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高考数学高频易错押题预测 圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2025 单县校级一模）已知A（﹣3，0），B（3，0），O为坐标原点，点N是圆O：x2+y2＝4上任意一点，点M是圆O外一点，若∠AMN＝∠BMN，MN⊥BN，则点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 海淀区校级模拟）已知点，，若直线y＝kx上存在点P满足|PM|﹣|PN|＝2，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
3．（2025 大庆模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．则动点P的轨迹方程为（　　）
A．+＝1（x≠±2） B．+＝1（y≠±）
C．+＝1 D．+＝1（y≠±2）
4．（2025 浙江模拟）已知圆C：x2+y2﹣10y+16＝0与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相切，则该双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
5．（2025 合肥一模）已知P为圆O：x2+y2＝1上的动点（不在坐标轴上），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，将△OPQ绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知抛物线的焦点为F，双曲线经过F且与抛物线C1交于A，B两点，若△AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，则双曲线C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 浙江模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且曲线C1与C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点，若，则双曲线C2的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．4
8．（2025 上饶一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝2，点P为平面AB1C1D1上一动点，若∠PBC1＝∠BC1C，则P点的轨迹为（　　）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．圆
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 汕头模拟）已知曲线C：x2cosθ+y2sinθ＝1，θ∈（0，π），则下列说法正确的是（　　）
A．若cosθ＝0，则曲线C表示两条直线
B．若cosθ＞0，则曲线C是椭圆
C．若cosθ＜0，则曲线C是双曲线
D．若cosθ＝﹣sinθ，则曲线C的离心率为
（多选）10．（2025 海口一模）已知曲线C：y2＝|x|+1，则下列判断正确的是（　　）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C上的点与原点的最小距离为
C．曲线C在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值
D．直线l：y＝kx+b，则该直线与曲线C无公共点的充要条件为k＝0且b∈（﹣1，1）
（多选）11．（2025 石家庄校级一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积等于1，记点P的轨迹为曲线E，则（　　）
A．曲线E关于原点对称
B．曲线E与x轴恰有3个公共点
C．△PF1F2的周长最小值为4
D．△PF1F2的面积最大值为1
（多选）12．（2025 湖南模拟）双纽线∞最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线．已知点P（x0，y0）是a＝1时的双纽线C上一点，则（　　）
A．C关于原点成中心对称
B．C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有2个
C．△PF1F2面积的最大值为
D．当直线y＝kx与C有3个交点时，k的取值范围是（﹣1，1）
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浦东新区校级模拟）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 　 　．
14．（2025 嘉兴模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2，则双曲线C的离心率是 　 　．
15．（2025 九江一模）已知抛物线E：y2＝8x，⊙F：（x﹣2）2+y2＝1，过点F的直线l与E及⊙F自上而下依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|的最小值为 　 　．
16．（2025 河北模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上位于第一象限的一点，∠F1PF2＝60°，直线PF1与圆O：x2+y2＝a2交于A，B两点，若4|AB|＝|PF1|，则C的离心率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 南京模拟）已知P为圆O：x2+y2＝4上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得|MQ|＝2，点Q的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT，kAT+kBT＝﹣，证明：直线l过定点；
（3）若过右焦点F2的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且，当λ∈[2，3]时，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
