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2024-2025学年上海市川沙中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某家大型超市近天的日客流量单位：千人次分别为：、、、下列图形中不利于描述这些数据的是( )
A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图
2.若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其中正确结论的是( )
A. 当时，函数有最大值
B. 对于任意的，函数是上的减函数
C. 对于任意的，都有函数
D. 对于任意的，函数一定存在最小值
4.假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为 ．
的图象关于点对称； 的图象关于点对称；
；
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知函数的驻点为 ．
6.若排列数，则 ．
7.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是和，两人各投一次，则他们同时命中的概率是 ．
8.已知一组数据，，，，，，则该组数据的标准差是 ．
9.已知函数，则 ．
10.某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量单位：千克分别为：， ，，，，，，，，，，，据此预计，这棵果树的产量百分位数为 千克．
11.已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则 ．
12.从名志愿者中选出名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作每项人，其中甲不参加测温的分配方案有 种结果用数值表示
13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的个小球，其中红球有个，白球有个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出后都是白球的次数，则 ．
14.设甲盒有个白球，个红球，乙盒有个白球，个红球，现从甲盒任取球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出个红球的概率是 ．
15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
16.已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数．
若，求的极小值；
讨论导函数的单调性．
19.本小题分
张先生每周有个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”．
某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求；
用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望．
20.本小题分
已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
若直线垂直于轴，求；
当时，在轴上方时，求、的坐标；
若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数
若函数在处的切线斜率是，求的值；
若函数在处有极值，且关于的方程有个不同的实根，求实数的取值范围；
记是自然对数的底数若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】证明：连接，在正方体中，是的中点，
所以是的中点，且，即，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面．
过作，交于，连接，
在正方体中，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以是直线与平面所成的角．
由题意，设，则，
，所以，
所以在，，
故直线与平面所成角的大小是．

18.【详解】当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增．

19.【详解】依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，
则．
依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即，
则的分布为：
即，
则，
则所求的的期望．

20.【详解】解：依题意，，当轴时，将代入，解得，
则，，所以；
解：设，，，，
所以，
，
又在椭圆上，满足，即，
，解得，即．
所以直线，
联立，解得或，所以；
设，，，，
直线，
则，
．
联立，得．
则，．
由直线的方程：，得纵坐标；
由直线的方程：，得的纵坐标．
若，即，
，
，，
代入根与系数的关系，得，解得．
存在直线或满足题意．

21.【详解】，
，
所以，
在处有极值，因为，则，故，得；
，此时，，
当或时，，当，
故和上，单调递增，上，单调递减，
因此是极值点，故符合要求，
因为关于的方程有个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故
，单调递减，对任意、且时，
，，
则对任意、且时，均有成立，
转化为，对任意、且时，均有成立，即
所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
函数在上单调递减，即在上恒成立，
又因为，，，故，
得在上恒成立，令，，令，得，当所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；
函数在上单调递增，即在上恒成立，
又因为，，，故，得
在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；
综上所述，实数的取值范围为：．

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