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2024-2025学年河北省邢台市临西县翰林高级中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在处的导数( )
A. B. C. D.
2.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
3.函数，若恒有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.将封不同的信投入个不同的信箱，不同的投法种数为( )
A. B. C. D.
5.展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
6.用数字，，，，，组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为．
A. B. C. D.
7.已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 常数项为 D. 二项式系数最大的项为第项
10.由数字，，，组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是( )
A. 可以组成个数 B. 可以组成个奇数
C. 可以组成个偶数 D. 可以组成个比大的数
11.若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知的展开式中各项系数和为，则展开式中不含的所有项系数和等于 ．
14.已知，其中，若，，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
在二项式展开式中，第项的系数和第项的二项式系数比为．
求的值及展开式中的无理项有几项；
求展开式中系数最大的项是第几项．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
对于，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数有两个零点．
求实数的取值范围；
设的两个零点分别为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为，
则展开式的通项为且，
所以展开式中不含的奇数次幂的项，
又，
所以，
所以；
因为，
令，得；
令，得；
又，则，
所以．

16.【详解】函数的定义域为，．
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由，
当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增．
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

17.【详解】解：二项式展开式的通项公式为，
第项的系数和第项的二项式系数比为，
所以，解得．
所以，
当为无理项时，不能为整数，
所以，，故展开式中的无理项有项
解：设展开式中系数最大的项是第项，
则，即
整理可得，解得，
因为，所以，所以，展开式中系数最大的项是第项

18.【详解】由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为．
由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．

19.【详解】因为有两个零点，所以关于的方程，
即有两个根，
所以直线与曲线有两个不同的交点
令，则，令，得，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
又，当时，，所以，
故实数的取值范围为．
由知，因为，所以，
所以，所以．
要证，只需证，即证；，
不妨设，要证上式，只需证，即证．
令，即证．
设，则，
所以在上单调递增，
所以，所以成立，
所以．

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