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2024-2025 学年甘肃省多校联考高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 2+4 .已知复数 1 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内对应的点的坐标为( )
A. 1,3 B. 1, 3 C. 3, 1 D. 3,1
2.cos20 cos40 sin20 sin40 等于( )
A. 32 B.
1 3 1
2 C. 2 D. 2
3.已知 tan = 25，则 tan +
π
4 的值是( )
A. 7 B. 3 37 C. 7 D. 7
4.在 6中， = 2， = 3，cos = 3 ，则 的面积为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
5.已知向量 ， 满足 + = 3， = 2，则 =( )
A. 32 B.
4
3 C.
5
4 D.
6
5
6.已知 sin + cos = 32 ，则 tan +
1
tan =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.已知 中，内角 、 、 所对的边分别 ， ， ， = 30°， = 2， = 2，那么满足条件的 ( )
A.有一种情形 B.有两种情形 C.不可求出 D.有三种以上情形
8.设 = 2sin42°cos42° = 2tan32° 1+cos168°， 1 tan232°， = 2 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.下列各式中，值为2的是( )
A. sin 5 6 B. 2sin15 cos15
C. 2cos215 1 D. 32 tan210

10.如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点， 与 相交于点 ， = ， = ，
则( )
A. = 1 1 1 2 2 B. = 2 +
C. = 2 1 3 6 D.若∠ = 60 ，| | = 2
3
，| | = 1，则 = 4
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11.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列条件中能判断△ 为钝角三角形的有
A. 2 + 2 < 2 B. sin cos = 65
C. tan + tan + tan > 0 D. △ 的三条高分别为 2，3，4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 在复平面内所对应的点在直线 = 上.请写出一个满足上述条件的复数 = ．
13.如图，一艘船以每小时 20 的速度向东航行，船在 处观测灯塔 在北偏东 45°方向，行驶 2 后，船
到达 处，观测个灯塔 在北偏东 15°方向，此时船与灯塔 的距离为 ．
14.已知 cos ≠ 0，3sin2 cos2 = 1，则 tan2 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系 中， (1,2)， ( 2,3)， (8, 5)．
(1)若 = + ，求实数 ， 的值;
(2)若 //( + )，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知复数 = 1 + 是一元二次方程 2 + + = 0( ∈ , ∈ )的根．
(1)求 , 的值；
(2)若复数( + )( )(其中 ∈ )为纯虚数，求复数 = (5 1) + 3 的模．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 cos + 2 cos = 2 + 2 3．
(1)求 ;
(2)若 + = 2，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
π 4 2π 5 2π π 5π 4π
已知 cos 3 = 5，sin 3 + = 13， ∈ 3 , 6 ， ∈ 6 , 3 ．
(1)求 sin( )的值；
(2)求 tan π2 6 的值．
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19.(本小题 17 分)
如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 上靠近点 的三等分点， 与 相交于点 ，记 = ．
(1)求 的值；
(2)若 = 1, = 2，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 (答案不唯一)
13.40 2
14.34
15.解：(1)根据题意 = (8, 5)， = (1,2)， = ( 2,3)，
由 = + ，有(8, 5) = (1,2) + ( 2,3)，
2 = 8 = 2
有 2 + 3 = 5，解得 = 3 ,
故 = 2， = 3;
(2)由 = ( 3,1)，
+ = (1,2) + (8, 5) = ( + 8,2 5)，
又由 //( + )，
有( + 8) × 1 ( 3) × (2 5) = 0，解得 = 1，
故 = 1．
16.解：(1)因为 = 1 + 是一元二次方程 2 + + = 0 的根，
所以 = 1 也是一元二次方程 2 + + = 0 的根，
(1 + ) + (1 ) = = 2
故 (1 + ) × (1 ) = ，解得 = 2 ；
(2)因为复数( + )( ) = 2 2 + (2 + 2 ) 为纯虚数，
所以 2 2 = 0 且 2 + 2 ≠ 0，即 = 1，
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所以复数 = (5 1) + 3 = 4 + 3 ，
故| | = 42 + 32 = 5．
17.解：(1)因为在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
2 + 2 = ( 2 + 2 2) = 2 ，
所以 + = 2 ，
即 + = 2 ，
即 = 2 = 1 2 , ∈ (0, ) = 3；
(2) + 由余弦定理有 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3 ( 22 ) = 1，
当且仅当 = = 1 时取等号，
故 的最小值为 1．
18.解：(1) ∵ 2 3 < <

6，∴ 2 < 3 < ，
∵ cos 3 =
4
5，∴ sin

3 = 1 cos
2
3 =
3
5，
∵ 5 6 < <
4
3，∴
3
2 <
2
3 + < 2 ，
∵ sin 2 + = 5 2 2 2 123 13，∴ cos 3 + = 1 sin 3 + = 13，
∵ 2 + + 3 3 = + ，
2 2
∴ sin( ) = sin 3 + 3 = sin 3 + + 3
2 2
= sin 3 + cos 3 + cos 3 + sin 3
= 5 × 4 + 12 × 3 = 20 + 36 = 5613 5 13 5 65 65 65；

sin
(2)tan 6 22 6 = tan 6 2 = cos 6 2
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2sin2
= 6 2
2sin 6

2 cos

6

2
1 cos 1
4
5
= 3 = sin 3
3
5
= 3
19.解：(1)因为在矩形 中， 为 的中点， 为 上靠近点 的三等分点，
所以 = + = + 1 ，3
= + = + 12
，
因为点 在 上，所以设 = = ( + )(0 < < 1)，
因为 = ，所以 = ( )，
所以(1 + ) = + ，
所以(1 + ) ( + ) = + 1 + ( + 1 ) = (1 + 1 ) + ( 1 + ) 3 2 2 3 ，
(1 + ) = 1 + 12 4所以 1 ，解得 = 3， =
5
；
(1 + ) = 3 +
7
(2)由(1)可知 = 5 ( + 7
)， = + 1 2 ，
因为 ⊥ ，所以 = 0，
所以 = 5 ( + ) ( + 1 7 2 )
5
= (
1
+
2
+
2 1
+ 7 2 2 )
= 57 × (
1
2 + 4) =
45
14．
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