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2024-2025学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是．
A. B. C. D.
2.若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
4.已知、都是实数，，若函数的值域为，且对任意的实数，关于的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为( )
A. B. C. D. 无数
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知集合，集合，则 ．
6.函数的定义域为 ．
7.已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为__ ___．
8.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ．
9.已知正实数、满足，则的最大值为 ．
10.已知向量、满足，，且，那么与的夹角大小为 ．
11.如图，在平行四边形中，，垂足为，且 ．
12.向量在向量方向上的投影为 ．
13.已知函数，且，则方程的解为 ．
14.新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮如图示，其总高度米，直径米，匀速旋转一圈所需时间为分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度米关于时间分钟的函数解析式 ．
15.设，函数，若函数与函数的图象有且仅有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ．
16.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形已知正三角形边长为，点为勒洛三角形上的一点除去三点记，若对于某个确定的实数，使得方程成立的点的位置有且只有处，则此时的 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点．
试用、表示；
证明：，，三点共线．
18.本小题分
在中，内角、、所对边的长分别为、、，，．
若，求外接圆半径的值及角的大小；
若三角形的面积，求边的值．
19.本小题分
某小区拟用一块半圆形地块如图所示建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建立绿化区．设，且；
求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；
当为何值时，塑胶跑道的总长最短，并求出的最小值．答案保留位小数
20.本小题分
已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点．
判断函数在区间内是否具有唯一零点，并说明理由；
已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点；
若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”．
判断是否是函数的伴随向量，并说明理由；
判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由：
若，都是函数的“伴随向量”当时，；当时，求当时，函数的解析式和零点．
参考答案
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16.．
17.【详解】因为为的中点，所以，
则，故．
设，又因为，所以，，
由知，同理，
其中，所以，
有公共点，故，，三点共线．
18.【详解】由正弦定理，，得，
解得，，又，且
所以或．
由，得，所以，
又，所以或，
当时，由余弦定理得，
当时，由余弦定理得，
所以或．
19.【详解】法一，由题意，在中，，
由正弦定理，所以，
连接，因为，则，所以，，
在中，由正弦定理，所以，
则，．
法二：在中，由余弦定理得，
因为，则，所以，，
在中，由余弦定理得，
则，．
由知，
因为，则，又，得到，
令，，
又，
所以当时，即，的最小，
最小值为．
20.【详解】函数在区间内具有唯一零点，理由如下：
当时，有，当时，有；
当时，是增函数，有，
故函数在区间内具有唯一零点．
由向量，，，
所以，，
令，解得，
所以函数在区间内具有唯一零点，使得，
故函数在区间内具有唯一零点．
，即：，，
当时，左边，右边，显然不成立；
当时，变量分离：

即：，
令，令
由；；；
结合图像可知：或
或
或或；
综上所述：实数的取值范围为．
21.【详解】因为，，
所以，
因此向量是函数的伴随向量．
若存在伴随向量，则，
所以，得到，
即其中为辅助角，
由题知，上式对任意的都成立，则，
即，由于，当且仅当时，等号成立，
所以，又因为，故
当时，，，：
当时，，，．
故函数的“伴随向量”为和，
因为，都是函数的“伴随向量”，
所以且，由，得，
所以，则，
故函数是以为周期的函数．又当时，；当时，，
当，则，此时；
由，，得，
所以当，则，此时；
当，则，此时，
由，得，又，所以，又，
所以，又，是以为周期的函数，
故
当时，函数的零点为．

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