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高考数学高频易错押题预测 椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2025 盐城一模）已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 四川模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，M是C上一点，P、Q分别是MF1、MF2的中点，O为坐标原点，若|OP|2+|OQ|2＝a2﹣b2，且四边形OPMQ的面积为，C的短轴长为（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2025 黑龙江模拟）已知一条直线l与椭圆交于A，B两点，与圆C：（x﹣1）2+y2＝4交于D，E两点，则|AD| |AE|的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．5
4．（2025 白银模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝2，则|PF2|＝（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2025 丽江模拟）“2＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025 苏州模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，则C的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 鼓楼区校级模拟）设椭圆C：的一个焦点为F，点O为坐标原点，若C上存在点P使得△OPF为等边三角形，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 山西一模）已知椭圆C：，，B（1，0），若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|＝2|PA|，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 山海关区模拟）已知直线y＝k（x+1）（k≠0）与椭圆交于两点M、N，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线x＝1与直线AM，AN及x轴分别交于点P、Q、D，则（　　）
A．△DMN的周长为10
B．直线AM，AN，BM，BN的斜率之积为定值
C．当时，线段MN的中点到直线PQ的距离为
D．若k＞3，则||DP|﹣|DQ||的取值范围是（0，3）
（多选）10．（2025 丽江模拟）已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点，则（　　）
A．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为
B．使△F1PF2为直角三角形的点P有6个
C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值为
D．若，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和
（多选）11．（2025 嘉兴模拟）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，l是椭圆的一条切线，切点为T，F1，F2在直线l上的投影分别为H1，H2，则（　　）
A．∠F1TH1＝∠F2TH2 B．|OH1|＝|OH2|
C．|TH1| |TH2|＜b2 D．|F1H1| |F2H2|＜a2
（多选）12．（2025 安顺模拟）如图，圆柱的上下底面圆周与正方体ABCD﹣A1B1C1D1上下底面的正方形相切，平面A1BCD1与圆柱侧面的交线为椭圆E，BD1与椭圆E交于M、N两点，则（　　）
A．圆柱体积与正方形体积之比为
B．圆柱的母线与BD1所成的角为
C．椭圆E的离心率
D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 延边州一模）已知F1，F2分别是椭圆M：＝1（0＜b＜4）的左、右焦点，P是M上一点，若△PF1F2的周长为10，则M的离心率为 　 　．
14．（2025 昌黎县校级模拟）已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝2px（p＞0）焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为 　 　．
15．（2025 汕尾模拟）直线与椭圆交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点），设C（﹣2，0），D（2，0），当直线AC的斜率是直线BD斜率的2倍时，m＝ 　 　．
16．（2025 顺德区模拟）已知椭圆Γ：＝1的左焦点为F，点A，B，C是椭圆Γ上逆时针顺序的三个动点，设，，两两之间的夹角分别为α，β，γ．当α＝β＝γ时，的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 河南一模）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为4，若△PF1F2为正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长；
（3）过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，，求直线AB的方程．
18．（2025 江西一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，圆（x+c）2+y2＝4c2与椭圆C相交于A，B两点，∠AF1B＝120°，△AF1B的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的动直线l与椭圆C有两个交点P，Q，以线段PQ为直径作圆D，点M（x0，0）始终在圆D内（包括圆周），求x0的取值范围．
19．（2025 深圳模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求△OMN面积的取值范围．
20．（2025 汕头模拟）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝x+m与C交于A、B两点（点A在x轴上方），△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍．
