【高考押题卷】2025年高考数学高频易错考前冲刺 相等关系与不等关系(含解析)

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【高考押题卷】2025年高考数学高频易错考前冲刺 相等关系与不等关系(含解析)

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高考数学高频易错押题预测 相等关系与不等关系
一.选择题(共8小题)
1.(2025 深圳模拟)已知x>0,y>0,且,则的最小值为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2025 海淀区校级模拟)“a=1”是“对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025 昌黎县校级模拟)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},,则A∩B=(  )
A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1}
4.(2025 汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(  )
A.1 B.2 C.4 D.不存在
5.(2025 汕头一模)“log3a>log3b”是“3a>3b”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.(2025 延边州一模)已知正实数x,y满足,且不等式x+y﹣a>0恒成立,则a的取值范围是(  )
A.a<2 B.a<8 C.a<6 D.a<4
7.(2025 漳州模拟)已知集合A={x|log2x<2},B={x|1+a<x<2a﹣1},若A∩B= ,则实数a的取值范围是(  )
A.[3,+∞) B.
C.(﹣∞,2]∪[3,+∞) D.
8.(2025 新余一模)已知集合A={x|x2﹣x﹣6≤0},B={x|ex≤1},则A∩B=(  )
A.[﹣2,0] B.[﹣2,3] C.(﹣∞,0] D.(﹣∞,3]
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2025 安溪县校级模拟)若a>b>0,则(  )
A.ac>bc B. C. D.
(多选)10.(2025 辽宁模拟)已知实数a,b满足,则(  )
A.3a<3b B.(a﹣b)(a+b﹣2)>0
C. D.
(多选)11.(2025 江苏模拟)已知a>0,b>0,满足a+2b=4,则下列说法正确的是(  )
A.ab≤2 B.
C. D.3a+9b≥18
(多选)12.(2025 浙江模拟)若正实数a,b满足a+b=4,则下列不等式正确的是(  )
A. B.
C. D.log4a+log4b≤1
三.填空题(共4小题)
13.(2025 濮阳二模)已知实数,则x+2y的最小值是    .
14.(2025 信阳校级二模)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则a的取值范围为    .
15.(2025 郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为    .
16.(2025 沙坪坝区校级模拟)若x>0,y>0,且xy=x+y+3,则x+4y的最小值是    .
四.解答题(共4小题)
17.(2024 雅安模拟)已知a+b=3(a>0,b>0).
(1)若|b﹣1|<3﹣a,求b的取值范围;
(2)求的最大值.
18.(2023 绵阳模拟)已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9.
19.(2023 陕西模拟)已知a,b,c为正实数且a+2b+3c=5.
(1)求a2+b2+c2的最小值;
(2)当时,求a+b+c的值.
20.(2022 上海模拟)已知函数y=f(x)的定义域为D,值域为A.若D A,则称f(x)为“M型函数”;若A D,则称f(x)为“N型函数”.
(1)设,D=[1,4],试判断f(x)是“M型函数”还是“N型函数”;
(2)设,g(x)=af(2+x)+bf(2﹣x),若g(x)既是“M型函数”又是“N型函数”,求实数a,b的值;
(3)设f(x)=x2﹣2ax+b,D=[1,3],若f(x)为“N型函数”,求f(2)的取值范围.
高考数学高频易错押题预测 相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2025 深圳模拟)已知x>0,y>0,且,则的最小值为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】D
【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.
【解答】解:由于x>0,y>0,
故,
当且仅当即x=2,y=时,等号成立,故的最小值为8.
故选:D.
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值,属于基础题.
2.(2025 海淀区校级模拟)“a=1”是“对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【考点】指、对数不等式的解法;充分不必要条件的判断.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用;简易逻辑;运算求解.
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质,结合充分条件和必要条件的定义判断.
