资源简介

高考数学高频易错押题预测 直线与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳一模）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x+y﹣2＝0的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 绵阳模拟）若直线l1：x+2y﹣3＝0与直线l2：kx﹣2y+1＝0（k∈R）平行，则这两条直线间的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 东湖区校级一模）已知点A（1，﹣1），B（a，a﹣2）到直线l的距离分别为和，若这样的直线l恰有两条，则a的取值范围是（　　）
A．（5，9） B．（9，+∞）
C．（﹣7，﹣3）∪（5，9） D．（﹣3，5）∪（9，+∞）
4．（2025 淮北一模）“a＝2”是“直线x+ay﹣1＝0与直线4x﹣ay+1＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025 淮北一模）已知正三角形的三个顶点坐标分别为（1，1），（2，2），（m，n），若m＞1，则n＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（　　）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
7．（2024 茂名模拟）已知直线l1：x+my﹣5＝0，直线l2：mx+y+3＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．0
8．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 广东模拟）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝9，则（　　）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为
（多选）10．（2025 市中区校级模拟）设动直线l：mx+y﹣m﹣2＝0（m∈R）与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝12交于A，B两点，则下列说法正确的有（　　）
A．直线l过定点（1，2）
B．当|AB|最大时，m＝﹣1
C．|AB|最小为2
D．当∠ACB最小时，其余弦值为
（多选）11．（2025 随州模拟）已知直线l1：x+my﹣1＝0，l2：（m﹣2）x+3y+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则
D．若l1⊥l2，则
（多选）12．（2024 香河县校级模拟）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0
C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0
三．填空题（共4小题）
13．（2025 随州模拟）已知点P（4，a）到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是　 　．
14．（2025 安顺模拟）圆O：x2+y2＝1与圆C关于直线x+y﹣2＝0对称，写出两圆的一条公切线：　 　．
15．（2025 曲靖一模）已知直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，则l1与l2间的距离为 　 　．
16．（2024 沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45°的入射角从空气中射入点A（﹣2，0），该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），记|P1P2|＝，称|P1P2|t为点P与点B之间的“t﹣距离”，其中max{p，q}表示P，q中较大者．
（1）计算点P（1，2）和点Q（2，4）之间的“t﹣距离”；
（2）设P0（x0，y0）是平面中一定点，r＞0．我们把平面上到点P0的“t﹣距离”为r的所有点构成的集合叫做以点P0为圆心，以r为半径的“t﹣圆”，求以原点O为圆心，以为半径的“t﹣圆”的面积；
（3）证明：对任意点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），|P1P3|t≤|P1P2|t+|P2P3|t．
18．（2023 宝鸡三模）已知点P（x，y）在曲线x2+y2＝1上．
（1）求动点M（x+y，xy）的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；
（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
19．（2023 固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
20．（2024 兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点N1，N2分别在直线x﹣2y＝0，2x﹣y＝0上，点M（0，2）与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d（M，N1），d（M，N2），求d（M，N1）和d（M，N2）的最小值；
（2）已知点N是直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上的动点，点M（0，2）与点N的曼哈顿距离d（M，N）的最小值记为f（k），求f（k）的最大值；
（3）已知点M（ek，kek），点N（m，n）（k，m，n∈R，e是自然对数的底），当k≤1时，d（M，N）的最大值为f（m，n），求f（m，n）的最小值．
高考数学高频易错押题预测 直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳一模）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x+y﹣2＝0的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】点到直线的距离公式；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】设A（﹣1，3）关于直线x﹣y＝0的对称点为Q（a，b），由对称关系可得，求解得Q点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：设A（﹣1，3）关于直线x﹣y＝0的对称点为Q（a，b），
由对称关系可得，
解得．
∴Q（3，﹣1）．
则点Q（3，﹣1）到直线l：3x+y﹣2＝0的距离为d＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线的对称问题，考查点到直线的距离公式，属中档题．
2．（2025 绵阳模拟）若直线l1：x+2y﹣3＝0与直线l2：kx﹣2y+1＝0（k∈R）平行，则这两条直线间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，以及平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：直线l1：x+2y﹣3＝0与直线l2：kx﹣2y+1＝0（k∈R）平行，