（1）求直线l的方程；
（2）求tan．
高考数学高频易错押题预测 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 盐城一模）已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】不妨设椭圆的方程为：，根据△PF1F2的面积建立等式关系即可求得．
【解答】解：不妨设椭圆的方程为：，P（x0，y0），Q（x，y），
则有F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以，
因为，
所以
＝（3x0﹣11x﹣2c，3y0﹣11y）＝（0，0），
所以，
所以△PF1F2的内切圆的半径为，由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，属于中档题．
2．（2025 四川模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，M是C上一点，P、Q分别是MF1、MF2的中点，O为坐标原点，若|OP|2+|OQ|2＝a2﹣b2，且四边形OPMQ的面积为，C的短轴长为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】椭圆的长短轴；椭圆的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用勾股定理推导出MF1⊥MF2，分析可知△MF1F2的面积为5，可求出|MF1| |MF2|的值，利用勾股定理结合椭圆的定义可求出b的值，由此可求得椭圆C的短轴长．
【解答】解：记，因为P、Q分别是MF1、MF2的中点，
所以|OP|＝|MF2|，|OQ|＝||MF1|，
而，
所以，
所以MF1⊥MF2，
因为四边形OPMQ的面积为，故△MF1F2的面积为5，
即，则|MF1| |MF2|＝10，
因为|MF1|+|MF2|＝2a，
两边平方可得，
即4a2＝4c2+20，可得4b2＝4a2﹣4c2＝20，
解得，
所以椭圆C的短轴长为．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及中位线的性质的应用，属于中档题．
3．（2025 黑龙江模拟）已知一条直线l与椭圆交于A，B两点，与圆C：（x﹣1）2+y2＝4交于D，E两点，则|AD| |AE|的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．5
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】C
【分析】取DE的中点为M，易得|AD| |AE|＝（|AM|﹣|MD|） （|AM|+|ME|）＝|AM|2﹣|MD|2，设圆C的半径为r，利用圆的弦长公式可得|AD| |AE|＝|AC|2﹣r2求解．
【解答】解：如图所示，
取DE的中点为M，则|AD| |AE|＝（|AM|﹣|MD|） （|AM|+|ME|）＝|AM|2﹣|MD|2，
设圆C的半径为r，则|AD| |AE|＝|AM|2﹣|MD|2＝|AC|2﹣|CM|2﹣（r2﹣|CM|2）＝|AC|2﹣r2，
设点A（x0，y0），圆心C（1，0），所以|AC|2＝+＝﹣2x0+1+×（16﹣）＝×+7，
因为﹣4≤x0≤4，所以x0＝2时，＝7，
所以|AD| |AE|的最小值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆和圆锥曲线的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
4．（2025 白银模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝2，则|PF2|＝（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由椭圆的定义可得．
【解答】解：已知椭圆，
则a＝3，
又|PF1|＝2，
由椭圆的定义，|PF2|＝2a﹣|PF1|＝6﹣2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义，属基础题．
5．（2025 丽江模拟）“2＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】根据定义求椭圆的标准方程；充分不必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由方程表示椭圆可得，求解可判断结论．
【解答】解：若方程表示椭圆，
则，
解得2＜m＜4且m≠3，
又“2＜m＜4”是“2＜m＜4且m≠3”的必要不充分条件，
所以“2＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属基础题．
6．（2025 苏州模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，则C的短轴长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的长短轴．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由题设列出关于a，b，c的方程求出a，b，c即可求解．
【解答】解：由F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，，
可得，
所以C的短轴长为．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
7．（2025 鼓楼区校级模拟）设椭圆C：的一个焦点为F，点O为坐标原点，若C上存在点P使得△OPF为等边三角形，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设右焦点F，由题意可得点P的坐标，代入椭圆的方程，可得a，c的关系，即求出该椭圆的离心率．
【解答】解：设点F为椭圆的右焦点，则F（c，0），
要使C上存在点P，使得△OPF为等边三角形，则点P（，±c），
因为点P在椭圆上，所以+＝1，
因为b2＝a2﹣c2，所以（a2﹣c2）c2+3a2c2＝4a2（a2﹣c2），
整理可得：c4﹣8a2c2+4a2＝0，
即e4﹣8e2+4＝0，
可得e2＝＝4±2，
所以e＝±1，又因为椭圆的离心率e∈（0，1），
所以e＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
