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2024-2025学年甘肃省兰州二中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.设，为非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.若对任意恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C. 若，则复数对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. B. 为增函数
C. 的值域为 D. 方程最多有两个解
11.中，内角，，所对的边分别为，，下列与有关的结论中正确的是( )
A. 若，，，则满足条件的三角形有个
B. 若，则是等腰三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，分别表示，的面积，则：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于______．
13. ______．
14.若，，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分满分分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求的值；
估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数得数保留两位小数．
16.本小题分
设，，分别为三个内角，，的对边，若．
求角；
若，的周长的为，求的面积．
17.本小题分
在边长为的等边三角形中．
当点是边上距离较近的三等分点时，请用和表示；
当点是边上的动点，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由．
18.本小题分
某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：；根据以上研究结论，研究以下问题．
在和中任选一个进行证明；
当时，尝试用表示；
求值：．
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知向量，的“完美坐标”分别为，．
若，，求出，的完美坐标；
若，求的范围．
参考答案
1.
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14.
15.根据题意可知，，可得；
根据，
所以分位数在区间内，令其为，
则，解得，
所以满意度评分的分位数约为，
由频率分布直方图可知，平均数为．
16.解：由，及正弦定理可得．
由带入上式，
整理得．
因为，
所以．
因为，
所以角．
的周长为，
得，
由可得，
即．
解得，
．
所以的面积为．
17.由题可得，，
即，
所以；
由题，取线段的中点，连接，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，其中，
则，，，
所以，
故．
18.证明：
因为，，
所以
证明：，
因为，，
所以．
解：由的结论，可得：当时，
．
，
因为，结合公式及正弦的二倍角公式，可得，
结合，化简得，即，
整理得，解得或，结合，可得．
19.因为向量的“完美坐标”为，所以，
则
；
由题意，，，
若，则存在实数，使，
即，
所以，所以，
又，所以，所以，
则，，
所以的坐标为，的坐标为；
由题意得
，
因为，所以，
所以当时，取最大值，
当时，取最小值，
故的取值范围为．
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