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第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
课时2 函数
1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．（重点、难点）
3.会根据函数解析式求函数值.
学习目标
新课讲解
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情景一
新课讲解
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样
堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
层数 n
物体总数y
情景二
新课讲解
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到
-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
唯一一个T值
解：当t=-43时，
T=-43+273
=230（K）
情景三
新课讲解
思考归纳
思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
新课讲解
　　
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
知识要点
新课讲解
填表并回答问题：
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： .
（2）y是x的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y=+2x
2和－2
8和－8
18和－18
32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
练一练
关键词：两个变量，给一个x，得一个y.
易错点：
顺序不要反.
新课讲解
例1 下列关于变量x ，y 的关系式： y =2x+3； y =x2+3； y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．

判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
方法
一个x值有两个y 值与它对应
新课讲解
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时，y= ;
当x=3时，y= ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得x=
即当x= 时 ，y=0.
新课讲解
　　问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
　 （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶 的路程为 s（单位：km）；
　 （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
新课讲解
　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
新课讲解
例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
新课讲解
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
新课讲解
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
课堂小结
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
当堂小练
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.函数不是数，而是一种关系
B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数
D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
C
当堂小练
3.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量，
是变量， 是 的函数.
60
s=60t
t和s
s
t
4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .
当堂小练
5.求下列函数中自变量x的取值范围：
.
1
.
0
.
-1
x取全体实数
1．(跨学科融合)(2024广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，若t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d km与时间t s的解析式为(　　)
A．d=t B．d=3×105t
C．d=2×3×105t D．d=3×106t
A
课后练习
2．(人教8下P71、北师8上P82)用10 m长的绳子围一个矩形，写出它的一边长y(m)与邻边长x(m)的函数解析式为 　．
y=5-x
3．写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y=3x-1;　 (2)y=2x2+7;
　　　　　　 　　　　　　
(3)y=;　　　 (4)y=．
　　　　　　 　　　　　　
全体实数
全体实数
x≠-2
x≥2
4．(2024黑龙江)在函数y=中，自变量x的取值范围是
　　　　　　　．
x≥3
5．在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数解析式，并求出自变量r的取值范围．
解：半径为10 cm的圆的面积为100π cm2，
半径为r cm的圆的面积为πr2 cm2，
则S关于r的函数解析式为S=100π-πr2，且06． (北师8上P81)(运算能力)如图，甲、乙两地相距500 km，现有一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以
350 km/h的速度向丙地行驶．设x(h)表示列车行驶的时间，y(km)表示列车与甲地的距离．
(1)写出y与x的函数解析式;
(2)当x=0．5时，求y的值;
(3)当y=1 200时，求x的值．
解：(1)根据题意得y=500+350x.
(2)当x=0.5时，y=500+350×0.5=675.
(3)当y=1 200时，得500+350x=1 200，解得x=2.
小结:(2)中是已知函数解析式求函数值,就是将x的值代入解析式,求代数式的值;(3)中是已知函数解析式并给出函数值,求相应的x的值,实际上就是解方程.
7．【例2】写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y=; (2)y=; (3)y=．
　　　　　 　 　　　　　 　 　　　　　
小结:当函数关系式含分式、二次根式、零指数幂等综合时,自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
x≠2
x≤3
x≥1且x≠3
8． (人教8下P73、北师8上P79改编)一辆汽车油箱现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少，平均耗油量为0．1 L/km．
(1)写出表示y与x的函数关系式;
(2)指出自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油
解：(1)y与x的函数关系式为y=50-0.1x.
(2)x不能为负数，即x≥0;又0.1x≤50，解得x≤500.
综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)当x=200时，y=50-0.1×200=30.
答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
小结:确定实际问题的函数解析式时,一定不能忽略自变量的取值范围.
9．(人教8下P74改编、北师8上P80改编)(运算能力)水池中有800立方米的水，每小时可抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与抽水时间t(小时)的函数解析式;
(2)抽水6小时后，池中还有多少水
(3)抽水几小时后，池中还有200立方米的水
解：(1)Q=800-50t.
(2)当t=6时，Q=800-50×6=500(立方米).
答：抽水6小时后，池中还有500立方米的水.
(3)当Q=200时，800-50t=200，解得t=12.
答：抽水12小时后，池中还有200立方米的水.
10．写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y=; (2)y=; (3)y=+．
　　　　　 　 　　　　　 　 　　　 　　
x>-3
x≥0且x≠1
x≥2且x≠3
11．等腰三角形的周长为40 cm，若设底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x的函数解析式为　　 　　　，x的取值范围为　　 　 　　．
y=40-2x
10★12． 某校团支部书记暑假带领学生去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都可享受6折优惠．”若全票价是1 200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙．
(1)求两家旅行社的收费与学生人数的关系式;
(2)x在什么范围内，甲旅行社购票更优惠
0.50
解：(1)依题意，得y甲=1 200+0.5×1 200x=600x+1 200;
y乙=0.6×1 200(x+1)=720x+720.
(2)600x+1 200<720x+720，解得x>4.
即x>4时，甲旅行社购票更优惠.
请完成课本本节对应习题
布置作业

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