则，解得k＝﹣1，
故直线l1：x+2y﹣3＝0，直线l2：x+2y﹣1＝0，
这两条直线间的距离为：．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，以及平行直线间的距离公式，属于基础题．
3．（2025 东湖区校级一模）已知点A（1，﹣1），B（a，a﹣2）到直线l的距离分别为和，若这样的直线l恰有两条，则a的取值范围是（　　）
A．（5，9） B．（9，+∞）
C．（﹣7，﹣3）∪（5，9） D．（﹣3，5）∪（9，+∞）
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解．
【解答】解：因为点A（1，﹣1），B（a，a﹣2）到直线l的距离分别为和，若这样的直线l恰有两条，
可得以A为圆心，r1＝为半径的圆，以B为圆心，r2＝为半径的圆，这两圆有两条公切线，
因此这两个圆相交，
所以r2﹣r1＜|AB|＜r2+r1，
即，而，
则4＜|a﹣1|＜8，解得5＜a＜9或﹣7＜a＜﹣3，
所以a的取值范围是（﹣7，﹣3）∪（5，9）．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
4．（2025 淮北一模）“a＝2”是“直线x+ay﹣1＝0与直线4x﹣ay+1＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，结合充分条件、必要条件的判断，即可求解．
【解答】解：直线x+ay﹣1＝0与直线4x﹣ay+1＝0垂直，
则1×4﹣a2＝0，解得a＝2或﹣2，
故“a＝2”是“直线x+ay﹣1＝0与直线4x﹣ay+1＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，结合充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
5．（2025 淮北一模）已知正三角形的三个顶点坐标分别为（1，1），（2，2），（m，n），若m＞1，则n＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】根据正三角形的性质，运用两点之间的距离公式建立关于m、n的方程组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：设A（1，1），B（2，2），C（m，n），其中m＞1．
根据|AB|＝＝，△ABC是正三角形，
可得|AC|＝|BC|，即＝＝，
解得（不符合题意，舍去），所以n＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查两点间的距离公式、正三角形的性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（　　）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】首先根据垂直得出﹣×＝﹣1从而求出a的值，再由（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0和2x﹣5y+b＝0上求出c和b的值，即可得出结果．
【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直
∴﹣×＝﹣1
解得：a＝10
∴直线l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b＝0上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．
7．（2024 茂名模拟）已知直线l1：x+my﹣5＝0，直线l2：mx+y+3＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．0
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线l1：x+my﹣5＝0，直线l2：mx+y+3＝0，l1∥l2，
则m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1，
经检验，当m＝1或﹣1时，两直线均不重合，符合题意，
故实数m的值为±1．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，是基础题．
8．（2024 重庆模拟）已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析．
【答案】C
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b＝1，再利用基本不等式的，求得的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0，且l1⊥l2，
∴（a﹣1）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b＝时，等号成立．
则＝＝的最小值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 广东模拟）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝9，则（　　）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为
【考点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；对应思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用直线系方程求得直线l所过定点判断A；举例说明B正确；由直线所过定点在圆内部判断C；由垂径定理求弦长判断D．
【解答】解：直线l：kx﹣y+2k＝0，即k（x+2）﹣y＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A错误；
当k＝﹣2时，直线l：kx﹣y+2k＝0与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故B正确；
∵定点（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；
当k＝﹣1时，直线l化为﹣x﹣y﹣2＝0，即x+y+2＝0，
圆心O到直线的距离d＝＝，直线l被圆O截得的弦长为2＝2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．
（多选）10．（2025 市中区校级模拟）设动直线l：mx+y﹣m﹣2＝0（m∈R）与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝12交于A，B两点，则下列说法正确的有（　　）
A．直线l过定点（1，2）
B．当|AB|最大时，m＝﹣1
C．|AB|最小为2
D．当∠ACB最小时，其余弦值为
