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2024-2025学年天津市滨海新区大港一中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.观察下列散点图，关于两个变量，的相关关系推断正确的是( )
A. 为正相关，不相关，负相关 B. 为正相关，负相关，不相关
C. 为负相关，不相关，正相关 D. 为负相关，正相关，不相关
5.下列关于回归分析的说法中错误的是( )
A. 回归直线一定过样本中心
B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好
D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
6.为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
10.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
12.已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.命题：，的否定是______．
14.在的展开式中，常数项为______用数字作答
15.已知某种商品的广告费支出单位：万元与销售额单位：万元之间有如下表对应数据：
根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为______残差观测值预测值
16.新冠肺炎侵袭，某医院派出名医生支援、、三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有______种安排方式：若甲，乙不去同一个国家，共有______种安排方式．
17.甲箱中有个黑球，个蓝球和个红球，乙箱中有个黑球，个蓝球和个红球除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同先从甲箱中随机取出球放入乙箱，再从乙箱中随机取出球分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则 ， ．
18.若，，且，则的最大值为______，的最小值是______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
Ⅰ求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
Ⅱ求中奖人数的分布列及数学期望．
20.本小题分
一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字是，张卡片上的数字是从盒中任取张卡片．
求所取张卡片上的数字完全相同的概率；
表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望．
注：若三个数，，满足，则称为这三个数的中位数
21.本小题分
已知函数，其中．
若，求函数的极值；
讨论函数的单调性．
22.本小题分
已知函数，其中．
当时，求在处的切线方程；
若存在唯一极值点，且极值为，求的值；
讨论在区间上的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.，
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为、、，那么
，
，
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．
的可能值为，，，，
所以中奖人数的分布列为


．
20.解：Ⅰ由古典概型的概率计算公式得所求概率为
，
Ⅱ由题意知的所有可能取值为，，，且
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
21.解：当时，则，，
，
令，，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以不存在极大值，存在极小值，且极小值为．
，，
若，即，则令，则，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
若，即，则令，得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
若时，在时，，当且仅当时，等号成立，
所以在上单调递增，
若，即时，令，得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在区间，上单调递增，在上单调递减．
22.解：由题意函数，其中，
当时，，则，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，
整理得；
，定义域为，
所以，
若，则当时，恒成立，
故在单调递增，与存在极值点矛盾；
若时，则由解得，
所以当时，，单调递增，时，，单调递减；
所以存在唯一极小值点，
所以，
解得或；
由题意可得，
时，在上恒成立，故在上单调递增，
因为，，
所以由零点存在性定理可得在上有个零点；
当时，当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时在上无零点；
当时，在上恒成立，故在上单调递减，
因为，，
所以在上有个零点；
综上：当时，在上无零点，
当或时，在上有个零点．
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