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高考数学高频易错押题预测 双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 十堰模拟）下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 单县校级一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
3．（2025 保定校级模拟）已知双曲线C过点（3，6），且与双曲线有相同的渐近线，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 江西一模）已知双曲线C：的右焦点为F，其中一条渐近线上存在一点P，使得另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．4
5．（2025 南京模拟）已知双曲线＝1（b＞a＞0），O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且OA⊥OB，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 上犹县校级一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上位于第一象限的一点，且∠F1PF2＝90°，设O为坐标原点，N为PF2的中点，∠F1PF2的角平分线交线段ON于点M，若|OM|＝|MN|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．（2025 辽宁模拟）已知A为双曲线的右顶点，P为C上一点，P关于y轴的对称点为Q，AP⊥AQ，∠APQ＝60°，△APQ的面积为，则C的焦距为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 昌黎县校级模拟）已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 天心区校级模拟）已知双曲线，则（　　）
A．λ的取值范围是（﹣6，3）
B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为（1，3）
（多选）10．（2025 市中区校级模拟）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线C：的左，右焦点，过C右支上一点A作双曲线的切线交x轴于点M，交y轴于点N，则（　　）
A．平面上点B（4，1），|AF2|+|AB|的最小值为
B．直线MN的方程为xx0﹣3yy0＝3
C．过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则|OH|＝2（O为坐标原点）
D．四边形AF1NF2面积的最小值为4
（多选）11．（2025 景德镇模拟）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，离心率为e，P（x0，y0）为双曲线上位于第一象限内任意一点，设∠PAB＝α，∠PBA＝β，△PAB的面积为S，则（　　）
A．的值随着x0的增大而减小
B．tanαtanβ是定值
C．
D．若S tan（α+β）+a2≥0，则
（多选）12．（2025 永州二模）斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B．P也是线段CD的中点
C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是
D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为（2，1），则a＝b
三．填空题（共4小题）
13．（2025 汕头模拟）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 　 　．
14．（2025 石家庄校级一模）如图，已知斜率为﹣2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且∠ABC＝45°，则该双曲线的离心率为 　 　．
15．（2025 昌黎县校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为 　 　．
16．（2025 汕头一模）过双曲线﹣＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 黑龙江模拟）已知双曲线C：2x2﹣2y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是C上不与顶点重合的一动点，直线MF1、MF2分别交C于另一点A、B．
（1）设＝λ，，
①当λ＜0时，求直线AM斜率的取值范围；
②求证：λ+μ＝﹣6；
（2）O为坐标原点，问：直线OM与直线AB的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
18．（2025 如皋市模拟）双曲线Ei：25x2﹣9y2＝（ai＞0，i＝1，2，…，n），射线l1：y＝k1x（x≥0）和射线l2：y＝k2x（x≥0）分别与E1，E2，…，En交于点A1，A2，…，An和点B1，B2，…，Bn．
（1）求双曲线Ei（i＝1，2，…，n）的离心率；
（2）作射线l：y＝kx（x≥0）（异于l1，l2）与E1，E2，…，En分别交于点P1，P2，…，Pn，记△A1B1P1的面积为Si（i＝1，2，…，n）．
（i）求证：A1B1∥A2B2；
（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai＝（i＝1，2，…，n），记S＝，证明：S＜．
19．（2025 延边州一模）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支分别交于M，N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D为垂足．
（i）证明：直线MN恒过定点P，并求出点P坐标．
（ii）判断是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标．
20．（2025 重庆模拟）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设过点P（1，0）的直线l与双曲线C交于A、B两点，是否存在直线l使得（O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