18．（2025 濮阳二模）（理）设斜率为k1的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
（1）求k1 k2的值．
（2）把上述椭圆C一般化为（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k1与k2关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
19．（2025 惠东县模拟）我们在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线．若定点F1（﹣c，0），F2（c，0），动点P满足，其中a，c均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线C，它的轨迹方程为（x2+y2）2+λ（x2﹣y2）＝μ．
（1）求参数λ，μ的值（用含a，c的式子表示）；
（2）若P（x，y）为曲线上一点，求证：，；
（3）若，求证：曲线C恰经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
20．（2025 河北模拟）在直角坐标系xOy中，已知动圆过定点A（0，1），且截x轴所得的弦长为2．
（1）求动圆圆心的轨迹方程C；
（2）B，D为曲线C上的两个动点，过B，D中点M且与y轴平行的直线交曲线C于点N，曲线C在点N处的切线交y轴于点P．
（ⅰ）证明：BD∥NP；
（ⅱ）若点M在直线y＝x上，求△BNP面积的最大值．
高考数学高频易错押题预测 圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 单县校级一模）已知A（﹣3，0），B（3，0），O为坐标原点，点N是圆O：x2+y2＝4上任意一点，点M是圆O外一点，若∠AMN＝∠BMN，MN⊥BN，则点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】延长BN交直线AM于点C，连接ON，由条件判断|MB|＝|MC|且N为BC中点，利用中位线性质得ON//AC且，从而利用双曲线的定义得点M在以A，B为焦点的双曲线Ω上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可．
【解答】解：易知圆O的半径r＝2，
延长BN交直线AM于点C，连接ON，
则根据题意易得|MB|＝|MC|，且N为BC中点，
所以ON∥AC，且，
所以||MA|﹣|MB||＝||MA|﹣|MC||＝|AC|＝2|ON|＝4＜|AB|，
所以点M在以A，B为焦点的双曲线上，
且2a＝4，所以a＝2，又c＝3，
所以b2＝c2﹣a2＝5，
所以M的轨迹方程为，|x|≥2，
又点M是圆O外一点，
所以|x|＞2，即|y|≠0，
故所求轨迹方程为．
故选：B．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，属中档题．
2．（2025 海淀区校级模拟）已知点，，若直线y＝kx上存在点P满足|PM|﹣|PN|＝2，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围．
【解答】解：因为，故P在双曲线的右支上，
而半焦距，实半轴长为1，
故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为y＝±2x，
而直线y＝kx与双曲线右支有公共点，故k∈（﹣2，2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2025 大庆模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．则动点P的轨迹方程为（　　）
A．+＝1（x≠±2） B．+＝1（y≠±）
C．+＝1 D．+＝1（y≠±2）
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】利用直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程．
【解答】解：设P（x，y），
∵A（﹣2，0），B（2，0），∴，，
由已知得（x≠±2），
化简得（x≠±2），
∴点P的轨迹方程为（x≠±2）．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意去掉不合题意的点是关键，是基础题．
4．（2025 浙江模拟）已知圆C：x2+y2﹣10y+16＝0与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相切，则该双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】圆与圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】求双曲线的渐近线方程，结合直线与圆的位置关系列方程可得a，b关系，结合离心率定义求结论．
【解答】解：设双曲线＝1的半焦距为c，
双曲线的渐近线方程为bx+ay＝0，bx﹣ay＝0，
圆x2+y2﹣10y+16＝0的圆心坐标为（0，5），半径r＝3，
因为圆C与双曲线E的渐近线相切，
所以，即，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B．
【点评】本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是中档题．
5．（2025 合肥一模）已知P为圆O：x2+y2＝1上的动点（不在坐标轴上），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，将△OPQ绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轨迹方程；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】C
【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解．
