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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
3.用、、、这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数是( )
A. B. C. D.
4.若数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.若名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报项．则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为，是的导函数，，对任意的那有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.数列满足，下列说法正确的是( )
A. 可能为常数列 B. 数列是等差数列
C. 若，则 D. 数列可能为公差不为的等差数列
11.已知函数有唯一的极值点，则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一种专门占据内存的计算机病用开机时占据内存，然后每秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机______秒，该病毒占据内存
13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
14.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和大衍数列从第一项起依次为，，，，，，，，，，记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的极大值；
Ⅱ若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列为等差数列；
设，记数列的前项和为．
求；
若，成立，求的取值范围．
19.本小题分
对于数列，若存在实数，使得数列为运减数列，则称数列为”接近数列”？例如，设一个只有项的数列的项分别是，，，，那么我是一个“接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”．
若数列满足，，，其中为的前项和，求并判断数列是否为“严接近数列”，若是请写出的一个可能取值；
若数列满足，，，，试回答下列问题：
求证：时，不是“接近数列”；
当时，判断是否为“接近数列”，若是，写出的一个可能取值用表示；若不是，说明理由．
参考答案
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15.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，
设数列的公差为，则，，成等比数列，
根据等比数列的等比中项可得，解得：或，
当时，，当时，，
所以数列的通项公式为或；
证明：若等差数列的公差不为零，且数列满足：，
由知，
则，
所以，
故，
而随的增大而增大，
则，故成立．
16.解：当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即．
由题意可得．
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
17.解：Ⅰ当时，，
，
令，解得或，
当或，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，的极大值为．
Ⅱ，，
当时，，，单调递增，无最小值，不符题意；
当时，令，则或，
当时，，，所以单调递增，无最小值，
当时，当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递减，
所以当时，有最小值，最小值为，
所以，即，
化简得，即，
解得，即，所以的取值范围是
18.解：证明：因为，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由知，
所以，，
所以，
，
所以
，
所以．
因为，即，
令，
所以，即，
解得，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围是．
19.数列是“接近数列”，理由如下：数列中，，，
当时，，
两式相减得：，
整理得，所以，
因为，所以数列是首项、公比都为的等比数列，
所以，，
所以，因为数列是递减数列，
所以数列是“接近数列”，的一个可能值为．
证明：当时，数列中，，，所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
当为正奇数时，，数列递增，且随着正奇数的无限增大，趋近于正无穷大，
故存在正整数，对任意，当时，是递增的，所以 不是“接近数列”．
是否为“接近数列”，理由如下：当时，，，
则，，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
而，数列是递减数列，
所以是“接近数列”，的一个可能值为．
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