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2024-2025学年上海市嘉定区封浜高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知表示圆，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是( )
A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.双曲线的离心率为 ．
6.两条平行直线与之间的距离为 ．
7.已知点、，则直线的方程是 ．
8.以点为圆心，且经过原点的圆的方程为 ．
9.直线经过点和，则直线的倾斜角为
10.设为实数，若直线在轴上的截距为，则的值为 ．
11.已知抛物线过点，则点到准线的距离为 ．
12.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则 ．
13.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ．
14.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ．
15.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 ．
16.点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆过点，，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相切，求直线的方程．
19.本小题分
已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点．
若直线过抛物线的焦点，求弦的长；
若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆的两个顶点，且其离心率为．
求椭圆的方程；
设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若为坐标原点，求直线的方程；
设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值
21.本小题分
已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在上
求双曲线的方程；
过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点．
参考答案
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14.
15.
16.
17.由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，
由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或，
故直线的斜率不存在或斜率为．
再根据直线经过点，得直线的方程为或，
即或．
18.解：直线的斜率为，线段的中点坐标为
直线的垂直平分线的方程为，整理为
联立方程，解得
由圆的性质可知，圆心的坐标为，可得圆的半径为
故圆的标准方程为
当直线的斜率不存在时，直线正好与圆相切，
故此时直线的方程为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
整理为
由直线与圆相切，有，解得
可得直线的方程为，
整理为
故直线的方程为或．
19.因为，所以，所以焦点坐标为，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即，
联立，整理得，
设，，所以，，
所以；
由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立，整理得，
因为直线与抛物线有两个交点，所以，
所以且，
所以，，
所以，
因为以为直径的圆过坐标原点，所以，
又，，所以，即，
解得，满足且，
所以直线的方程为，即．
20.由条件，解得，．
故椭圆的方程为．
易知椭圆右焦点的坐标为，设直线的方程为，
，则由，得，
显然于是，
因为，故，
即
于是
将代入：，解得．
故直线的方程为：，即．
设，则．
因，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为；
又，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为．
于是，即．
故．
当且仅当，即点坐标为或时，取得最小值．
21.因为虚轴长，所以．
又因为点在双曲线上，所以，
解得．
故双曲线的方程为．
证明：如下图所示：
设，则
所以
因为在双曲线上，所以，可得；
于是，
所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是．
证明：设，直线的方程为，如下图所示：
联立，消去整理可得
则
所以
直线的方程为，令，得点的横坐标为；
同理可得点的横坐标为；
所以
将式代入上式，并化简得到
所以的中点的横坐标为，
故的中点是定点．

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