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2024-2025学年上海市嘉定区第一中学等四校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法一定正确的是( )
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 随机事件发生的概率与试验次数无关
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 一个骰子掷一次得到的概率是，则掷次一定会出现一次
2.若把英语单词“”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.在正方体中，异面直线与所成的角为 ．
6.若，则 ．
7.已知函数，则 ．
8.已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则该双曲线的离心率为 ．
9.若点和点关于直线对称，则 ．
10.一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后内列车前进的距离为，则列车刹车后 车停了下来．
11.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则下列结论正确的有 ．

12.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ．
13.函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 ．
函数在区间上严格递减；
；
函数在处取极大值；
函数在区间内有两个极小值点．
14.已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
15.在正三棱柱每条棱的中点中任取个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为 ．
16.已知是抛物线上一点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方体中，，为棱的中点，是正方形内含边界的一个动点，且平面，

求平面与平面所成二面角的余弦值；
求动点的轨迹长度．
18.本小题分
已知方程
求该方程表示直线的条件；
当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
19.本小题分
骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为，，，，，
先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为”，求事件的概率；
甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于，则算闯过第关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于，则算闯过第关假定每次闯关互不影响由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜这种游戏规则公平吗？请说明理由．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点，B.
求的方程；
若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程；
在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知，．
求的最大值；
设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
求证：有且只有两条直线与曲线、均相切．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，
为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又平面的一个法向量为，
，
故平面与平面所成二面角的余弦值为．
由平面，在经过点且与平面平行的平面上，
取中点，取中点，连接，，，，，
由且，则四边形是平行四边形，
，平面，平面上，则平面；

因为且，则，
又平面，平面，则平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面正方形，的轨迹是线段，
由，
所以．

18.【详解】当，的系数不同时为时，方程表示一条直线，
令，解得或；
令，解得或，
所以，的系数同时为零时，
故若方程表示一条直线，则，
即实数的取值范围为；
当的系数不为，的系数为时斜率不存在，
由知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为；
不过定点，证明如下：
证明：当的系数为，的系数不为时斜率为，
由知当时，且，方程表示的直线的斜率为，
此时直线方程为，
由知，直线的斜率不存在时直线方程为，
由得交点为，
若直线过定点，则定点为，
将代入方程，
得，
整理得，解得或，
只有当或时，直线过，
直线不过定点．

19.【详解】先后抛掷骰子两次，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：共个，
事件的概率为；
抛掷次骰子有共种结果，
出现的点数不小于的情况有共种，则挑战第一关通过的概率为；
抛掷骰子两次，基本事件总数，
抛掷次出现的点数之和不小于的情况有
共种，
则挑战第关通过的概率为，
则连续挑战关并过关的概率为，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
因为，所以这种游戏不公平．

20.【详解】由椭圆的离心率为得：，即有，
由以的短轴为直径的圆与直线相切得：，
联立解得，，所以的方程是．
设直线的方程为，联立，消去得，
，
则恒成立，
设，，，由四边形为平行四边形，
，
，
点在椭圆上，，解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的方程为．
由，则，即，
则，则，
由，，
所以，
化简得，又，故．

21.【详解】有题意有，定义域为，
所以，令，解得或舍去，
当时，，函数严格增；
当时，，函数严格减，
故当时，函数取到最小值，最大值为．
令，
，即，由，在上严格增，在严格减，
又，，
，，
图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数，
当时，有两个交点，即方程有个解；
当时，有一个交点，即方程有个解；
当时，有零个交点，即方程有个解；
假设直线与曲线、均相切，与相切于，
与相切于，
，，则
消去得，令，
则，令得或，又，所以，
当，，严格增，
又，，
则，，，有唯一零点；
当，，严格减，
又，，
则，，，有唯一零点，
综上所述，在区间和各有一个零点，
即证有且只有两条直线与曲线、均相切．

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