高考数学高频易错押题预测 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 十堰模拟）下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质逐项判断即可．
【解答】解：选项AB对应的双曲线焦点在x轴上，排除；
选项C对应的双曲线焦点在y轴上且渐近线方程为；
选项D对应的双曲线焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x，排除．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
2．（2025 单县校级一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据弦长的计算方法求得点F到渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式以及双曲线离心率的计算公式，求解即可．
【解答】解：不妨取渐近线的方程为y＝x，
由题意知，点F到渐近线y＝x的距离为＝a，
而点F（c，0）到渐近线y＝x的距离为＝＝b，
所以a＝b，
所以离心率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的渐近线方程与离心率的求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．（2025 保定校级模拟）已知双曲线C过点（3，6），且与双曲线有相同的渐近线，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意设双曲线方程，将（3，6）代入，求出参数的值，可求双曲线的标准方程．
【解答】解：因为双曲线C过点（3，6），且与双曲线有相同的渐近线，
所以设双曲线方程为﹣y2＝λ，λ≠0，
将（3，6）代入，可得﹣36＝λ，则λ＝﹣33，
所求双曲线的标准方程是﹣＝1．
故选：D．
【点评】本题考查与已知所求的渐近线方程相同的双曲线的方程的求法，属于基础题．
4．（2025 江西一模）已知双曲线C：的右焦点为F，其中一条渐近线上存在一点P，使得另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．4
【考点】双曲线的离心率；双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线C：的右焦点为F，其中一条渐近线上存在一点P，
使得另一条渐近线垂直平分线段PF，
不妨设渐近线垂直平分线段PF，∴|OF|＝|OP|＝c．
由
解得
∴点P的坐标为，
由，
得3a2＝b2，∴双曲线C的离心率．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
5．（2025 南京模拟）已知双曲线＝1（b＞a＞0），O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且OA⊥OB，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝m，联立方程组，推导出直线l的斜率存在．设直线l：y＝kx+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2knx﹣a2（n2+b2）＝0，利用韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，结合题设条件能求出离心率的取值范围．
【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝m，
则，由OA⊥OB，得，
∵b＞a＞0，∴m无解，
∴直线l的斜率存在．
②设直线l：y＝kx+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2knx﹣a2（n2+b2）＝0，
则，，
，
∵OA⊥OB，∴，
代入韦达定理化简得，
又点O到直线l的距离，则，
代入，得，
又c2＝b2+a2所以c2≤3a2，
∴，，
又b＞a＞0，c2＝b2+a2＞2a2，∴，e．
∴离心率的取值范围是（，]．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线性质、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式、离心率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2025 上犹县校级一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上位于第一象限的一点，且∠F1PF2＝90°，设O为坐标原点，N为PF2的中点，∠F1PF2的角平分线交线段ON于点M，若|OM|＝|MN|，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质，以及离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
P是双曲线C上位于第一象限的一点，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，
由∠F1PF2＝90°，可得m2+n2＝4c2，
由ON为△PF1F2的中位线，可得|ON|＝m，
又△MPN为等腰直角三角形，且|MN|＝|ON|＝|PN|＝n，
即有m＝2n，
解得m＝4a，n＝2a，
则16a2+4a2＝4c2，即c＝a，
可得e＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7．（2025 辽宁模拟）已知A为双曲线的右顶点，P为C上一点，P关于y轴的对称点为Q，AP⊥AQ，∠APQ＝60°，△APQ的面积为，则C的焦距为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先设P（x0，y0），再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得，最后点在双曲线上得出b＝a，计算得出2c即可．
【解答】解：因为A为双曲线的右顶点，
P为C上一点，P关于y轴的对称点为Q，AP⊥AQ，∠APQ＝60°，△APQ的面积为，
所以点P在C的右支上，且P在第一象限，
设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则Q（﹣x0，y0），由AP⊥AQ，∠APQ＝60°，
得解得
所以，所以a2＝3，即，
因为P（x0，y0）在C的右支上，所以，又，