8．（2025 山西一模）已知椭圆C：，，B（1，0），若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|＝2|PA|，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的离心率．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由点P满足|PB|＝2|PA|，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围．
【解答】解：已知椭圆C：，，B（1，0），若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|＝2|PA|，
设P（x，y），由|PB|＝2|PA|，得，化简得（x+1）2+y2＝1，
即点P的轨迹是以点（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆C有3个交点，
由消去y得（4﹣b2）x2+8x+4b2＝0，即，
显然﹣2是方程的一个解，点（﹣2，0）是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解，
则，解得b2＜2，所以椭圆C的离心率．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆相关几何特征，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 山海关区模拟）已知直线y＝k（x+1）（k≠0）与椭圆交于两点M、N，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线x＝1与直线AM，AN及x轴分别交于点P、Q、D，则（　　）
A．△DMN的周长为10
B．直线AM，AN，BM，BN的斜率之积为定值
C．当时，线段MN的中点到直线PQ的距离为
D．若k＞3，则||DP|﹣|DQ||的取值范围是（0，3）
【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用椭圆的定义求解判断A；联立直线与椭圆方程，转化求解斜率，判断B；
通过韦达定理转化求解判断C；结合共线，转化求解距离的范围，推出结果判断D．
【解答】解：椭圆的左焦点（﹣1，0），
直线y＝k（x+1）恒过C的左焦点E（﹣1，0），则D（1，0）为右焦点，
△DMN的周长为|MD|+|ME|+|ND|+|NE|＝8，A错误；
直线y＝k（x+1）（k≠0）与椭圆交于两点M、N，
设M（x1，y1），则＝1，＝，所以kMAkMB＝＝＝，
同理，所以直线AM，AN，BM，BN的斜率之积为，B正确；
直线y＝k（x+1）与＝1联立得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，线段MN的中点到直线PQ的距离为＝，当k＝时，，C正确；
直线x＝1与直线AM，AN及x轴分别交于点P、Q、D，
设P（1，t1），Q（1，t2），由A，M，P共线得＝，t1＝＝＝，
同理得t2＝，所以t1+t2＝，
而＝＝，则t1+t2＝，
所以||DP|﹣|DQ||＝|t1+t2|＝，又k＞3，则，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题．
（多选）10．（2025 丽江模拟）已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点，则（　　）
A．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为
B．使△F1PF2为直角三角形的点P有6个
C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值为
D．若，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和
【考点】椭圆上的点与焦点的距离．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD．
【解答】解：点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆C：上的动点，
A选项：由椭圆方程，所以a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2﹣b2＝4，
所以△F1PF2的面积为≠4，故A错误；
B选项：当PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2时，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有4个，
设椭圆的上下顶点分别为S，T，则|F1F2|＝4，|OS|＝2，故，同理，
知∠F1SF2＝∠F1TF2＝90°，所以当P位于椭圆的上、下顶点时△F1PF2也为直角三角形，
其他位置不满足，满足△F1PF2为直角三角形的点P，故B正确；
C选项：由于，
所以当|PF2|最小即时，|PF1|﹣2|PF2|取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则|PF1|+|PM|的最大、最小值分别为和，
当点P位于直线MF2与椭圆的交点时取等号，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查椭圆的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 嘉兴模拟）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，l是椭圆的一条切线，切点为T，F1，F2在直线l上的投影分别为H1，H2，则（　　）
A．∠F1TH1＝∠F2TH2 B．|OH1|＝|OH2|
C．|TH1| |TH2|＜b2 D．|F1H1| |F2H2|＜a2
【考点】直线与椭圆的综合；直线与椭圆的位置关系及公共点个数．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义推出F1，T，Q三点共线，由对顶角及对称性的性质即可判断A；由A的分析可得|OH1|＝|OH2|，即可判断B；通过举反例可判断C；利用勾股定理可得，即可判断D．
【解答】解：对于选项A：设切线l上一动点为P，一方面根据椭圆定义得到|PF1|+|PF2|≥2a，当且仅当点P在切点T时，取到等号；
另一方面，设右焦点F2关于切线l的对称点为Q，则|PF1|+|PQ|≥2a，当且仅当点F1P，Q三点共线时，取到等号；
所以F1，T，Q三点共线，
所以，故选项A正确；
对于选项B：由前面分析得到|，同理|OH1|＝a，
所以|OH1|＝|OH2|，故选项B正确：
对于选项C：可以举反例说明，如取切点T在椭圆上顶点时，则|，
而所给椭圆中b2与c2的大小不确定，故选项C不正确；
对于选项D：设∠F1TH1＝∠F2TH2＝θ，|TF1|＝m，|TF2|＝n，