【解答】解:当a=1时,令f(x)=(x﹣1)lnx,
①当0<x<1时,x﹣1<0,lnx<0,则(x﹣1)lnx>0,
②当x=1时,(x﹣1)lnx=0,
③当x>1时,x﹣1>0,lnx>0,则(x﹣1)lnx>0,
综上,当a=1时,对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0成立,
所以由“a=1”可以推出“对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0”,
若对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0恒成立,
①当0<x<1时,lnx<0,则x﹣a≤0恒成立,
即a≥x恒成立,
所以a≥1,
②当x=1时,lnx=0,此时a∈R,
③当x>1时,lnx>0,则x﹣a≥0恒成立,
即a≤x恒成立,
所以a≤1,
综上所述,若对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0恒成立,则a=1,
所以由“对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0”可以推出“a=1”,
所以“a=1”是“对任意x>0,(x﹣a)lnx≥0”充要条件.
故选:C.
【点评】本题主要考查了对数函数的性质,考查了充分条件和必要条件的定义,属于中档题.
3.(2025 昌黎县校级模拟)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},,则A∩B=(  )
A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1}
【考点】分式不等式;求集合的交集.
【专题】转化思想;转化法;集合;运算求解.
【答案】B
【分析】求解分式不等式,再由交集运算即可求解;
【解答】解:={x|﹣2<x≤0},A={﹣2,﹣1,0,1,2},
所以A∩B={﹣1,0}.
故选:B.
【点评】本题主要考查交集及其运算,属于基础题.
4.(2025 汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(  )
A.1 B.2 C.4 D.不存在
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式即可求解.
【解答】解:因为a>0,b>0,a+b=4,
所以ab≤=4,当且仅当a=b=2时取等号.
故选:C.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
5.(2025 汕头一模)“log3a>log3b”是“3a>3b”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【考点】指、对数不等式的解法;充分不必要条件的判断.
【专题】整体思想;综合法;简易逻辑;数学抽象.
【答案】A
【分析】结合对数及指数函数的性质检验充分必要性即可求解.
【解答】解:由log3a>log3b可得a>b>0,由3a>3b,可得a>b,但不一定大于0,
故log3a>log3b”是“3a>3b”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断,属于基础题.
6.(2025 延边州一模)已知正实数x,y满足,且不等式x+y﹣a>0恒成立,则a的取值范围是(  )
A.a<2 B.a<8 C.a<6 D.a<4
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式;运用基本不等式求最值.
【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】B
【分析】由已知结合基本不等式及乘1法可求出x+y的最小值,然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解.
【解答】解:正实数x,y满足,
可得+=,
故x+y=2(x+y)(+)=2(2++)≥2(2+2)=8,当且仅当x=y=4时等号成立.
而不等式x+y﹣a>0恒成立,
故a<(x+y)min=8.
故选:B.
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,还考查了不等式恒成立与最值关系的转化,属于基础题.
7.(2025 漳州模拟)已知集合A={x|log2x<2},B={x|1+a<x<2a﹣1},若A∩B= ,则实数a的取值范围是(  )
A.[3,+∞) B.
C.(﹣∞,2]∪[3,+∞) D.
【考点】指、对数不等式的解法;集合交集关系的应用.
【专题】函数思想;综合法;集合;运算求解.
【答案】C
【分析】求的集合A,分B= 与B≠ 两种情况分类讨论可求得实数a的取值范围.
【解答】解:因为log2x<2,解得0<x<4,
所以A={x|0<x<4},
又B={x|1+a<x<2a﹣1},且A∩B= ,
当B= 时,1+a≥2a﹣1,
解得a≤2,
当B≠ 时,则①,该不等式组无解,
②,解得a≥3,
综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,2]∪[3,+∞).
故选:C.
【点评】本题主要考查了对数不等式的解法,考查了集合的基本运算,属于基础题.
8.(2025 新余一模)已知集合A={x|x2﹣x﹣6≤0},B={x|ex≤1},则A∩B=(  )
A.[﹣2,0] B.[﹣2,3] C.(﹣∞,0] D.(﹣∞,3]
【考点】指、对数不等式的解法;解一元二次不等式;求集合的交集.