解得b2＝3，所以c2＝a2+b2＝6，即，所以焦距为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题．
8．（2025 昌黎县校级模拟）已知双曲线C：的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解离心率即可．
【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，
而双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 天心区校级模拟）已知双曲线，则（　　）
A．λ的取值范围是（﹣6，3）
B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为（1，3）
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程的特征，易求得﹣6＜λ＜3，判断方程中分母的符号即可判断A，B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e的范围，判断D项．
【解答】解：对于A，∵表示双曲线，∴（λ+6）（3﹣λ）＞0，解得﹣6＜λ＜3，故A正确；
对于B，由A项可得﹣6＜λ＜3，故λ+6＞0，3﹣λ＞0，∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c（c＞0），则c2＝λ+6+3﹣λ＝9，∴c＝3，即焦距为2c＝6，故C正确；
对于D，离心率，∵﹣6＜λ＜3，∴，∴e的取值范围是（1，+∞），故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
（多选）10．（2025 市中区校级模拟）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线C：的左，右焦点，过C右支上一点A作双曲线的切线交x轴于点M，交y轴于点N，则（　　）
A．平面上点B（4，1），|AF2|+|AB|的最小值为
B．直线MN的方程为xx0﹣3yy0＝3
C．过点F1作F1H⊥AM，垂足为H，则|OH|＝2（O为坐标原点）
D．四边形AF1NF2面积的最小值为4
【考点】双曲线的切线方程及性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对A，利用双曲线定义将|AF2|转化为|AF1|﹣2a可得解；对B，设出直线MN的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）与双曲线联立，根据Δ＝0化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2延长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点，进而得，可得解；对D，求出N点坐标，根据＝+，结合基本不等式可求解．
【解答】解：对于A，由双曲线定义得，且F1（﹣2，0），
则|AF2|+|AB|＝|AF1|+|AB|﹣2≥|BF1|﹣2＝＝﹣2，
所以|AF2|+|AB|的最小值为，故A正确；
对于B，设直线MN的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），，
联立方程组，消去y整理得，
∴Δ＝0，化简整理得，解得，
可得直线MN的方程为，即x0x﹣3y0y＝3，故B正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2延长F1H与AF2的延长线交于点E，
则AH垂直平分F1E，即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点，又O是F1F2中点，
所以，故C错误；
对于D，由直线MN的方程为x0x﹣3y0y＝3，令x＝0，得，
则，＝+＝|F1F2|×（|y0|+≥×4×2＝4，
当且仅当，即y0＝±1时等号成立，所以四边形AF1NF2面积的最小值为4，故D项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 景德镇模拟）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，离心率为e，P（x0，y0）为双曲线上位于第一象限内任意一点，设∠PAB＝α，∠PBA＝β，△PAB的面积为S，则（　　）
A．的值随着x0的增大而减小
B．tanαtanβ是定值
C．
D．若S tan（α+β）+a2≥0，则
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由正弦定理可得，即可判断选项A；根据tanα tanβ＝﹣kPAkPB即可判断选项B；推导出，又，即可判断选项C；由S＝ay0，，即可得到，从而得到a2≥b2，即可求出离心率的取值范围，从而判断选项D．
【解答】解：易知双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右顶点为B（a，0），渐近线为，
在△PAB中，由正弦定理可知，
显然π﹣β，α均为锐角且随着x0的增大分别减小与增大，
即sin（π﹣β），sinα随着x0的增大分别减小与增大且均为正数，
所以的值随着x0的增大而减小，故选项A正确；
因为，
又点P在双曲线上，
所以，
此时，
则tanαtanβ是定值，故选项B正确；
因为，
又，
所以，故选项C错误；
因为△PAB的面积，
，
所以，
因为S tan（α+β）+a2≥0，
所以，
解得a2≥b2，
此时，
因为，
所以，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2025 永州二模）斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B．P也是线段CD的中点
C．若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是
D．若l过双曲线的焦点，点P的坐标为（2，1），则a＝b
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，易知，求出直线方程，结合双曲线的渐近线方程即可判断选项A；设出直线l的方程，将直线方程分别与双曲线方程以及联立，利用韦达定理即可判断选项B；设出直线l的方程，结合选项B中信息以及斜率公式即可判断选项C；结合选项C中信息即可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：易知，
所以或，
即或，
