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2024-2025学年华东师范大学附属周浦中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，直线、、的斜率分别为、、，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、现有如下命题：右支上存在点满足为等腰三角形，，且；右支上不存在点满足为等腰三角形，，且那么下列判断正确的是( )
A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.直线的倾斜角为
6.抛物线的焦点坐标是 ．
7.若直线与直线垂直，则 ．
8.已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为 ．
9.已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ．
10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 ___．
11.如图，已知直线是曲线在处的切线，则的值为 ．
12.已知某容器的高度为，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度单位：与时间单位：的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 ．
13.已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为 ．
14.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ．
15.已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ．
16.定义两个点集、之间的距离集为，其中表示两点、之间的距离，已知、，，，若，则的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求在区间上的平均变化率；
求曲线在处的切线．
18.本小题分
已知直线与直线．
当为何值时，与相交；
当为何值时，与平行，并求与的距离；．
19.本小题分
已知圆，点，且直线经过点．
若与相切，求的方程；
若的倾斜角为，求被圆截得的弦长．
20.本小题分
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米．
以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图，求该抛物线的方程；
经过点和焦点的直线与抛物线交于另一点，求的值；
若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米精确到米？
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在上

求椭圆的方程；
椭圆的上、下顶点分别为，，点在上异于椭圆的顶点，直线与轴相交于点，点，若的面积是面积的两倍，求点的坐标；
过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.或
16.
17.解：因为，所以，，
所以在区间上的平均变化率为；
因为，所以，
所以，
所以切点为，切线的斜率，
所以曲线在处的切线为，即．

18.解：因为直线与直线，
当直线与相交，则，解得且．
由直线与平行，则，解得，
所以此时直线，，
所以与的距离．

19.解：的圆心为，半径为，
过的直线斜率不存在时，直线为，
此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意，
过的直线斜率存在时，设为，即，
由题意得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为；
的倾斜角为，故斜率为，
故直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
故被圆截得的弦长为．

20.解：如图所示．
依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，，
所以该抛物线的方程为；
，焦点，，设，，则，
由解得，，，
所以，
则；
设车辆高为，则，故，
代入抛物线方程，得，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为米．

21.解：由题意可得，解得
所以椭圆的方程为．
由知，，设，且，
则，，
又，所以直线的方程为，
令，得，即，
又，所以，
由题知，，
则，即，
解得或舍去或或舍去，
又点在椭圆上，则，
所以当时，；
当时，，
所以点的坐标为或或或．

证明：由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点．

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