【解答】解：设P（x，y），不妨设y＞0，则过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，将△OPQ绕y轴旋转一周，所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为|x|，高为|y|，则所得几何体的体积为，
令f（y）＝（1﹣y2）y（y＞0），f′（y）＝1﹣3y2，
由f′（y）＞0，可得0，
由f′（y）＜0，可得y，
所以f（y）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（y）在时取得最大值，即时，V取得最大值，
此时，所以线段OQ的长度为．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹方程问题，属于中档题．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知抛物线的焦点为F，双曲线经过F且与抛物线C1交于A，B两点，若△AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，则双曲线C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合；求双曲线的渐近线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】求解p与a的关系，设出B的坐标，结合已知条件，求解B的坐标，代入双曲线方程，求解a，b的关系，得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：抛物线的焦点为F（0，），双曲线经过F，可得p＝2a，
与抛物线C1交于A，B两点，若△AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，可设B（m，m），B的坐标代入抛物线方程，
可得m＝2p，所以B（2p，2p）代入双曲线方程，可得，可得，
，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，双曲线的渐近线方程的求法，是中档题．
7．（2025 浙江模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且曲线C1与C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点，若，则双曲线C2的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．4
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线与平面向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】利用已知条件推出p＝2c，联立方程组求解P的横坐标，结合斜率的数量积，转化求解离心率即可．
【解答】解：抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，
可得p＝2c，联立y2＝2px与，消去y可得b2x2﹣4a2cx﹣a2b2＝0，可得P的横坐标x＝，
，可得，p＝2c，
化简可得c2﹣a2＝2ac，即e2﹣2e﹣1＝0，e＞1，解得e＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
8．（2025 上饶一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝2，点P为平面AB1C1D1上一动点，若∠PBC1＝∠BC1C，则P点的轨迹为（　　）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．圆
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】建系，利用空间角的向量法结合空间向量的坐标运算可求得P的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型．
【解答】解：建系如图，则根据题意可得：
则B（0，0，2），C1（0，3，0），
所以，
由题可设P（x，y，0）（y≥0），所以，，
所以，
所以．
两边同时平方化简可得5y2﹣24y﹣4x2＝0，
所以，
所以，
故轨迹为双曲线的一支．
故选：C．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，椭圆的几何性质，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 汕头模拟）已知曲线C：x2cosθ+y2sinθ＝1，θ∈（0，π），则下列说法正确的是（　　）
A．若cosθ＝0，则曲线C表示两条直线
B．若cosθ＞0，则曲线C是椭圆
C．若cosθ＜0，则曲线C是双曲线
D．若cosθ＝﹣sinθ，则曲线C的离心率为
【考点】曲线与方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据cosθ、sinθ的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可．
【解答】解：由题意，曲线C：x2cosθ+y2sinθ＝1，θ∈（0，π），
若cosθ＝0，则sinθ＝1，曲线C：y＝±1，表示两条直线，故A正确；
若cosθ＞0，则sinθ＞0，
曲线C：x2cosθ+y2sinθ＝1，可化为，
当cosθ≠sinθ时，则曲线C表示椭圆，
当cosθ＝sinθ时，则曲线C表示圆，
故B错误；
若cosθ＜0，则sinθ＞0，则曲线C表示双曲线，故C正确；
若cosθ＝﹣sinθ，又θ∈（0，π），cos2θ+sin2θ＝1，
所以，
则曲线C为，
则曲线C为等轴双曲线，离心率为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 海口一模）已知曲线C：y2＝|x|+1，则下列判断正确的是（　　）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C上的点与原点的最小距离为
C．曲线C在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值