该直线方程恰好为双曲线的两条渐近线，故选项A正确；
对于选项B：设直线l的方程为y＝2x+m，C（x3，y3），D（x4，y4），
联立，消去y并整理得（b2﹣4a2）x2﹣4a2mx﹣a2m2﹣a2b2＝0，
若b2﹣4a2＝0，渐近线方程为y＝±2x，
此时与直线l平行，不符合题意，
由韦达定理得；
联立，消去y并整理得（b2﹣4a2）x2﹣4a2mx﹣a2m2＝0，
由韦达定理得，
所以AB，CD共用同一个中点，故选项B正确；
对于选项C：若直线l过焦点（c，0），
此时直线l的方程为y＝2x﹣2（m＝﹣2c），
由选项B知，
所以，
代入直线方程中，
解得，
此时；
若直线l过焦点（﹣c，0），
此时直线方程为y＝2x+2c（m＝2c），
由选项B知，
所以，
代入直线方程中，
解得，
此时，故选项C错误；
对于选项D：由选项C知，
即a2＝b2，
因为a＞0，b＞0，
所以a＝b，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 汕头模拟）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，若|MF1|＝3|OM|，则双曲线的渐近线方程为 　　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，结合双曲线定义可得|MF2|＝a，再由Rt△OMF2可得，在△MOF1中利用余弦定理可得6a2＝c2，从而求出渐近线．
【解答】解：过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，
则∠OMF2＝90°，|OM|＝a，|OF2|＝c，
所以，则，且|MF1|＝3a，
由余弦定理得，
解得6a2＝c2，又c2＝a2+b2，所以5a2＝b2，
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，属于中档题．
14．（2025 石家庄校级一模）如图，已知斜率为﹣2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且∠ABC＝45°，则该双曲线的离心率为 　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率．
【解答】解：如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则OM∥BC，
所以∠OMD＝45°，由直线AB的斜率kAB＝﹣2，得tan∠ODM＝﹣2，
则直线OM的斜率，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式相减，得，化简得，
即，
所以该双曲线的离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质以及点差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2025 昌黎县校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为 　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由圆的性质，结合双曲线的性质求离心率即可．
【解答】解：将圆C的方程化为标准式为（x﹣3）2+y2＝4，
则圆C的圆心为（3，0），半径为2，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故设双曲线方程为，
则其渐近线方程为bx±ay＝0，
由题意得，
即5b2＝4a2，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了双曲线的性质，属中档题．
16．（2025 汕头一模）过双曲线﹣＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|＝　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
【解答】解：由双曲线的方程得F1（﹣3，0），F2（3，0），直线AB的方程为y＝（x﹣3）①
将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x﹣27＝0，解之得x1＝﹣3，x2＝．
将x1，x2代入①，得y1＝﹣2，y2＝﹣
故|AB|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 黑龙江模拟）已知双曲线C：2x2﹣2y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是C上不与顶点重合的一动点，直线MF1、MF2分别交C于另一点A、B．
（1）设＝λ，，
①当λ＜0时，求直线AM斜率的取值范围；
②求证：λ+μ＝﹣6；
（2）O为坐标原点，问：直线OM与直线AB的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的定点及定值问题；双曲线的几何特征．
【专题】计算题；证明题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）①（﹣1，1）；②证明见解析；
（2）为定值．
【分析】（1）①根据判断出AM交双曲线C于左右支上，即可得解．
②设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由向量关系与双曲线方程得出λ，μ与A，B，M坐标之间的关系λ+3+4x0＝0，μ+3﹣4x0＝0，两式加和即可得解．
（2）由（1）②可得出点A，点B的坐标，求出直线AB的斜率．再写出直线OM的斜率，计算两者之积，即可得解．
【解答】解：（1）①根据题意可知直线AM交双曲线C于左右支上，
因为双曲线C：2x2﹣2y2＝1的渐近线的斜率为±1，
所以直线AM斜率的取值范围为（﹣1，1）．
②设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由双曲线方程知：F1（﹣1，0），F2（1，0），
根据题意：设＝λ，，可得：
，
，又
两式相减得：
所以2（2x0+λ+1）＝λ﹣1 λ+3+4x0＝0，
，
，又，
两式相减得：，
∴2（μ+1﹣2x0）＝μ﹣1 μ+3﹣4x0＝0．
可得：μ+3﹣4x0＝0，所以λ+μ＝﹣6．
（2）由（1）②知：λ＝﹣3﹣4x0且，
可得，
同理又因为μ＝4x0﹣3 且，
可得，
所以直线AB的斜率，
所以为定值．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合性问题，属于难题．
