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2024-2025学年广东省广州市第十六中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个小球从的高处下落，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则时小球的瞬时速度单位：为( )
A. B. C. D.
2.三名学生分别从门选修课中选修一门课程，不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.下列式子错误的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数及其导函数，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若函数为奇函数，则
D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 已知，则
B. 已知，则
C. 个人排成一排，则甲不站首尾的排法有种
D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有种排法
11.已知函数，为的导函数，则( )
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值点，且
D. 若、，，且在处取极值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式的展开式：，则 ．
13.若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为 ．
14.牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止设函数，初始点为，若按上述过程操作，则 ；所得前个三角形，，，的面积和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，若曲线在处的切线方程为．
求，的值；
求函数的单调区间和极值；
求函数在上的最大值、最小值．
16.本小题分
已知函数
求函数的单调区间和极值；
在坐标系中画出函数的简图参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征；
若，讨论函数的零点个数．
17.本小题分
已知函数，，其中为常数．
若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
讨论在上的单调性；
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
讨论的单调性；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：由题意可知：，则
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得．
因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为．
函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
函数在上的最大值，最小值．

16.解：由，，
则，
令，解得或，令，解得，
所以的单调增区间为，减区间为，，
的极小值为，无极大值．
由时，，结合中的单调性和极值，的图象如下：
由题，的零点个数等价于与的交点个数；
结合中图象可知：
当时，与有且仅有个交点，
当时，与无交点，
当时，与有且仅有个交点，
当时，与有个不同的交点，
综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个不同的零点．

17.解：当时，，
，，，
由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即．
令得，即该切线与轴相交于点；
令得，即该切线与轴相交于点，
该切线与坐标轴围成的三角形的周长为．
即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为．
，，
，．
当时，，，，
此时在上单调递增；
当时，，令，解得；
令，解得，
此时在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
令，．
依题意，在恒成立，故．
由知：当时，在上单调递增，
此时，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时显然当时，不符合题意．
综上，实数的取值范围．

18.解：当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，故，
所以曲线与直线只有一个交点．
函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为；
当时，对任意的，，此时函数的增区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为．
由可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或，
故实数的取值范围是．

19.解：的定义域为
当时，，
令，．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，
则不等式的解集为．
当时，，此时，
令，．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，所以，
又，则，又，所以，
，，此时符合题意．
当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
当时，，由，
则在上单调递减，
当时，，由，分开考虑导函数符号
当时，在上单调递增，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，即，
综上所述，实数的取值范围为．

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