【专题】整体思想;综合法;集合;运算求解.
【答案】A
【分析】解一元二次不等式、指数不等式求集合,应用交运算求集合.
【解答】解:A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3},B={x|ex≤1}={x|x≤0},
根据集合交集运算可得,A∩B=[﹣2,0].
故选:A.
【点评】本题主要考查了集合交集运算,属于基础题.
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2025 安溪县校级模拟)若a>b>0,则(  )
A.ac>bc B. C. D.
【考点】等式与不等式的性质.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质,结合作差法逐项判断.
【解答】解:对于A,当c=0时,A显然错误;
对于B,由a>b>0,由不等式的性质得,B正确;
对于C,由a>b>0,由不等式的性质得,C正确;
对于D,由a>b>0,得,则,D错误.
故选:BC.
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用,属于基础题.
(多选)10.(2025 辽宁模拟)已知实数a,b满足,则(  )
A.3a<3b B.(a﹣b)(a+b﹣2)>0
C. D.
【考点】指、对数不等式的解法;对数值大小的比较.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】AC
【分析】由已知可得b>a>1,然后结合不等式性质检验各选项即可判断.
【解答】解:由题意可得b﹣1>a﹣1>0,即b>a>1,
则3a<3b,A正确;
a﹣b<0,a+b﹣2>0,则(a﹣b)(a+b﹣2)<0,B错误;
2b﹣1>2a﹣1>0,则,C正确;
当a=,b=2时,D显然错误.
故选:AC.
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用,属于基础题.
(多选)11.(2025 江苏模拟)已知a>0,b>0,满足a+2b=4,则下列说法正确的是(  )
A.ab≤2 B.
C. D.3a+9b≥18
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】整体思想;综合法;函数的性质及应用;不等式;运算求解.
【答案】ACD
【分析】由已知结合基本不等式检验选项ABD,结合二次函数性质检验选项C即可求解.
【解答】解:因为a>0,b>0,满足a+2b=4,
所以4=a+2b,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,
所以ab≤2,A正确;
=()(a+2b)=(5+)(5+2)=,当且仅当a=b=时取等号,B错误;
由a=4﹣2b>0可得0<b<2,
则a2+b2=(4﹣2b)2+b2=5b2﹣16b+16,
根据二次函数性质可得,当b=时,上式取得最小值,C正确;
=18,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,D正确.
故选:ACD.
【点评】本题主要考查了二次函数性质及基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
(多选)12.(2025 浙江模拟)若正实数a,b满足a+b=4,则下列不等式正确的是(  )
A. B.
C. D.log4a+log4b≤1
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】BCD
【分析】结合基本不等式及相关结论检验选项ABD,结合二次函数的性质检验选项C即可求解.
【解答】解:因为实数a,b满足a+b=4,
所以=()(a+b)=(2+)=1,当且仅当a=b=2时取等号,A错误;
≤2=2,当且仅当a=b=2时取等号,B正确;
由a=4﹣b>0可得0<b<4,
所以a2+4b2=5b2﹣8b+16,根据二次函数的性质可得,当b=时,上式取得最小值,C正确;
因为ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,
所以log4a+log4b=log4ab≤1,D正确.
故选:BCD.
【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用,属于基础题.
三.填空题(共4小题)
13.(2025 濮阳二模)已知实数,则x+2y的最小值是  2 .
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】转化思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】.
【分析】根据题意,由条件可得x+2y=[(x+1)+2(y+1)]﹣3,再由“1”的活用,由基本不等式代入计算,即可得到结果.
【解答】解:因为实数,
则x+2y=x+1+2(y+1)﹣3=[(x+1)+2(y+1)] (+)﹣3
=1+2++﹣3≥2=2,
当且仅当时,即时等号成立,
则x+2y的最小值是.
故答案为:.
【点评】本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用,属于基础题.
14.(2025 信阳校级二模)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则a的取值范围为  {a|﹣5≤a<3或4<a≤5} .