所以|F1H1|＝msinθ，|F2H2|＝nsin，则，
又在△F1TF2中，4c2＝m2+n2﹣2mncos（π﹣2θ）＝（m+n）2﹣2mn（1﹣cos2θ），
化简得4c2＝4a2﹣4mnsin2θ，即mnsin2θ＝b2，
所以，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）12．（2025 安顺模拟）如图，圆柱的上下底面圆周与正方体ABCD﹣A1B1C1D1上下底面的正方形相切，平面A1BCD1与圆柱侧面的交线为椭圆E，BD1与椭圆E交于M、N两点，则（　　）
A．圆柱体积与正方形体积之比为
B．圆柱的母线与BD1所成的角为
C．椭圆E的离心率
D．
【考点】椭圆的离心率；圆柱的体积；异面直线及其所成的角．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用体积公式求解即可判断A；利用直线所成的角，在直角三角形中求解即可判断B；根据离心率的定义求解判断C；根据圆锥曲线的弦长公式求解判断D．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则，
可得圆柱的上下底面半径为，高h＝1，
则，∴，故A正确；
由圆柱的上下底面圆周与正方体ABCD﹣A1B1C1D1上下底面的正方形相切，
得圆柱的母线平行于正方体的棱BB1，
则∠D1BB1即是圆柱的母线与BD1所成的角，
∵BB1⊥平面A1B1C1D，D1B1 平面A1B1C1D，∴D1B1⊥BB1，
在△D1BB1中，有，
∴，故B错误；
由题意得，椭圆的长轴长2a＝，则a＝，
短轴长2b＝BC＝1，则b＝，
∴，
∴椭圆E的离心率，故C正确；
如图，建立直角坐标系，
椭圆的标准方程为，则B（，﹣），D1（，），
∴，即直线MN的方程式为，
联立，解得或，
即，
∴，
而．
∴，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 延边州一模）已知F1，F2分别是椭圆M：＝1（0＜b＜4）的左、右焦点，P是M上一点，若△PF1F2的周长为10，则M的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件求得a和c，进而求解结论．
【解答】解：F1，F2分别是椭圆M：＝1（0＜b＜4）的左、右焦点，P是M上一点，△PF1F2的周长为10，
故a＝4，2a+2c＝10，解得c＝1．
故离心率e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
14．（2025 昌黎县校级模拟）已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝2px（p＞0）焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】用椭圆的焦半径公式和抛物线的定义，根据，即可求解c，进而求离心率．
【解答】解：设椭圆，其右焦点为F（c，0），椭圆上一点M（x0，y0），
则|MF|＝＝＝|a﹣x0|，
此公式为椭圆的焦半径公式．
因为椭圆的右焦点F与抛物线y2＝2px（p＞0）焦点重合，
所以，
设M（x0，y0）是椭圆与抛物线的一个公共点，因为，
根据抛物线的定义，，
即①
又由椭圆的焦半径公式有②
由①②解得，
所以离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15．（2025 汕尾模拟）直线与椭圆交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点），设C（﹣2，0），D（2，0），当直线AC的斜率是直线BD斜率的2倍时，m＝ 　　．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】直线与椭圆方程联立，可得韦达定理，可得直线AC的斜率与直线AD斜率的乘积为定值，又kAC＝2kBD，可得直线A的斜率与直线BD斜率的乘积，由两点坐标的斜率公式及韦达定理即可求解m的值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由可知x2+2mx+2m2﹣2＝0．
由Δ＞0知，（2m）2﹣4（2m2﹣2）＞0，解得，
∴x1+x2＝﹣2m，①，
∴②，
∴．
又∵kAC＝2kBD，
∴，即，
化简得，
将①②代入上式可得3m2+2m﹣1＝0，解得或m＝﹣1，满足．
当m＝﹣1时，直线l经过椭圆右顶点，不合题意，舍去．
综上所述．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025 顺德区模拟）已知椭圆Γ：＝1的左焦点为F，点A，B，C是椭圆Γ上逆时针顺序的三个动点，设，，两两之间的夹角分别为α，β，γ．当α＝β＝γ时，的值为 　　．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】．
【分析】由题意利用余弦定理可得，，，计算可求值．
【解答】解：，，两两之间的夹角分别为α，β，γ，
由于α＝β＝γ，且有α+β+γ＝2π，因此．
设与x轴的夹角为θ，在三角形FAF1（F1为椭圆Γ的右焦点）中，利用余弦定理得：
，（2a﹣|FA|）2＝|FA|2+4c2﹣4c|FA|cosθ，
因此4a2﹣4a|FA|+|FA|2＝|FA|2+4c2﹣4c|FA|cosθ，因此（a﹣ccosθ）|FA|＝b2，
因此可得，因此．
同理可得，，
因此．
又因为
＝，
根据椭圆方程，可得b2＝1，a2＝2，因此，
根据此可得．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 河南一模）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为4，若△PF1F2为正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长；
（3）过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，，求直线AB的方程．
【考点】椭圆与平面向量．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）
（2）
（3）x±2y+＝0．
【分析】（1）由长轴长为4，可得a的值，再由△PF1F2为正三角形，可得b与c的关系，再由a，b，c之间的关系可得b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意可得直线MN的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得弦长|MN|的值；