D．直线l：y＝kx+b，则该直线与曲线C无公共点的充要条件为k＝0且b∈（﹣1，1）
【考点】曲线与方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】化简曲线方程，作曲线的图象，观察图象判断A，结合方程求曲线上点P（x，y）到原点的距离，判断B，结合抛物线定义判断C，结合对称性证明k≠0及|b|≥l时，直线与曲线C一定有公共点，由此判断D．
【解答】解：因为曲线C：，作出其图象，如图所示：
数形结合可知y2＝|x|+1的图象关于x，y轴对称，且关于原点中心对称，A正确；
设曲线C上的点P（x，y），则P与原点的距离为，B错误；
因为抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为，
抛物线y2＝x+1的焦点坐标为，准线方程为，
所以曲线C落在第一、四象限的任意一点到焦点的距离与到其准线的距离相等，
所以曲线C在第一，四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值，C错误；
若k≠0，根据k的对称性，只需考虑k＞0，
因为当x→+∞时，一次函数y＝kx+b增加的速度比函数快，
所以当k≠0时，若﹣1≤b≤1，则y＝kx+b图象与y2＝|x|+1的图象一定有交点．
若|b|＞1，根据y＝kx+b的图象与y2＝|x|+1的图象变化情况可得y＝kx+b的图象与曲线y2＝|x|+1的图象一定有交点，
故当且仅当k＝0，b∈（﹣1，1）时，直线与曲线C无公共点，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查曲线方程的应用，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
（多选）11．（2025 石家庄校级一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积等于1，记点P的轨迹为曲线E，则（　　）
A．曲线E关于原点对称
B．曲线E与x轴恰有3个公共点
C．△PF1F2的周长最小值为4
D．△PF1F2的面积最大值为1
【考点】轨迹方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据题意，求得点P的轨迹方程为（（x+1）2+y2）（（x﹣1）2+y2）＝1，结合选项，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于选项A：因为|PF1| |PF2|＝1，
所以（（x+1）2+y2）（（x﹣1）2+y2）＝1，
用（﹣x，﹣y）替换（x，y），方程仍然成立，故选项A正确；
对于选项B：在方程（（x+1）2+y2）（（x﹣1）2+y2）＝1中，
令y＝0，
解得x＝0或，故选项B正确；
对于选项C：因为|PF1| |PF2|＝1，
所以，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝1时，等号成立，
此时点P恰为坐标原点，
所以△PF1F2的周长最小值大于4，故选项C错误；
对于选项D：易知△PF1F2的面积为，故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2025 湖南模拟）双纽线∞最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线．已知点P（x0，y0）是a＝1时的双纽线C上一点，则（　　）
A．C关于原点成中心对称
B．C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有2个
C．△PF1F2面积的最大值为
D．当直线y＝kx与C有3个交点时，k的取值范围是（﹣1，1）
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】对于A，设动点C（x，y），把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程，显然成立；
对于B，易得若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在y轴上，再根据P（x0，y0）的轨迹方程求解即可；
对于C，由三角形的面积公式求解判断即可；
对于D，联立方程组，由判别式分析求解即可．
【解答】解：对于A，设动点C（x，y），由题可得C的轨迹方程，
把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程显然成立，故A正确；
对于B，a＝1时的双纽线的方程为，
若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线y轴上，故此时x0＝0，
代入得y0＝0，即P（0，0），所以只有一个点P，故B错误；
对于C，因为P（x0，y0），是上的一点，
故＝，
当sin∠F1PF2＝1，即PF1⊥PF2时等号成立，
下面说明垂直时可取到，
，，
则＝+＝1，
代入＝1，
得＝1，解得x0＝，故C正确；
对于D，直线y＝kx与C有三个交点时，
联立y＝kx与，
得（1+k2）2x4+（2k2﹣2）x2＝0，当x＝0时，适合上述方程，
当x≠0时，（1+k2）2x2+（2k2﹣2）＝0，
即（1+k2）2x2＝2﹣2k2，则2﹣2k2＞0，则﹣1＜k＜1，
所以直线y＝kx与C有3个交点时，k的取值范围是（﹣1，1），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查轨迹方程问题，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浦东新区校级模拟）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 　　．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出|PF1|＝2c，利用椭圆定义即可得出离心率．
【解答】解：椭圆，左焦点F，
设椭圆右焦点为F1，连接PF1，ME，如下图所示：
由圆M：可知圆心M（0，0），半径；
显然，|MF|＝c，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，可知EM⊥EF，
因此可得，可得∠EFM＝30°，∴；
即可得，|FF1|＝2c；