【考点】其他不等式的解法.
【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】{a|﹣5≤a<3或4<a≤5}.
【分析】不等式x2﹣2x﹣8>0的解集为{x|x<﹣2,或x>4},不等式2x2+(2a+7)x+7k<0化为(x+a)(x+)<0,再分a>,a<,a=三种情况讨论,可得结论.
【解答】解:不等式<0的解集为{x|x>4或x<﹣2},
不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)(x+)<0.
当﹣a<﹣时,a>,不等式的解集为{x|﹣a<x}.
再根据关于x的不等式组仅有一个整数解,
即{x|x>4或x<﹣2}与{x|﹣a<x}的交集中只有一个整数,此整数解只能为﹣4,
故有﹣5≤﹣a<﹣4,求得4<a≤5.
综合可得4<a≤5.
当﹣a>﹣时,a<时,不等式的解集为{x|﹣<x<﹣a}.
关于x的不等式组仅有一个整数解,
{x|x>4或x<﹣2}与{x|﹣<x<﹣a}的交集中只有一个整数解,此整数解只能为﹣3,
可得﹣3<﹣a≤5,即﹣5≤a<3.
综合可得﹣5≤a<3.
a=时,﹣a=﹣,不等式(x+a)(x+)<0的解集为 ,
不满足关于x的不等式组仅有一个整数解.
综上,则a的取值范围为{a|﹣5≤a<3或4<a≤5}.
故答案为:{a|﹣5≤a<3或4<a≤5}.
【点评】本题考查解一元二次不等式,根据集合的元素特征求参数,属于中档题.
15.(2025 郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为  12﹣8 .
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】转化思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】.
【分析】设AE=x,AF=y,(0≤x≤2,0≤y≤2),根据已知有,再应用基本不等式求xy的最大值,即可求△AEF面积的最大值.
【解答】解:设AE=x,AF=y,(0≤x≤2,0≤y≤2),则,
∴,∴,当且仅当x=y时取等号,
∴,
∴,
∴△AEF面积的最大值为:.
【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法,不等式的性质,是中档题.
16.(2025 沙坪坝区校级模拟)若x>0,y>0,且xy=x+y+3,则x+4y的最小值是  13 .
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】整体思想;综合法;不等式;运算求解.
【答案】13.
【分析】由已知可得(x﹣1)(y﹣1)=4,x>1,y>1,然后结合基本不等式即可求解.
【解答】解:因为x>0,y>0,且xy=x+y+3,
所以(x﹣1)(y﹣1)=4,x>1,y>1,
则x+4y=x﹣1+4(y﹣1)+5+5=13,
当且仅当x﹣1=4(y﹣1),即y=2,x=5时取等号.
故答案为:13.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
四.解答题(共4小题)
17.(2024 雅安模拟)已知a+b=3(a>0,b>0).
(1)若|b﹣1|<3﹣a,求b的取值范围;
(2)求的最大值.
【考点】运用基本不等式求最值.
【专题】计算题;整体思想;综合法;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】(1).
(2)8.
【分析】(1)由a+b=3得|b﹣1|<b,则﹣b<b﹣1<b,可得结果.
(2)利用基本不等式先求出+的最值,再求出(a+1)b的最值,可得结果.
【解答】解:(1)因为a+b=3(a>0,b>0),所以a=3﹣b且0<b<3,
所以|b﹣1|<b,则﹣b<b﹣1<b,
解得,
又0<b<3,所以b的取值范围为.
(2),当且仅当a+1=b,即a=1,b=2时,等号成立,

即,当且仅当a=1,b=2时,等号成立,
所以的最大值为4+4=8.
【点评】本题主要考查基本不等式的应用,属于中档题.
18.(2023 绵阳模拟)已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9.
【考点】基本不等式及其应用.
【专题】方程思想;综合法;不等式的解法及应用.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)运用绝对值的解法,即可得到所求值;
(2)运用乘1法和基本不等式,即可得到证明.