（3）设直线AB的方程x＝my﹣1，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由向量的关系，可得 A，B的横坐标的关系，与两根之和及两根之积联立，进而求出直线AB的方程．
【解答】解：（1）由长轴长为4，∴2a＝4，∴a＝2，
再由△PF1F2为正三角形，P为上顶点，可得b＝c，
∵a2＝b2+c2＝4，∴解得c＝1，b＝，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）由（1）可得上焦点F1（﹣1，0），
由题意可设直线MN的方程为：y＝（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理可得15x2+24x＝0，
可得Δ＞0，x1+2＝﹣，x1x2＝0，
所以弦长|MN|＝ ＝2×＝；
（3）当直线AB的斜率为0时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为长轴的顶点，
因为，设A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），则＝（1，0），＝（3，0），
显然≠2，所以设直线AB的方程为x＝my﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
可得y1+y2＝，y1y2＝﹣，
因为＝2，即（﹣1﹣x1，﹣y2）＝2（x2+1，y2），
可得﹣y1＝2y2，即﹣y1＝2y2，代入y1+y2＝，可得y2＝﹣，y1＝，
再代入y1y2＝﹣，可得（﹣）×＝﹣，解得：m2＝，
可得m＝±，
所以直线AB的方程为x±2y+＝0．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，向量的运算性质，属中档题．
18．（2025 江西一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，圆（x+c）2+y2＝4c2与椭圆C相交于A，B两点，∠AF1B＝120°，△AF1B的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（1，0）的动直线l与椭圆C有两个交点P，Q，以线段PQ为直径作圆D，点M（x0，0）始终在圆D内（包括圆周），求x0的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）当直线l的斜率不存在时，求出P，Q两点的坐标，进而可得x0的取值范围；当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和向量的数量积进行求解即可．
【解答】解：（1）因为∠AF1B＝120°，
所以∠AF1F2＝60°，
所以，
解得a＝2c，
因为△AF1B的面积为，
所以c＝1，a＝2，，
则椭圆C的标准方程为；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
设，，
可得；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理得，，
因为点M在圆D内（包括圆周），
所以，
所以（x0﹣x1）（x0﹣x2）+y1y2≤0，
即（x0﹣x1）（x0﹣x2）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）≤0，
所以（k2+1）x1x2﹣（x0+k2）（x1+x2）++k2≤0，
又，，
整理得恒成立，
所以，
解得．
综上所述，x0的取值范围为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
19．（2025 深圳模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求△OMN面积的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；；
（2）．
【分析】（1）设椭圆标准方程为：，根据c＝1及点在椭圆上，可求椭圆的标准方程，进而可求椭圆的离心率．
（2）按直线OM是否垂直于坐标轴分类，求出|OM|，|ON|，进而表示出三角形面积，再借助二次函数求出范围即可．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，
因为点在椭圆C上且两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），
所以，
解得，
所以椭圆C的标准方程为，
则椭圆C的离心率为；
（2）若直线OM的斜率不存在，
取M（0，1），
因为OM⊥ON，
取，
此时；
若直线OM的斜率为0，
同理得；
当直线OM的斜率存在且不为0时，
设直线OM的方程为y＝kx，
联立，
解得，
则，
同理得，
所以＝＝，
设k2+1＝t，t＞1，
此时S△OMN＝＝＝，
因为t＞1，
所以，
此时，
所以，
则．
综上所述，△OMN面积的取值范围为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
20．（2025 汕头模拟）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝x+m与C交于A、B两点（点A在x轴上方），△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍．
（1）求直线l的方程；
（2）求tan．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）联立方程，根据Δ＞0求出m的范围，将转化为点F1到AB的距离和点F2到AB的距离之比，即可求出m的值．
（2）联立方程求出点A的坐标，表示△F1AF2的面积，利用余弦定理及椭圆的定义表示△F1AF2的面积，根据面积相等可求结果．
【解答】解：（1）由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
因为直线l：y＝x+m与C交于A，B两点，
所以Δ＝36m2﹣4×4（3m2﹣3）＞0，解得﹣2＜m＜2，
设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，
由题意得，，
则，
所以，
解得或（舍），
所以直线l的方程为；
（2）由题意得，，
设∠F1AF2＝θ，则，
由，得，解得，
因为点A在第一象限，
所以，，
所以，
在△F1AF2中，由余弦定理得，
，
所以2|AF1| |AF2|cosθ＝12﹣2|AF1| |AF2|﹣8，
所以，
所以，
所以，即．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属中档题．
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