在△PFF1中，由余弦定理可得，
解得|PF1|＝2c，
又，即，
因此离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
14．（2025 嘉兴模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2，则双曲线C的离心率是 　　．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】求得双曲线的渐近线方程和圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d＝r，结合|MN|的距离，以及离心率公式，可得所求．
【解答】解：双曲线线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝b2的圆心为（2，0），半径为b，
由题意知，点（2，0）到直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝b，可得c＝2，
两条渐近线均与圆D：（x﹣2）2+y2＝b2相切，切点分别为M，N，且|MN|＝2，
可得2＝2，ab＝2，a2+b2＝4，解得a＝b＝，
故双曲线C的离心率为：e＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线与圆的位置关系的应用，考查直线和圆相切的条件：d＝r，考查运算能力，属于中档题．
15．（2025 九江一模）已知抛物线E：y2＝8x，⊙F：（x﹣2）2+y2＝1，过点F的直线l与E及⊙F自上而下依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|的最小值为 　6　．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】6
【分析】根据抛物线的定义，AB的长度可以用点A的横坐标表示出来，CD的长度可以用点D的横坐标表示出来，进而可以求出最小值．
【解答】解：由题意可知F（2，0），圆心坐标为（2，0），半径为1；
设A（x1，y1），D（x2，y2），则|AF|＝x1+2，|DF|＝x2+2，|AB|＝|AF|﹣1＝x1+1，|CD|＝|DF|﹣1＝x2+1，
由题意可知直线l的斜率不能为零，当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为：x＝2，即x1＝x2＝2，所以|AB|+|CD|＝x1+1+（x2+1）＝6；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），
联立方程得，，k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴，x1x2＝4，
∴|AB|+|CD|＝x1+1+（x2+1）＝x1+x2+2≥2+2＝6，当且仅当x1＝x2＝2时，取等号成立，
但是x1＝x2时，直线与x轴垂直，所以当直线l与x轴不垂直时，|AB|+|CD|＞6．
综上|AB|+|CD|的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线问题，分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025 河北模拟）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上位于第一象限的一点，∠F1PF2＝60°，直线PF1与圆O：x2+y2＝a2交于A，B两点，若4|AB|＝|PF1|，则C的离心率为 　　．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征；双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据双曲线的定义得到m﹣n＝2a，利用三角函数得到，然后利用勾股定理列方程得到（m﹣2n）（15m﹣2n）2＝0，解方程得到m，n，最后在三角形PF1F2中利用余弦定理列方程，整理得离心率．
【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
P是C上位于第一象限的一点，如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m＞n，m﹣n＝2a，设O到直线PF1的距离为d，
过F2作直线PF1的垂线，易知，
所，
整理得，（m﹣2n）（15m﹣2n）2＝0，
∵m＞n，∴m＝4a，n＝2a，
由余弦定理，4c2＝16a2+4a2﹣8a2＝12a2，
∴，C的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与双曲线的位置关系的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 南京模拟）已知P为圆O：x2+y2＝4上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得|MQ|＝2，点Q的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT，kAT+kBT＝﹣，证明：直线l过定点；
（3）若过右焦点F2的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且，当λ∈[2，3]时，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
【考点】轨迹方程；椭圆的定点及定值问题．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）证明见解答．
（3）直线l在y轴上的截距为．
【分析】（1）设Q（x，y），P（x0，y0），则M（x0，0），N（0，y0），结合已知求解．
（2）设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2），联立方程组，结合韦达定理再分类讨论求解即可．
（3）设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，结合韦达定理再分类讨论即可．
【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x0，y0），则M（x0，0），N（0，y0），