【解答】解:(1)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1],
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],即有[﹣m,m}={﹣1,1],
可得m=1;
(2)证明:a,b,c∈(0,+∞),且++=1,
则a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)
=3+(+)+(+)+(+)
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9,
当且仅当a=2b=3c=3,取得等号.
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,注意运用绝对值的含义,考查不等式的证明,注意运用基本不等式,以及满足的条件:一正二定三等,考查运算能力,属于中档题.
19.(2023 陕西模拟)已知a,b,c为正实数且a+2b+3c=5.
(1)求a2+b2+c2的最小值;
(2)当时,求a+b+c的值.
【考点】基本不等式及其应用.
【专题】计算题;整体思想;对应思想;转化法;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】(1)a2+b2+c2的最小值为;(2)a+b+c=.
【分析】(1)由已知条件,应用三元柯西不等式求目标式的最小值,注意等号成立条件;
(2)由基本不等式可得++≤5,结合条件得++=5,从而求a、b、c的值,即可得a+b+c的值.
【解答】解:(1)由柯西不等式得,
(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=25,
故a2+b2+c2≥;
当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立;
故a2+b2+c2的最小值为;
(2)由基本不等式可得,
a+2b≥2,
a+3c≥2,
2b+3c≥,
故2(a+2b+3c)≥2(++),
故++≤5,
当且仅当a=2b=3c,且a+2b+3c=5,
即a=,b=,c=时,等号成立,
又∵,
∴++=5,
即a=,b=,c=,
a+b+c=.
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用,属于中档题.
20.(2022 上海模拟)已知函数y=f(x)的定义域为D,值域为A.若D A,则称f(x)为“M型函数”;若A D,则称f(x)为“N型函数”.
(1)设,D=[1,4],试判断f(x)是“M型函数”还是“N型函数”;
(2)设,g(x)=af(2+x)+bf(2﹣x),若g(x)既是“M型函数”又是“N型函数”,求实数a,b的值;
(3)设f(x)=x2﹣2ax+b,D=[1,3],若f(x)为“N型函数”,求f(2)的取值范围.
【考点】基本不等式及其应用;函数的定义域及其求法;函数的值域.
【专题】数形结合;整体思想;综合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】(1)f(x)是“M型函数”;
(2)a=﹣1,b=1;
(3)[1,2].
【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解;
(2)分a>0,b<0和a<0,b>0结合函数的单调性分类讨论求解;
(3)分a不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围.
【解答】解:(1)当x∈[1,4]时,,
当且仅当时取等号,
由于f(1)=4,f(4)=1,
所以函数f(x)的值域为,
因为,所以D A,
所以f(x)是“M型函数”;
(2),定义域为[﹣2,2],
由题意得函数g(x)的值域也为[﹣2,2],
显然ab<0,否则值域不可能由负到正,
当a>0,b<0时,g(x)在[﹣2,2]上单调递增,
则,得a=1,b=﹣1;
当a<0,b>0时,g(x)在[﹣2,2]上单调递减,
则得a=﹣1,b=1;
(3)f(x)=x2﹣2ax+b=(x﹣a)2+b﹣a2,D=[1,3],
由题意得函数f(x)的值域A [1,3],
当a≤1时,f(x)的最小值f(1)=1﹣2a+b≥1,
当1<a≤3时,f(x)的最小值f(a)=b﹣a2≥1,
当a≥3时,f(x)的最小值f(3)=9﹣6a+b≥1,
当a≤2时,f(x)的最大值f(3)=9﹣6a+b≤3,
当a>2时,f(x)的最大值f(1)=1﹣2a+b≤3,
因为f(2)=4﹣4a+b,由点(a,b)所在的可行域,
当a=2,b=6时,f(2)取最大值,最大值为2,
当f(2)=4﹣4a+b与b=a2+1相切,
即a=2,b=5时,f(2)取最小值,最小值为1,
因此f(2)的取值范围是[1,2].
【点评】本题以新定义为载体,主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用,属于中档题.
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