18．（2025 如皋市模拟）双曲线Ei：25x2﹣9y2＝（ai＞0，i＝1，2，…，n），射线l1：y＝k1x（x≥0）和射线l2：y＝k2x（x≥0）分别与E1，E2，…，En交于点A1，A2，…，An和点B1，B2，…，Bn．
（1）求双曲线Ei（i＝1，2，…，n）的离心率；
（2）作射线l：y＝kx（x≥0）（异于l1，l2）与E1，E2，…，En分别交于点P1，P2，…，Pn，记△A1B1P1的面积为Si（i＝1，2，…，n）．
（i）求证：A1B1∥A2B2；
（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai＝（i＝1，2，…，n），记S＝，证明：S＜．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）．
（2）①证明见解答；②证明见解答．
【分析】（1）化双曲线为标准方程，利用离心率公式求解即可；
（2）①分别联立l1，l2与双曲线E1方程，求解点A1，B1的坐标，同理可得点A2，B2的坐标，利用两点的斜率公式即可得证；
②由（1）可知，当k1＝1时，，，，可得直线AiBi的方程即|AiBi|，利用点到直线的距离公式可得Pi到AiBi的距离d，由三角形面积公式可得Si，利用导数可得，再利用放缩法及裂项求和法证得S＜．
【解答】解：（1）双曲线，
∴双曲线Ei的离心率＝．
（2）证明：①由题意将l1与双曲线E1联立：，
化简得，∴，
∴，
同理将l2与双曲线E1联立，，同理可得，
∴，
＝＝，
同理，，
∴，∴，∴A1B1∥A2B2，
从而可证A1B1∥A2B2．
②由（1）可知，当k1＝1时，，，，
直线AiBi的方程为：，且，
则Pi到AiBi的距离，
∴，
令，则，
令，解得，
时，f′（x）＜0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴，∴，
又因为i≥2时，，
∴
＝，
从而可证．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，涉及数列的裂项求和法的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
19．（2025 延边州一模）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支分别交于M，N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D为垂足．
（i）证明：直线MN恒过定点P，并求出点P坐标．
（ii）判断是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标．
【考点】双曲线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）（i）证明见解析，；
（ii）存在，，理由见解析．
【分析】（1）利用待定系数法结合双曲线的几何性质即可求得双曲线C的方程：
（2）（i）设直线MN方程为y＝kx+m，与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理，并结合MA⊥NA条件进行运算，即可证明直线MN过定点；
（ii）由AD⊥MN，此时存在以AP为斜边的直角三角形，从而可知存在定点Q为AP中点满足，从而可求出Q点坐标
【解答】解：（1）根据题意，坐标原点是双曲线C的中心，
离心率为，左焦点为，
所以，所以b＝4，a＝2，
因此双曲线方程为．
（2）证明：（i）根据第一问知A（2，0），当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y＝kx+m，
联立直线MN和双曲线方程，化简得（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16＝0，
根的判别式Δ＝4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）＞0，所以4k2﹣m2＜16，
设N（x2，y2），M（x1，y1），根据韦达定理可得，．
由于MA⊥NA，因此，所以y1y2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝0，
所以y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，
所以（kx1+m）（kx2+m）+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，
整理得，
所以，
所以3m2﹣4km﹣20k2＝0，
可得（m+2k）（3m﹣10k）＝0，所以，
将代入直线，
此时直线MN过定点，
当直线MN的斜率不存在时，不妨设直线方程为x＝t，
因为MA⊥NA，所以AMN为等腰直角三角形，
此时M点坐标为，
所以（舍）或，
此时MN过定点；
将m＝﹣2k代入直线y＝kx+m y＝k（x﹣2），
此时直线MN过定点A（2，0），不符合题意．
综上可知，直线MN恒过定点，
（ii）因为AD⊥MN，此时存在以AP为斜边的直角三角形，
所以存在定点Q为AP中点满足，此时．
【点评】本题考查双曲线综合应用，属于难题．
20．（2025 重庆模拟）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设过点P（1，0）的直线l与双曲线C交于A、B两点，是否存在直线l使得（O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）由题意，设出双曲线的方程，利用离心率及所过的点求出a，b即可；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及垂直关系的向量表示求解．
【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，
因为双曲线离心率为，
所以，
解得a＝2b，
此时双曲线C的方程为，
因为双曲线C过点，
所以，
解得a2＝16，b2＝4，
则双曲线C的标准方程为；
（2）易知直线l不垂直于x，且与双曲线的渐近线不平行，
设直线l的方程为x＝ty+1（t≠±2），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（t2﹣4）y2+2ty﹣15＝0，
由韦达定理得，，
所以，
若，
此时，
整理得16t2＝﹣19，
该方程无解．
则不存在这样的直线．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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