由题意知|MN|＝4，所以，得（x0﹣x，﹣y）＝（﹣x0，y0），所以
因为，得，故曲线C的方程为．
（2）证明：设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2），联立方程组，
消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，
Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）＝16（16k2+4﹣m2）＞0，
又因为T（﹣4，0），所以kAT+kBT＝＝
＝
＝
＝
＝＝﹣，
化简得，m2﹣8km+16k2+4m﹣16k＝0，即（m﹣4k）2+4（m﹣4k）＝0，
解得m＝4k或m＝4k﹣4．
当m＝4k时，直线l过定点（﹣4，0）与点T重合，舍去，
当m＝4k﹣4时，直线l过定点（﹣4，﹣4）．
（3）设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，
消去x得，所以①，，
由得y2＝﹣λy1③，
由①③可得，，y2＝，
代入②化简得，12λt2＝（t2+4）（λ﹣1）2，
即，由λ∈[2.3]，得，
即，解得，即，
从而直线l在y轴上的截距为．
【点评】本题考查轨迹方程，属于难题．
18．（2025 濮阳二模）（理）设斜率为k1的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
（1）求k1 k2的值．
（2）把上述椭圆C一般化为（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k1与k2关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；双曲线的几何特征．
【专题】综合题．
【答案】（1）；
（2）对于椭圆，
已知斜率为k1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
则k1 k2的值为．
（解一）设直线方程为y＝k1x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2﹣a2）x2﹣2k1a2dx﹣（ad）2﹣（ab）2＝0
，
所以＝＝， （2分），即 （10分）
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）
则，，＝， （2分）
又因为点A，B在双曲线上，则
与作差得
＝＝k1k2 即
（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2＝1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线mx2+ny2＝1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．
解法1：设直线方程为y＝kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（﹣x1，﹣y1），则y1＝kx1
把y＝kx代入mx2+ny2＝1得（m+nk2）x2＝1，
KPA KPB＝＝，
所以KPA KPB＝＝＝．
【分析】（1）设直线方程为y＝k1x+b，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为，代入可得，从而可求
（法二）（利用点差法）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），由与作差得 ＝可求
（2）已知斜率为K1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．
则k1，k2 的值为
（解一）设直线方程为y＝k1x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整，根据方程的根与系数的关系代入可求
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）由点A，B在双曲线上，则利用点差法可求
（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2＝1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则．
【解答】（1）（解一）：设直线方程为y＝k1x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2）x2+4k1bx+2b2﹣2＝0，（2分）
，又中点M在直线上，所以
从而可得弦中点M的坐标为，，所以．（4分）
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则，
＝， （2分）
又与作差得 ＝
所以 （4分）
（2）对于椭圆， （6分）
已知斜率为k1的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
则k1 k2的值为． （8分）
（解一）设直线方程为y＝k1x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2﹣a2）x2﹣2k1a2dx﹣（ad）2﹣（ab）2＝0
，
所以＝＝， （2分），即 （10分）
（解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）
则，，＝， （2分）
又因为点A，B在双曲线上，则
与作差得
＝＝k1k2 即 （10分）
（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2＝1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则．（12分）
提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线mx2+ny2＝1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
解法1：设直线方程为y＝kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（﹣x1，﹣y1），则y1＝kx1