【考点】恒过定点的直线；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】由直线l的方程可得直线恒过定点P的坐标，进而可判断A；由圆的方程可得圆心C的坐标及半径r的值，当|AB|最大时，则直线l过圆心，可得m的值，判断B；当|AB|最小时，则直线l与直线PC垂直，可得m的值，进而求出|AB|的值，判断C；当∠ACB最小时，可得AB最小，由C的运算可得cos∠ACB的值，判断D．
【解答】解：动直线l：mx+y﹣m﹣2＝0＝m（x﹣1）+y﹣2＝0，由，可得恒过定点P（1，2），故A正确；
由圆的方程可得圆心C（3，4），半径，因为（1﹣3）2+（2﹣4）2＝8＜12，所以P在圆内，
当直线l过圆心C时，AB最大为直径，所以3m+4﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，故B正确；
当CP⊥l时，AB最小，而，所以kl＝﹣1，即﹣m＝﹣1，解得m＝1，
所以直线l的方程为：x+y﹣3＝0，所以圆心C到直线l的距离，
所以，故C不正确；
当∠ACB最小时，可得AB最小，由C的分析可得|AB|＝4，，
所以，故D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线系方程的应用，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）11．（2025 随州模拟）已知直线l1：x+my﹣1＝0，l2：（m﹣2）x+3y+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则
D．若l1⊥l2，则
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用直线与直线平行、直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：由直线l1：x+my﹣1＝0，l2：（m﹣2）x+3y+3＝0，得：
若l1∥l2，则，解得m＝3，故A错误，B正确；
若l1⊥l2，则1×（m﹣2）+m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（2024 香河县校级模拟）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0
C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AC
【分析】分别讨论直线l的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求方程．
【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
A到直线l的距离为5，B到直线l的距离为3，显然不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k＝0，
由已知得，
所以k＝4或，
所以直线l的方程为4x﹣y﹣5＝0或3x+4y﹣18＝0．
故选：AC．
【点评】本题考查直线方程，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 随州模拟）已知点P（4，a）到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是　[0，10]　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；定义法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可得：P（4，a）到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离d≤3，解之即可．
【解答】解：由已知可得：P（4，a）到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离
d＝＝≤3，即|a﹣5|≤5，
解得0≤a≤10，
故答案为：[0，10]．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及绝对值不等式的解法，属基础题．
14．（2025 安顺模拟）圆O：x2+y2＝1与圆C关于直线x+y﹣2＝0对称，写出两圆的一条公切线：　答案不唯一）　．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】答案不唯一）．
【分析】求出（0，0）关于直线x+y﹣2＝0对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，利用点到直线的距离关系，即可求出结果．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），
设O（0，0）关于直线x+y﹣2＝0对称点的坐标为（a，b），
则，解得a＝b＝2，
∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，其圆心坐标为C（2，2），半径为1，
两圆的圆心距，可知两圆外离，且，
设与OC平行的公切线方程为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
则由O到直线y＝x+b的距离d＝1，可得，解得，
∴两圆的一条公切线为，或．
再由两圆的对称性可知，x＝1，y＝1也为两圆的公切线．
故答案为：答案不唯一）．
【点评】本题考查原点方程及其求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
15．（2025 曲靖一模）已知直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，则l1与l2间的距离为 　　．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】由平行关系易得m值，代入平行线间的距离公式计算可得．
【解答】解：因为直线l1：x+y+1＝0与l2：（m+2）x+y+m＝0平行，
所以＝≠，解得m＝﹣1，
故两直线为：x+y+1＝0和x+y﹣1＝0，
故l1与l2间的距离为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．
16．（2024 沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45°的入射角从空气中射入点A（﹣2，0），该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 　　．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据折射定律求解折射角的正弦，进而求得直线斜率和经过的点B，得到直线方程．
【解答】解：如图，入射角α＝45°，
∴，
∴，
∴∠OAB＝30°＝∠OBA．
易知，β＝45°．
∴该光线再次返回空气中时，其所在直线的斜率为．
∴直线的方程为，
整理得．
故答案为：．
【点评】本题主要是考查了光的折射，解答此类题目的关键是弄清楚光的传播情况，画出光路图，通过光路图根据几何关系、折射定律进行分析，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），记|P1P2|＝，称|P1P2|t为点P与点B之间的“t﹣距离”，其中max{p，q}表示P，q中较大者．
