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2024-2025学年河南省新乡市部分学校高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个几何体由个面围成，则该几何体可能是( )
A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥
2.已知点，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.若，均是单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，分别为三个内角，，的对边，且：：：：，则( )
A. B. C. D.
8.已知复数，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 质量是向量
B. 相等向量的起点不一定相同
C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D. 若某质点受到，，的作用处于平衡状态，则
10.的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的值可能为( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部为______．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为，则梯形的高为______．
14.某日：甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午：乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午：甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是______取，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行四边形中，是的中点，．
用，表示，；
若，证明：．
16.本小题分
已知复数是关于的方程的一个复数根．
求，的值；
若为纯虚数，求的值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，在中，是上一点，是上一点，且．
已知，在的垂直平分线上，且，．
求；
若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
若是的角平分线，，求的最大值．
19.本小题分
在直角边均大于的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆．
在直角中，，，，证明：的伴生圆与内切圆重合．
在等腰直角中，，为等腰直角的伴生圆上的一个动点．
判断是否是定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
若非零实数，，满足，当取最小值时，求的值．
参考答案
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15.解：在平行四边形中，是的中点，．
则，
；
证明：因为，
所以，
即，
即．
16.由题意，，即，
则，，解得，；
由题意，，
则且，解得．
17.因为，
所以，
因为，
所以，即，
故；
若，，
则，
解得，
因为，
则的面积．
18.解：因为，在的垂直平分线上，
所以，
又，所以，且，
因为，，所以，，
在中，，
由余弦定理知，，
所以．
因为，在的垂直平分线上，所以点和点都在直线上，且
由知，，，
由正弦定理知，，即，
而，所以是等边三角形，所以，
在圆中，，
所以，
所以，
所以．
因为是的角平分线，
所以，
设，，
因为，
所以，
整理得，即，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
而，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故DE的最大值为．
19.证明：设直角的内切圆的半径为，易得，
由题意得，得，
因为的伴生圆和内切圆的半径均为，两条直角边与伴生圆均相切，
两条直角边与内切圆均相切，所以的伴生圆与内切圆重合；
解：是定值，为，理由如下：
以等腰直角的伴生圆的圆心为原点，
平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，得，
，，
则
，
所以是定值，定值为；
由，
得得
由，得，
得，
得，
令，，，，
则，
由，得且，
当取最小值时，，得．
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