，求最大值．
21.本小题分
已知函数，其中．
求的单调区间；
当且时，判断与的大小，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.的通项公式为，
且满足，
，解得或舍去，
实数；
根据通项公式为，
得当时，即时，，
当，即当时，．
17.解：Ⅰ，即，
又，，
所以等差数列的公差，
等差数列的首项，
，
Ⅱ是和的等差中项，
，即，
又，
，
，
所以等比数列的公比，

18.解：Ⅰ由，得，
由，解得或；
由，解得．
函数的单调增区间为，；
单调减区间为．
Ⅱ由Ⅰ可知，有极大值，
的极小值为，
且当时，．
函数零点的个数只有个零点．
19.解：Ⅰ由，，得，即；
，则；
，则；
Ⅱ由，得，
，得，
由Ⅰ得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式；
Ⅲ数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则．
20.设切点为，由，则，，
依题意，解得，
切点为；
令，，
则对任意的恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，
当时，恒成立，在上单调递增，
时，，，，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
则，即，解得．
综上，，则最大值为．
21.由题意函数，其中，
的定义域为，且，
令，得．
与的情况如下：
所以的单调递减区间为和；单调递增区间为；
当且时，，
证明如下：
令，则，
设，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而，即．
所以的单调递增区间为和．
当时，，即；
当时，，即．
综上，当且时，．
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