（1）计算点P（1，2）和点Q（2，4）之间的“t﹣距离”；
（2）设P0（x0，y0）是平面中一定点，r＞0．我们把平面上到点P0的“t﹣距离”为r的所有点构成的集合叫做以点P0为圆心，以r为半径的“t﹣圆”，求以原点O为圆心，以为半径的“t﹣圆”的面积；
（3）证明：对任意点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），|P1P3|t≤|P1P2|t+|P2P3|t．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）t﹣圆的面积为4；
（3）证明见解析．
【分析】（1）直接根据“t﹣距离”的定义代入数据求解即可；
（2）根据“t﹣距离”，“t﹣圆”的定义，求出圆的半径，即可求得圆的面积；
（3）根据“t﹣距离”的定义，代入化简，结合绝对值不等式证明即可．
【解答】解：（1）由题中“t﹣距离”的定义可得，
（2）设P（x，y）是以原点O为圆心，以为半径的t﹣圆上任一点，则，
若，则|x|＝1，|y|≤1；
若，则有|y|＝1，|x|≤1，
作出图像如下：
以原点O为圆心，以为半径的t﹣圆为一个正方形，边长为2，面积为4；
（3）证明：考虑函数，
求导可得f′（t）＝＞0，
所以函数f（t）在区间[0，+∞）上单调递增．
又由绝对值不等式|x1﹣x3|≤|x1﹣x2|+|x2﹣x3|，可得，
当且仅当x1＝x2＝x3时，不等式取等，
同理有，不妨设，
则≤max{，}+max{，}＝|P1P2|+|P2P3|，
故不等式成立．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，新定义问题，绝对值不等式，是中档题．
18．（2023 宝鸡三模）已知点P（x，y）在曲线x2+y2＝1上．
（1）求动点M（x+y，xy）的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；
（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合．
【专题】整体思想；综合法；坐标系和参数方程；运算求解．
【答案】（1）参数方程为，θ为参数；直角坐标方程为；
（2）．
【分析】（1）先将曲线x2+y2＝1化为参数方程，可得到动点M（cosθ+sinθ，cosθsinθ），从而得到点M的轨迹C的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；
（2）先设l的参数方程，再代入曲线C的方程得t2cos2α﹣2tsinα﹣1＝0，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可．
【解答】解：（1）由题意，曲线x2+y2＝1的参数方程为，θ为参数，
则M（cosθ+sinθ，cosθsinθ），
再设M（x'，y'），则，θ为参数，
消去参数，得到，
故点M的轨迹C的方程为；
（2）设l的参数方程为（t为参数），且，
代入曲线C的方程得t2cos2α﹣2tsinα﹣1＝0，
设A，B两点对应得参数分别为t1，t2，则，
所以，则，
即直线l的斜率为．
【点评】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．
19．（2023 固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；转化思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；
（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：KAB＝KOC＝＝3．
∴AB所在直线方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
∵M是线段CD的中点，∴x＝，y＝，
于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，
∵点D在线段AB上运动，
∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），
∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0
即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤）．
【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．
20．（2024 兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点N1，N2分别在直线x﹣2y＝0，2x﹣y＝0上，点M（0，2）与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d（M，N1），d（M，N2），求d（M，N1）和d（M，N2）的最小值；
（2）已知点N是直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上的动点，点M（0，2）与点N的曼哈顿距离d（M，N）的最小值记为f（k），求f（k）的最大值；
（3）已知点M（ek，kek），点N（m，n）（k，m，n∈R，e是自然对数的底），当k≤1时，d（M，N）的最大值为f（m，n），求f（m，n）的最小值．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）d（M，N1）的最小值为2，d（M，N2）的最小值为1；
（2）5；
（3）．
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到f（k）的最大值；
（3）根据题意，令x＝ek，然后分别构造函数g（x）＝x+xlnx，0＜x≤e，h（x）＝x﹣xlnx，0＜x≤e即可得到，从而得到结果．
【解答】解：（1），
则d（M，N1）≥2，即d（M，N1）的最小值为2；
，
则d（M，N2）≥1，即d（M，N2）的最小值为1；
（2）当k2≥1时，d（M，N）＝|x|+|y﹣2|，
点（x，y）为直线x+k2y+2k+1＝0（k＞0）上一动点，
则当k2≥1时，，
即；
当k2＜1时，，
即f（k）＝|2k2+2k+1|；
所以，又当k≥1时，，
当0＜k＜1时，|2k2+2k+1|＜5，
所以f（k）的最大值为5；
（3）令x＝ek，则kek＝xlnx，0＜x≤e，
d（M，N）＝|ek﹣m|+|kek﹣n|＝max{|x+xlnx﹣m﹣n|，|x﹣xlnx﹣m+n|}，
令g（x）＝x+xlnx，0＜x≤e，则g′（x）＝2+lnx＞0在区间（e﹣2，e]内成立，
则g（x）在区间（e﹣2，e]内单调递增，则，
令h（x）＝x﹣xlnx，0＜x≤e，则h′（x）＝﹣lnx＜0在区间（1，e]内成立，
则h（x）在区间（1，e]内单调递减，则0＝h（e）≤h（x）≤g（1）＝1，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
f（m，n）的最小值．
【点评】本题考查了新概念问题，属于难题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