把y＝kx代入mx2+ny2＝1得（m+nk2）x2＝1，
KPA KPB＝＝，
所以KPA KPB＝＝＝（18分）
提出的问题的例如：直线L：y＝x，P为二次曲线mx2+ny2＝1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB＝30°的点P是否存在？（13分）
问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线mx2+ny2＝1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
2）直线l过原点，P为二次曲线mx2+ny2＝1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S△PAB的最值．
【点评】本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题的关键是能够由椭圆的性质归纳推理 到一般的曲线方程，及较强的逻辑推理的运算能力
19．（2025 惠东县模拟）我们在学习解析几何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线．若定点F1（﹣c，0），F2（c，0），动点P满足，其中a，c均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线C，它的轨迹方程为（x2+y2）2+λ（x2﹣y2）＝μ．
（1）求参数λ，μ的值（用含a，c的式子表示）；
（2）若P（x，y）为曲线上一点，求证：，；
（3）若，求证：曲线C恰经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）λ＝﹣2c2，μ＝a4﹣c4；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）设P（x，y），整理可得（x2+y2）2﹣2c2（x2﹣y2）＝a4﹣c4，结合题意即得结果；
（2）对方程整理可得（x2+y2﹣c2）2＝a4﹣4c2y2≥0，即有；对方程整理可得（x2﹣c2﹣a2）（x2﹣c2+a2）≤0，即有；
（3）由（2）的结论可知|y|≤1，再证明|y|＝0，最后代入方程并解出x即可．
【解答】（1）解：设P（x，y）为曲线上一点，
由题意可得|PF1| |PF2|＝．
整理可得动点P的轨迹方程为（x2+y2）2﹣2c2（x2﹣y2）＝a4﹣c4，
结合题意可知：λ＝﹣2c2，μ＝a4﹣c4．
（2）证明：根据（1）的结论有（x2+y2）2﹣2c2（x2﹣y2）＝a4﹣c4．
一方面，a4﹣c4＝（x2+y2）2﹣2c2（x2﹣y2）＝（x2+y2﹣c2）2+2c2y2﹣c4≥2c2y2﹣c4，
故a4≥2c2y2．可得；
另一方面，x4＝（x2）2≤（x2+y2）2＝2c2（x2﹣y2）+a4﹣c4≤2c2x2+a4﹣c4，从而x4﹣2c2x2+c4﹣a4≤0，即（x2﹣c2﹣a2）（x2﹣c2+a2）≤0．
从而﹣（c2+a2）≤c2﹣a2≤x2≤c2+a2，所以．
（3）证明：若，则C的轨迹方程为（x2+y2）2﹣9（x2﹣y2）＝0．
由（2）的结论可得，|x|≤3．
若x，y均为整数，则由，可知|y|≤1．
若|y|＝1，则（x2+1）2﹣9（x2﹣1）＝0，即x4﹣7x2+10＝0，故（x2﹣2）（x2﹣5）＝0．
故x2＝2或x2＝5，但2和5都不是整数的平方，矛盾．
所以|y|＝0，从而x4﹣9x2＝0，即x2（x﹣3）（x+3）＝0，解得x＝﹣3或x＝0或x＝3．
这表明曲线经过的整点只可能有（﹣3，0），（0，0），（3，0）．
所以曲线经过这3个整点．
【点评】本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
20．（2025 河北模拟）在直角坐标系xOy中，已知动圆过定点A（0，1），且截x轴所得的弦长为2．
（1）求动圆圆心的轨迹方程C；
（2）B，D为曲线C上的两个动点，过B，D中点M且与y轴平行的直线交曲线C于点N，曲线C在点N处的切线交y轴于点P．
（ⅰ）证明：BD∥NP；
（ⅱ）若点M在直线y＝x上，求△BNP面积的最大值．
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）x2＝2y．
（2）（i）证明见解析；
（ii）．
【分析】（1）设动圆圆心坐标为（x，y），根据直线与圆相交，弦长的求法列方程化简即可．
（2）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），M（m，y0），根据“点差法”可得m＝kBD，进而求出N点坐标，根据导数的几何意义求过N点的切线斜率，根据直线平行的判断方法判断BD∥NP．
（ii）结合两平行线间的距离公式和弦长公式，表示出△BNP的面积，再利用导数分析函数的单调性求函数的最大值．
【解答】解：（1）设动圆圆心坐标为（x，y），
因为动圆过定点A（0，1），截x轴所得弦长为2，
所以x2+（y﹣1）2＝|y|2+1，
整理得x2＝2y，所以动圆圆心的轨迹方程C：x2＝2y．
（2）（i）如图：
设M（m，y0），D（x2，y2），B（x1，y1），
根据题满足，作差得（x1+x2）（x1﹣x2）＝2（y1﹣y2），
所以，所以m＝kBD，
因为过点M与y轴平行的直线交曲线C于点N，所以，
因为曲线C：x2＝2y，所以，所以导函数y′＝x，
所以kNP＝m＝kBD，即BD∥NP．
（ii）因为点M在直线y＝x上，所以M（m，m），
又因为M为B，D中点，所以点M在曲线C内部，
所以m2＜2m，解得m∈（0，2），
由（i）BD∥NP，所以点B到直线NP的距离即为平行线BD和NP间距离，
因为BD：y﹣m＝m（x﹣m），所以mx﹣y﹣m2+m＝0，
，所以，
所以BD和NP间距离为，
因为，
所以，
因为m∈（0，2），所以，
令函数f（m）＝2m2﹣m3，导函数f′（m）＝4m﹣3m2，
令导函数f′（m）＝0，解得m＝0或，
所以，导函数f′（m）＞0，函数f（m）单调递增；
，导函数f′（m）＜0，f（m）单调递减，
所以f（m）最大值为，
所以三角形BNP面积的最大值为．
【点评】本题考查轨迹方程，属于中档题．
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