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1.4.2 课时3
空间向量在立体几何中的综合应用
1.能用向量方法解决简单距离和夹角问题.（重点）
2.通过用空间向量解决距离和夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．（难点）
前面我们学习了如何利用空间向量方法来解决立体几何中
的位置关系、距离和角度问题.
-4
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
复习导入
练习1.
用空间向量研究距离问题
点面距
点线距
线线距
线面距
面面距
两点间距离
复习导入
练习2.
二面角范围：
肉眼观察法
复习导入
练习3.
例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取9.8,精确到）.
问题1: 降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系
问题2: 降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和的方向与礼物重力的方向有什么关系
等于关系
相反向量
例题讲解
例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取9.8,精确到）.
解： 记铅垂线方向的单位向量为,设每根绳子的
拉力为, 因为=, 所以向量在向量上
的投影向量为:
由于8根绳子的合力大小与礼物重力大小相等，所以
所以
问题3: 如何用向量方法解决这个问题
例题讲解
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题1: 线面平行的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图作辅助线，从而利用三角形中位线来证明：PA EG
也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明：
问题2: 线面平行的向量法证明思路又是怎么样呢
也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行.
例题讲解
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
证明：（1）连接AC交BD于点G，再连接EG，
由正方形ABCD可得：AG=GC
　　　 又因为E是PC的中点，　
　　 所以PA EG ，
　　　 又因为PA， EG
　　　 所以PA平面EDB
也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明： ，或者直接证明与平面EDB 的法向量垂直，从而得到线面平行.
例题讲解
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题3: 线面垂直的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图，要证明PB 平面EFD , 由于PBEF , 所以只需要证明PBDE 或PBDF.
此时发现利用向量知识，很容易证明： PBDE，即证明
问题4: 发现几何法证明线线垂直有点麻烦，若用向量法怎么样才能证明呢
例题讲解
用空间向量解决立体几何问题
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
例题讲解
（2）以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴,
轴, 轴,如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
故
所以
由已知EF PB，且
所以PB 平面EFD ．
（2）求证：PB 平面EFD ;
例题讲解
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题５: 求二面角的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图，由于PB 平面EFD , 所以
此时发现几何法求这个角有难度，但利用向量知识,很容易
想到用向量夹角来求的大小．
问题６:用向量思想来求向量夹角，如何求出点F 的空间坐标
如图,要研究点的坐标,可以用设未知数的方法,来找到点满足的相关
条件,然后求出这个点的坐标,从而利用向量方法解决二面角问题.
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（3）由(2)得PB 平面EFD , PB EF, PB DF ,
所以
设点F坐标为,则,
因为EF PB且交PB于点F, 所以
,
所以
又由
所以
所以
即cos
所以
即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为
理解如何求直线上某一点的坐标
思考向量方法，发现二面角的大小就是
问题１:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的
如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长.
问题２:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
最后，我们
而我们想到这里有四条线段长全部已知，要求角大小，可以利用向量模与数量积的关系来求解
例题讲解
解:
又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
所以平面与平面的夹角是
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
解:
变式训练
如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的三等分点,且PE=2EC.
PB上是否存在点F ,使得AF平面EDB ,若存在,求出BF: PB的值 ;
若不存在,请说明理由.
问题1:此题用几何法研究线线平行有点难度，但转化为向量法研究线面平行，容易想到研究什么向量？
如图，可以研究线向量与平面BDE的法向量之间的垂直关系。
此时和刚才例题一样，利用设坐标的思想，通过三点共线得到其中两条向量共线，从而找到坐标之间的关系．
问题2:用向量思想来解此题，关键是如何求出点F 的空间坐标
如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的三等分点,且PE=2EC.
PB上是否存在点F ,使得AF平面EDB ,若存在,求出PF: PB的值 ;
若不存在,请说明理由.
解： 以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,
　　 如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
设平面
所以
又设
,
所以
因为要满足AF平面EDB
PF: PB的值是 .
变式训练
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：1.综合法；
2.向量法；
3.坐标法．

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